用excel做洛倫茨曲線

1、更多課程傳送門：點(diǎn)這里 用Excel表達(dá)貧富不均洛侖茲曲線的繪制及基尼系數(shù)的定積分計(jì)算在反貧困工作中有兩項(xiàng)重要的統(tǒng)計(jì)工具：洛侖茲曲線和基尼系數(shù)，它們使用、整理大量調(diào)查數(shù)據(jù)所繪制的圖形、曲線及計(jì)算結(jié)果，可以用來(lái)說(shuō)明社會(huì)收入差距大小，貧富兩極分化程度。這些工作可以使用Excel來(lái)處理。根據(jù)本人近年實(shí)踐，總結(jié)介紹如下。1.洛侖茲曲線洛侖茲曲線研究的是國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配問(wèn)題，這是美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家洛侖茲提出來(lái)的。它先將一國(guó)或一地區(qū)人口按收入由低到高排隊(duì)，然后考慮收入最低的任意百分比人口所得到的收入百分比。例如最低的10%、20%、30%的人口等等所得到的收入比例分別為1.09%、4.16%、9.21%

2、等等，如表1所示，最后將這樣得到的人口累計(jì)百分比和收入累計(jì)百分比的對(duì)應(yīng)關(guān)系制成圖表，即得到洛侖茲曲線，如圖0所示。表1圖0上圖即為洛倫茲曲線，其橫坐標(biāo)是相對(duì)人口累計(jì)百分比，縱坐標(biāo)是收入累計(jì)百分比。如果收入是絕對(duì)均等的（當(dāng)然這只是一種理想化的狀態(tài)）， 每1%的人口都得到1%的收入，累計(jì)99%的人口就得到累計(jì)99%的收入，則收入分配是完全平等的，累計(jì)收入曲線就是上圖中的對(duì)角線OL，圖中標(biāo)明是“絕對(duì)均等線”。假如收入分配絕對(duì)不均等（當(dāng)然這也是一種設(shè)想的狀態(tài)），幾乎所有的人口均一無(wú)所有，即99%的人完全沒(méi)有收入，而所有的收入都在1% 的人手中，即1%的人擁有100%的收入，累計(jì)分配曲線是由橫軸和右邊垂

3、線組成的折線OAL。圖中標(biāo)明是“絕對(duì)不均等線”一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)國(guó)家、一個(gè)地區(qū)的收入分配，既不是完全不平等，也不是完全平等，而是介于兩者之間，那么相應(yīng)的洛侖茲曲線既不是折線OAL，也不是對(duì)角線OL，而是介于兩者之間的就是中間那條向橫軸突出的OCL曲線。洛侖茲曲線的彎曲程度具有重要意義。一般來(lái)說(shuō)它的彎曲程度反映了收入的不平等程度，彎曲程度越大，收入分配程度越不公平。洛倫茲曲線和對(duì)角線之間的那塊月牙形區(qū)域（圖中斜線區(qū)域）可以看成是貧富之間的那條溝坎。這塊月牙形區(qū)域面積S大小，可以用來(lái)表征實(shí)際收入分配與理想境界的差距：這塊月牙形區(qū)域面積S越大，洛倫茲曲線彎曲度越大，月牙彎得越大，它和對(duì)角線離開(kāi)得越遠(yuǎn)，說(shuō)

4、明收入差距越大，貧富兩極分化越嚴(yán)重。反之，這塊月牙形區(qū)域面積S越小，洛倫茲曲線越平緩，月牙彎得越小，它和對(duì)角線靠得越近，說(shuō)明社會(huì)收入差距越小，貧富兩極分化越不明顯。用Excel繪制洛侖茲曲線,主要使用面積圖，先繪制絕對(duì)平均區(qū)域的對(duì)角線三角形面積圖，并以某顯著顏色圖案著色。再繪制洛侖茲曲線，選擇一個(gè)前景色著色，掩蓋前者的一部分以后，就可見(jiàn)到月牙形的曲邊形，從而為基尼系數(shù)的計(jì)算做了準(zhǔn)備。繪制洛侖茲曲線的步驟如下：【步驟01】：選擇單元格C2:C12作圖表，進(jìn)入【圖表向?qū)?4 步驟之 1-圖表類型】，子圖表類型選擇“面積圖”第一行第一個(gè)“面積圖。顯示各種樹(shù)脂隨時(shí)間或類別而變化的趨勢(shì)線”，如圖1：圖1

5、【步驟2】：進(jìn)入“下一步”，添加標(biāo)題“洛侖茲曲線”，取消圖例，完成后對(duì)系列、坐標(biāo)軸數(shù)據(jù)格式等格式調(diào)整后所得圖形如圖2：圖2【步驟03】：取消網(wǎng)格線，將系列內(nèi)部顏色調(diào)整為黑色斜線條，如圖3：圖3【步驟04】：選擇圖表，右鍵選“源數(shù)據(jù)”，添加系列2，其值通過(guò)右端小按鈕選取輸入為“=Sheet2!$B$2:$B$12”，如圖4：圖4【步驟05】：確定后，加上X軸、Y軸標(biāo)題，取消X軸數(shù)據(jù)標(biāo)志，調(diào)整系列2內(nèi)部顏色，手工使用文本框?qū)懭隣、A、L、B、C和漢字，插入箭頭，并長(zhǎng)按Ctrl鍵，將這些加入內(nèi)容和原圖標(biāo)都選中疊加，右鍵選“組合”-“組合”，從而完成洛侖茲曲線圖的繪制，如圖5所示。圖52.基尼系數(shù)洛倫

6、茲曲線常用來(lái)形象化地說(shuō)明問(wèn)題，它不可能用一個(gè)確切的數(shù)字來(lái)表示收入差異的總體水平，國(guó)際通用的衡量這種水平的最常用的是基尼系數(shù)?；嵯禂?shù)是從洛倫茲曲線推導(dǎo)出來(lái)的，用以測(cè)定洛倫茲曲線背離完全均等狀況的程度?；嵯禂?shù)的計(jì)算是這樣的：設(shè)：洛倫茲曲線和對(duì)角線之間的那塊區(qū)域（圖中斜線區(qū)域）面積為S， 絕對(duì)不均等折線和絕對(duì)均等對(duì)角線圍成的三角形OAL區(qū)域的面積為P 基尼系數(shù)G S P 。關(guān)于基尼系數(shù)的解讀，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：當(dāng)收入分配完全均等時(shí)，S 0，于是，G 0；當(dāng)收入分配完全不均等時(shí)，S P ，G 1；現(xiàn)實(shí)生活中，基尼系數(shù)總是介于0和1之間，即0 G 1；基尼系數(shù)越大說(shuō)明收入分配越不平等，基尼系數(shù)越小，

7、表明收入分配越趨于均等。聯(lián)合國(guó)有關(guān)組織規(guī)定：若收入的基尼系數(shù) 0.2 表示收入分配絕對(duì)平均；收入的基尼系數(shù)介于 0.2 0.3 表示比較平均；收入的基尼系數(shù)介于 0.3 0.4 表示相對(duì)合理；收入的基尼系數(shù)介于 0.4 0.5 表示收入差距較大；收入的基尼系數(shù) 0.6以上表示收入分配差距懸殊。對(duì)于基尼系數(shù)的具體計(jì)算，關(guān)鍵在于幾個(gè)圖形的面積計(jì)算。其中：OAL的面積為 0.5 (OL是邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線)曲邊形OALC的面積則不能用初等數(shù)學(xué)的方式求得，可用定積分求曲線OCL下面積。為此，先要確定曲線OCL方程。由于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不是連續(xù)曲線，事先也無(wú)確定方程，這些數(shù)據(jù)都是一些離散的點(diǎn)，因此，我們利

8、用Excel作出它們的散點(diǎn)圖（而不是前面的面積圖），再使用添加趨勢(shì)線的方式，求得這條擬合趨勢(shì)線的方程，再利用定積分求得該曲線下面積。下面，以上面例子的數(shù)據(jù)說(shuō)明求解過(guò)程?！厩蠡嵯禂?shù) 步驟 01】：選擇單元格C2:C13, 進(jìn)入【圖表向?qū)?4 步驟之 1-圖表類型】對(duì)話框,選擇“X Y散點(diǎn)圖”,在“下一步”取消圖例，完成后得到圖6 所示XY散點(diǎn)圖。選擇散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)，右鍵選擇“添加趨勢(shì)線”，見(jiàn)圖6：圖6【求基尼系數(shù) 步驟 02】：在【添加趨勢(shì)線】對(duì)話框中，切換到“類型”選項(xiàng)卡，在“趨勢(shì)預(yù)測(cè)/回歸分析類型”中，可以根據(jù)題意及定積分計(jì)算方便，選擇“多項(xiàng)式”，“階數(shù)”可調(diào)節(jié)為2（視曲線與點(diǎn)擬合程度調(diào)節(jié)

9、），如圖7：圖7【求基尼系數(shù) 步驟 03】：切換到“選項(xiàng)”選項(xiàng)卡，選中“顯示公式”復(fù)選框，“設(shè)置截距=0”視情況也可選中，如圖8，確定后，如圖9，其中的公式，就是通過(guò)回歸求得的擬合曲線的方程。圖8圖9【求基尼系數(shù) 步驟 04】：為求曲邊形OALC的面積，可用定積分求曲線OCL下面積，先用不定積分求其原函數(shù)：再求其定積分：         F(1)-F(0)              0.

10、335(此題計(jì)算比較簡(jiǎn)單，只需口算即可得到解答。如實(shí)際計(jì)算比較復(fù)雜,可再次利用Excel輸入公式計(jì)算,此處不再贅述。)即 曲邊形OALC的面積=0.335S(月牙形面積) OAL的面積-曲邊形OALC的面積 0.165【求基尼系數(shù) 步驟 05】：基尼系數(shù)G S(月牙形面積) OAL的面積 0.165 / 0.5 0.33該基尼系數(shù)介于 0.3 0.4 表示收入分配相對(duì)合理。求基尼系數(shù)的關(guān)鍵是：其一：使用離散的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出XY散點(diǎn)圖，并用“添加趨勢(shì)線”的方式，求出擬合曲線的方程，方程的類型和次數(shù)可視擬合程度調(diào)整，不過(guò)選擇多項(xiàng)式的話，在之后的使用積分求原函數(shù)的公式比較方便；其二：在擬合曲線的方程確

11、定后，使用定積分計(jì)算曲線下面積，計(jì)算月牙形面積，最后即可求得基尼系數(shù)?！玖?xí)題； 利用某市2005年統(tǒng)計(jì)年鑒提供數(shù)據(jù)，繪制當(dāng)年該市洛侖茲曲線圖，并求基尼系數(shù)】表2作出輔助圖標(biāo)后，所作洛侖茲曲線如圖10：圖10做散點(diǎn)圖，添加趨勢(shì)線，擬合方程選多項(xiàng)式，次數(shù)分別選擇二次（圖11）、三次(圖12)和四次(圖13)，顯然對(duì)于二次曲線，線外數(shù)據(jù)點(diǎn)較多，三次曲線還有個(gè)別數(shù)據(jù)點(diǎn)散落在線外，只有四次曲線擬合較好。 圖11 數(shù)據(jù)點(diǎn)落在曲線外較多圖12 仍有部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)落在曲線外圖13 數(shù)據(jù)點(diǎn)和曲線擬合較好即采用四次曲線:Y= 1.9953X4 - 2.6705X3 + 1.4836X2 + 0.1918X最后計(jì)算：曲邊形OALC的面積=0.321869S(月牙形面積) OAL的面積-曲邊形OALC的面積 0.178135【求基尼系數(shù) 步驟 05】：基尼系數(shù)G S(月牙形面積) OAL的面積 0.178135 / 0.5 0.35627 0.36該基尼系數(shù)介于 0.3 0.4 表示該市2005年居民收入分配相對(duì)合理。特別要指出的是：雖然對(duì)于基尼系數(shù)在我國(guó)研究中的適用性還存在一定的爭(zhēng)議，但作為國(guó)際通用的常用指標(biāo)之一，仍然可以用來(lái)衡量社會(huì)不平等程度的重要指標(biāo)，能夠在一定程度上反映社會(huì)收入分配中存在的問(wèn)題。聯(lián)合國(guó)開(kāi)發(fā)計(jì)劃署（UNDP）委托中國(guó)發(fā)展研究基金會(huì)組織撰寫的中國(guó)人