電磁場與電磁波課后習(xí)題及答案三章習(xí)題解答

1、三章習(xí)題解答3.1 真空中半徑為的一個球面，球的兩極點(diǎn)處分別設(shè)置點(diǎn)電荷和，試計算球赤道平面上電通密度的通量(如題3.1圖所示)。赤道平面題3.1 圖解 由點(diǎn)電荷和共同產(chǎn)生的電通密度為則球赤道平面上電通密度的通量3.2 1911年盧瑟福在實驗中使用的是半徑為的球體原子模型，其球體內(nèi)均勻分布有總電荷量為的電子云，在球心有一正電荷（是原子序數(shù)，是質(zhì)子電荷量），通過實驗得到球體內(nèi)的電通量密度表達(dá)式為，試證明之。解 位于球心的正電荷球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為 原子內(nèi)電子云的電荷體密度為 題3. 3圖電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為 故原子內(nèi)總的電通量密度為 3.3 電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密

2、度為, 兩圓柱面半徑分別為和，軸線相距為，如題3.3圖所示。求空間各部分的電場。解 由于兩圓柱面間的電荷不是軸對稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為的小圓柱面內(nèi)看作同時具有體密度分別為的兩種電荷分布，這樣在半徑為的整個圓柱體內(nèi)具有體密度為的均勻電荷分布，而在半徑為的整個圓柱體內(nèi)則具有體密度為的均勻電荷分布，如題3.3圖所示。空間任一點(diǎn)的電場是這兩種電荷所產(chǎn)生的電場的疊加。在區(qū)域中，由高斯定律，可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的電場分別為 題3. 3圖點(diǎn)處總的電場為 在且區(qū)域中，同理可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的電場分別為點(diǎn)處總的電場為 在的空腔區(qū)域中，大、小圓柱中的正、

3、負(fù)電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的電場分別為點(diǎn)處總的電場為 3.4 半徑為的球中充滿密度的體電荷，已知電位移分布為 其中為常數(shù)，試求電荷密度。解：由，有 故在區(qū)域 在區(qū)域 3.5 一個半徑為薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為為的體電荷，球殼上又另充有電荷量。已知球內(nèi)部的電場為，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計算：（1） 球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外表面的電荷面密度。解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為（2）球體內(nèi)的總電量為 球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應(yīng)電荷，而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷，所以球殼外表面上的總電荷為2，故球殼外表面上的電荷面密度為 3.6 兩個無限長的同軸圓柱半徑分

4、別為和，圓柱表面分別帶有密度為和的面電荷。（1）計算各處的電位移；（2）欲使區(qū)域內(nèi)，則和應(yīng)具有什么關(guān)系？解 （1）由高斯定理，當(dāng)時，有 當(dāng)時，有 ，則 當(dāng)時，有 ，則 （2）令 ，則得到 3.7 計算在電場強(qiáng)度的電場中把帶電量為的點(diǎn)電荷從點(diǎn)移到點(diǎn)時電場所做的功：（1）沿曲線；（2）沿連接該兩點(diǎn)的直線。解 （1）（2）連接點(diǎn)到點(diǎn)直線方程為 即 故3.8 長度為的細(xì)導(dǎo)線帶有均勻電荷，其電荷線密度為。（1）計算線電荷平分面上任意點(diǎn)的電位；（2）利用直接積分法計算線電荷平分面上任意點(diǎn)的電場，并用核對。解 （1）建立如題3.8圖所示坐標(biāo)系。根據(jù)電位的積分表達(dá)式，線電荷平分面上任意點(diǎn)的電位為題3.8圖 （

5、2）根據(jù)對稱性，可得兩個對稱線電荷元在點(diǎn)的電場為故長為的線電荷在點(diǎn)的電場為由求，有3.9 已知無限長均勻線電荷的電場，試用定義式求其電位函數(shù)。其中為電位參考點(diǎn)。解 由于是無限長的線電荷，不能將選為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。3.10 一點(diǎn)電荷位于，另一點(diǎn)電荷位于，求空間的零電位面。解 兩個點(diǎn)電荷和在空間產(chǎn)生的電位令，則有 即 故得 由此可見，零電位面是一個以點(diǎn)為球心、為半徑的球面。3.11 證明習(xí)題3.2的電位表達(dá)式為 解 位于球心的正電荷在原子外產(chǎn)生的電通量密度為 電子云在原子外產(chǎn)生的電通量密度則為 所以原子外的電場為零。故原子內(nèi)電位為3.12 電場中有一半徑為的圓柱體，已知柱內(nèi)外的電位函數(shù)分別為 （1）求圓

6、柱內(nèi)、外的電場強(qiáng)度； （2）這個圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之。解 （1）由，可得到 時， 時， （2）該圓柱體為等位體，所以是由導(dǎo)體制成的，其表面有電荷分布，電荷面密度為3.13 驗證下列標(biāo)量函數(shù)在它們各自的坐標(biāo)系中滿足（1） 其中；（2） 圓柱坐標(biāo)；（3） 圓柱坐標(biāo)；（4） 球坐標(biāo)；（5） 球坐標(biāo)。解 （1）在直角坐標(biāo)系中 而 故 （2）在圓柱坐標(biāo)系中 而 故 （3） 故 （4）在球坐標(biāo)系中 而 故 （5） 故 3.14 已知的空間中沒有電荷，下列幾個函數(shù)中哪些是可能的電位的解?（1）；（2）；（3）（4）。解 （1）所以函數(shù)不是空間中的電位的解；（2） 所以函數(shù)是空間中可

7、能的電位的解；（3） 所以函數(shù)不是空間中的電位的解；（4） 所以函數(shù)不是空間中的電位的解。3.15 中心位于原點(diǎn)，邊長為的電介質(zhì)立方體的極化強(qiáng)度矢量為。（1）計算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；（2）證明總的束縛電荷為零。解 （1） 同理 （2） 3.16 一半徑為的介質(zhì)球，介電常數(shù)為，其內(nèi)均勻分布自由電荷，證明中心點(diǎn)的電位為 解 由，可得到時， 即 ， 時， 即 ， 故中心點(diǎn)的電位為3.17 一個半徑為的介質(zhì)球，介電常數(shù)為，球內(nèi)的極化強(qiáng)度，其中為一常數(shù)。（1） 計算束縛電荷體密度和面密度；（2） 計算自由電荷密度；（3）計算球內(nèi)、外的電場和電位分布。解 （1） 介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為 在

8、的球面上，束縛電荷面密度為 （2）由于，所以 即 由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為 總的自由電荷量 （3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場強(qiáng)度分別為介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為3.18 （1）證明不均勻電介質(zhì)在沒有自由電荷密度時可能存在束縛電荷體密度；（2）導(dǎo)出束縛電荷密度的表達(dá)式。解 （1）由，得束縛電荷體密度為 在介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷密度時，則有 由于，有 所以 由此可見，當(dāng)電介質(zhì)不均勻時，可能不為零，故在不均勻電介質(zhì)中可能存在束縛電荷體密度。 （2）束縛電荷密度的表達(dá)式為 3.19 兩種電介質(zhì)的相對介電常數(shù)分別為=2和=3，其分界面為=0平面。如果已知介質(zhì)1中的電場的那么對于介質(zhì)2中的和，我們可得到什么

9、結(jié)果？能否求出介質(zhì)2中任意點(diǎn)的和？解 設(shè)在介質(zhì)2中在處，由和，可得于是得到 故得到介質(zhì)2中的和在處的表達(dá)式分別為 不能求出介質(zhì)2中任意點(diǎn)的和。由于是非均勻場，介質(zhì)中任意點(diǎn)的電場與邊界面上的電場是不相同的。3.20 電場中一半徑為、介電常數(shù)為的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分別為驗證球表面的邊界條件，并計算球表面的束縛電荷密度。解 在球表面上故有 ， 可見和滿足球表面上的邊界條件。 球表面的束縛電荷密度為3.21 平行板電容器的長、寬分別為和，極板間距離為。電容器的一半厚度()用介電常數(shù)為的電介質(zhì)填充，如題3.21圖所示。(1) (1)  板上外加電壓，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷

10、；(2) (2)  若已知板上的自由電荷總量為，求此時極板間電壓和束縛電荷；(3) (3)  求電容器的電容量。解 （1） 設(shè)介質(zhì)中的電場為，空氣中的電場為。由，有 題 3.21圖又由于 由以上兩式解得 ，故下極板的自由電荷面密度為 上極板的自由電荷面密度為 電介質(zhì)中的極化強(qiáng)度 故下表面上的束縛電荷面密度為 上表面上的束縛電荷面密度為 題3.22圖 （2）由 得到 故 （3）電容器的電容為 3.22 厚度為、介電常數(shù)為的無限大介質(zhì)板，放置于均勻電場中，板與成角，如題3.22圖所示。求：（1）使的值；（2）介質(zhì)板兩表面的極化電荷密度。解 （1）根據(jù)靜電場的邊界條件，在介質(zhì)板的

11、表面上有 由此得到 （2）設(shè)介質(zhì)板中的電場為，根據(jù)分界面上的邊界條件，有，即所以 介質(zhì)板左表面的束縛電荷面密度 介質(zhì)板右表面的束縛電荷面密度 3.23 在介電常數(shù)為的無限大均勻介質(zhì)中，開有如下的空腔，求各腔中的和：（1）平行于的針形空腔；（2）底面垂直于的薄盤形空腔；（3）小球形空腔（見第四章4.14題）。解 （1）對于平行于的針形空腔，根據(jù)邊界條件，在空腔的側(cè)面上，有。故在針形空腔中，（2）對于底面垂直于的薄盤形空腔，根據(jù)邊界條件，在空腔的底面上，有。故在薄盤形空腔中，3.24 在面積為的平行板電容器內(nèi)填充介電常數(shù)作線性變化的介質(zhì)，從一極板處的一直變化到另一極板處的，試求電容量。解 由題意可

12、知，介質(zhì)的介電常數(shù)為 設(shè)平行板電容器的極板上帶電量分別為，由高斯定理可得所以，兩極板的電位差 故電容量為 3.25 一體密度為的質(zhì)子束，束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為，束外沒有電荷分布，試計算質(zhì)子束內(nèi)部和外部的徑向電場強(qiáng)度。解 在質(zhì)子束內(nèi)部，由高斯定理可得 故 在質(zhì)子束外部，有 故 3.26 考慮一塊電導(dǎo)率不為零的電介質(zhì)，設(shè)其介質(zhì)特性和導(dǎo)電特性都是不均勻的。證明當(dāng)介質(zhì)中有恒定電流時，體積內(nèi)將出現(xiàn)自由電荷，體密度為。試問有沒有束縛體電荷？若有則進(jìn)一步求出。解 對于恒定電流，有，故得到 介質(zhì)中有束縛體電荷，且3.27 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為，介質(zhì)的分界面半徑為。兩層介

13、質(zhì)的介電常數(shù)為和，電導(dǎo)率為和。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度；（3）同軸線單位長度的電容及漏電阻。解 （1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為，則由，可得電流密度介質(zhì)中的電場 由于 于是得到 故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為 （2）由可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為 （3）同軸線單位長度的漏電阻為 由靜電比擬，可得同軸線單位長度的電容為 3.28 半徑為和的兩個同心的理想導(dǎo)體球面間充滿了介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)(為常數(shù))。若內(nèi)導(dǎo)體球面的電位為，外導(dǎo)體

14、球面接地。試求：（1）媒質(zhì)中的電荷分布；（2）兩個理想導(dǎo)體球面間的電阻。解 設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為，由于電流密度成球?qū)ΨQ分布，所以電場強(qiáng)度 由兩導(dǎo)體間的電壓 可得到 所以 媒質(zhì)中的電荷體密度為 媒質(zhì)內(nèi)、外表面上的電荷面密度分別為（2）兩理想導(dǎo)體球面間的電阻3.29 電導(dǎo)率為的無界均勻電介質(zhì)內(nèi)，有兩個半徑分別為和的理想導(dǎo)體小球，兩球之間的距離為，試求兩小導(dǎo)體球面間的電阻。解 此題可采用靜電比擬的方法求解。假設(shè)兩小球分別帶電荷和，由于兩球間的距離、，可近似認(rèn)為小球上的電荷均勻分布在球面上。由電荷和的電位疊加求出兩小球表面的電位差，即可求得兩小導(dǎo)體球面間的電容，再由靜電比擬求出兩小導(dǎo)體球面間的

15、電阻。設(shè)兩小球分別帶電荷和，由于、，可得到兩小球表面的電位為所以兩小導(dǎo)體球面間的電容為 由靜電比擬，得到兩小導(dǎo)體球面間的電導(dǎo)為 故兩個小導(dǎo)體球面間的電阻為 3.30 在一塊厚度的導(dǎo)電板上， 由兩個半徑為和的圓弧和夾角為的兩半徑割出的一塊扇形體，如題3.30圖所示。求：（1）沿厚度方向的電阻；（2）兩圓弧面之間的電阻；沿方向的兩電極的電阻。設(shè)導(dǎo)電板的電導(dǎo)率為。解 （1）設(shè)沿厚度方向的兩電極的電壓為，則有題3.30圖故得到沿厚度方向的電阻為（2）設(shè)內(nèi)外兩圓弧面電極之間的電流為，則故得到兩圓弧面之間的電阻為（3）設(shè)沿方向的兩電極的電壓為，則有 由于與無關(guān)，所以得到 故得到沿方向的電阻為 3.31 圓

16、柱形電容器外導(dǎo)體內(nèi)半徑為，內(nèi)導(dǎo)體半徑為。當(dāng)外加電壓固定時，在一定的條件下，求使電容器中的最大電場強(qiáng)度取極小值的內(nèi)導(dǎo)體半徑的值和這個的值。解 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度帶電荷為，由高斯定理可求得圓柱形電容器中的電場強(qiáng)度為由內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓 得到 由此得到圓柱形電容器中的電場強(qiáng)度與電壓的關(guān)系式 在圓柱形電容器中，處的電場強(qiáng)度最大 令對的導(dǎo)數(shù)為零，即 由此得到 故有 3.32 證明：同軸線單位長度的靜電儲能等于。為單位長度上的電荷量，為單位長度上的電容。解 由高斯定理可求得圓柱形電容器中的電場強(qiáng)度為 內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為則同軸線單位長度的電容為 同軸線單位長度的靜電儲能為 3.33 如題3.33圖所示，一半徑為

17、、帶電量的導(dǎo)體球，其球心位于兩種介質(zhì)的分界面上，此兩種介質(zhì)的電容率分別為和，分界面為無限大平面。求：（1）導(dǎo)體球的電容；（2） 總的靜電能量。解 （1）由于電場沿徑向分布，根據(jù)邊界條件，在兩種介質(zhì)的分界面上，故有 。由于、，所以。由高斯定理，得到即 題 3.33圖所以 導(dǎo)體球的電位故導(dǎo)體球的電容 （2） 總的靜電能量為 3.34 把一帶電量、半徑為的導(dǎo)體球切成兩半，求兩半球之間的電場力。解 先利用虛位移法求出導(dǎo)體球表面上單位面積的電荷受到的靜電力，然后在半球面上對積分，求出兩半球之間的電場力。導(dǎo)體球的電容為 故靜電能量為 根據(jù)虛位移法，導(dǎo)體球表面上單位面積的電荷受到的靜電力方向沿導(dǎo)體球表面的外

18、法向，即 這里 在半球面上對積分，即得到兩半球之間的靜電力為3.35 如題3.35圖所示，兩平行的金屬板，板間距離為，豎直地插入在電容率為的液體中，兩板間加電壓，證明液面升高其中為液體的質(zhì)量密度。解 設(shè)金屬板的寬度為、高度為。當(dāng)金屬板間的液面升高為時，其電容為題3.35圖 金屬板間的靜電能量為液體受到豎直向上的靜電力為而液體所受重力與相平衡，即 故得到液面上升的高度3.36 可變空氣電容器，當(dāng)動片由至電容量由至直線地變化，當(dāng)動片為角時，求作用于動片上的力矩。設(shè)動片與定片間的電壓為。解 當(dāng)動片為角時，電容器的電容為此時電容器中的靜電能量為 作用于動片上的力矩為 3.37 平行板電容器的電容是，其中是板的面積，為間距，忽略邊緣效應(yīng)。題3.37圖 （1）如果把一塊厚度為的不帶電金屬插入兩極板之間，但不與兩極接觸，如題3.37圖所示。則在原電容器電壓一定的條件下，電容器的能量如何變化？電容量如何變化？（2）如果在電荷一定的條件下，將一塊橫截面為、介電常數(shù)為的電介質(zhì)片插入電容器(與電容器極板面積基本上垂直地插入，如題3.37圖所示，則電容器的能量如何變化？電容量又如何變化？ 解 （1）在電壓一定的條件下，未插入金屬板前，極板間的電場為電容為 靜電能量為 當(dāng)插入金屬板后，電容器中的電場為 此時靜電能量