2016年高考試題(數(shù)學(xué)理)四川卷-解析版(共20頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2016年普通高等學(xué)校全國統(tǒng)一考試（四川卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.集合，Z為整數(shù)集，則中元素的個(gè)數(shù)是（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】試題分析：由題意，故其中的元素個(gè)數(shù)為5，選C.考點(diǎn)：集合中交集的運(yùn)算.【名師點(diǎn)睛】集合的概念及運(yùn)算一直是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題.一般是結(jié)合不等式，函數(shù)的定義域值域考查，解題的關(guān)鍵是結(jié)合韋恩圖或數(shù)軸解答.2. 設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項(xiàng)為（A）15x4 （B）15x4 （C）20i x4 （D

2、）20i x4【答案】A考點(diǎn)：二項(xiàng)展開式，復(fù)數(shù)的運(yùn)算.【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運(yùn)算即可二項(xiàng)式的展開式可以改為，則其通項(xiàng)為，即含的項(xiàng)為3. 為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（A）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 （B）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度（C）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 （D）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度【答案】D【解析】試題分析：由題意，為了得到函數(shù)，只需把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)向右移個(gè)單位，故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像的平移.【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象平移，在函數(shù)的圖象平移變換

3、中要注意人“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個(gè)單位得，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，向左平移個(gè)單位得的圖象4. 用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【答案】D考點(diǎn)：排列、組合【名師點(diǎn)睛】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏，分步時(shí)要注意整個(gè)事件的完成步驟在本題中，個(gè)位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個(gè)位置，第二步再安排其他四個(gè)位置.5. 某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研

4、發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）（ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年【答案】B【解析】試題分析：設(shè)第年的研發(fā)投資資金為，則，由題意，需，解得，故從2019年該公司全年的投入的研發(fā)資金超過200萬，選B.考點(diǎn)：等比數(shù)列的應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用在實(shí)際問題中平均增長率問題可以看作是等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把哪個(gè)作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，列出不等式或方程就

5、可解得結(jié)論6. 秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為（A）9 （B）18 （C）20 （D）35【答案】B考點(diǎn)：1.程序與框圖；2.秦九韶算法；3.中國古代數(shù)學(xué)史.【名師點(diǎn)睛】程序框圖是高考的熱點(diǎn)之一，幾乎是每年必考內(nèi)容，多半是考循環(huán)結(jié)構(gòu)，基本方法是將每次循環(huán)的結(jié)果一一列舉出來，與判斷條件比較即可7. 設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足，q：實(shí)數(shù)x，y滿足 則p是q的（A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件

6、（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A考點(diǎn)：1.充分條件、必要條件的判斷；2.線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性的判斷問題，首先是分清條件和結(jié)論，然后考察條件推結(jié)論，結(jié)論推條件是否成立.這類問題往往與函數(shù)、三角、不等式等數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來考，本題條件與結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的關(guān)系，利用充分性、必要性和集合的包含關(guān)系得結(jié)論 8. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線 上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且=2,則直線OM的斜率的最大值為（A） （B） （C） （D）1【答案】C【解析】試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由已知得，故選C.考點(diǎn)：拋物線的簡單的幾何性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用【

7、名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題意要求，利用拋物線的參數(shù)方程表示出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求出點(diǎn)的坐標(biāo)，是我們求點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法，由于要求最大值，因此我們把斜率用參數(shù)表示出后，可根據(jù)表達(dá)式形式選用函數(shù)，或不等式的知識求出最值，本題采用基本不等式求出最值9. 設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則PAB的面積的取值范圍是（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.兩直線垂直關(guān)系；3.直線方程的應(yīng)用；4.三角形面積取值范圍.【名師

8、點(diǎn)睛】本題首先考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其次考查最值問題，解題時(shí)可設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線垂直求出這兩點(diǎn)的關(guān)系，同時(shí)得出切線方程，從而得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩直線相交得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得面積，題中把面積用表示后，可得它的取值范圍解決本題可以是根據(jù)題意按部就班一步一步解得結(jié)論這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實(shí)而基礎(chǔ)，簡單而實(shí)用10. 在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足 =,=-2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足 =1，=，則的最大值是（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積運(yùn)算；2.向量的夾角；3.解析幾何中與圓有關(guān)的最值問題.【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的

9、平方的最大值，因此我們要把它用一個(gè)參數(shù)表示出來，解題時(shí)首先對條件進(jìn)行化簡變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，因此可用圓的性質(zhì)得出最值二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11. = .【答案】【解析】試題分析：由二倍角公式得考點(diǎn)：三角函數(shù)二倍角公式【名師點(diǎn)睛】這是一個(gè)來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本有許多三角函數(shù)的求值問題一般都是通過三角函數(shù)的公式把函數(shù)化為特殊角的三角函數(shù)值而求解12. 同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是 .

10、【答案】考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的均值【名師點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的均值（期望），根據(jù)期望公式，首先求出隨機(jī)變量的所有可能取值，再求得對應(yīng)的概率，則均值為13. 已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 .【答案】【解析】試題分析：由三棱錐的正視圖知，三棱錐的高為，底面邊長為，2,2，則底面等腰三角形的頂角為，所以三棱錐的體積為.考點(diǎn)：三視圖，幾何體的體積.【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查幾何體體積，考查學(xué)生的識圖能力解題時(shí)要求我們根據(jù)三視圖想象出幾何體的形狀，由三視圖得出幾何體的尺寸，為此我們必須掌握基本幾何體（柱、錐、臺、球）的三視圖以及各種組合

11、體的三視圖14. 已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，則= .【答案】-2考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和周期性.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，屬于基本題，在求值時(shí)，只要把和，利用奇偶性與周期性化為上的函數(shù)值即可15 在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P(x，y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題：若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A單位圓的“伴隨曲線”是它自身；若曲線C關(guān)于x軸對稱，則其“伴隨曲線”關(guān)于y軸對稱；一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命

12、題是_（寫出所有真命題的序列）.【答案】考點(diǎn)：對新定義的理解、函數(shù)的對稱性.【名師點(diǎn)睛】本題考查新定義問題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向它考查學(xué)生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學(xué)生分析問題與解決問題的能力，新定義的概念實(shí)質(zhì)上只是一個(gè)載體，解決新問題時(shí)，只要通過這個(gè)載體把問題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的知識即可本題新概念“伴隨”實(shí)質(zhì)是一個(gè)變換，一個(gè)坐標(biāo)變換，只要根據(jù)這個(gè)變換得出新的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判斷，問題就得以解決三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16. （本小題滿分12分）我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水

13、收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中a的值；（II）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說明理由.【答案】（）；（）36000；（）2.9試題解析：（）由頻率分布直方圖知，月均用水量在0,0.5)中的頻率為0.08&

14、#215;0.5=0.04，同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5)中的頻率分別為0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30（）由（），100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.12=36 000（）因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0

15、.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5x<3由0.3×(x2.5)=0.850.73，解得x=2.9所以，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)考點(diǎn)：頻率分布直方圖.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第個(gè)小矩形面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識圖的基礎(chǔ)17. （本小題滿分12分）在ABC中，角A,B,C所

16、對的邊分別是a,b,c,且.（I）證明：；（II）若，求.【答案】（）證明詳見解析；（）4.試題解析：（）根據(jù)正弦定理，可設(shè)=k(k>0)則a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C代入+=中，有+=，變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)在ABC中，由A+B+C=，有sin(A+B)=sin(C)=sin C，所以sin Asin B=sin C（）由已知，b2+c2a2=bc，根據(jù)余弦定理，有cos A=所以sin A=由（），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，所以sin B=cos B+s

17、in B，故考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題的能力和計(jì)算能力.在解三角形的應(yīng)用中，凡是遇到等式中有邊又有角時(shí)，可用正弦定理進(jìn)行邊角互化，一種是化為三角函數(shù)問題，一般是化為代數(shù)式變形問題在角的變化過程中注意三角形的內(nèi)角和為這個(gè)結(jié)論，否則難以得出結(jié)論18. （本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E為邊AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°. （）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PBE，.并說明理由；（）若二面

18、角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）詳見解析；（）.試題解析：（）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點(diǎn)M（M平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下：由已知，BCED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.，所以CDEB從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.（說明：延長AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)）（）方法一：設(shè)BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2.過點(diǎn)A作AHCE，交CE的延長線于點(diǎn)H，連接PH.易知PA平面ABCD，從而PACE.于

19、是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.過A作AQPH于Q，則AQ平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由 得 設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為，則sin= = .所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為 .考點(diǎn)：線線平行、線面平行、向量法.【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計(jì)

20、算能力.證明線面平行時(shí)，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過面外的直線的一個(gè)平面與此平面相交而得，證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫全，否則會(huì)被扣分，求線面角（以及其他角），一種方法可根據(jù)定義作出這個(gè)角（注意還要證明），然后通過解三角形求出這個(gè)角另一種方法建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求角，這種方法主要是計(jì)算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可19. （本小題滿分12分）已知數(shù)列 的首項(xiàng)為1， 為數(shù)列的前n項(xiàng)和， ，其中q>0， .（）若 成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)雙曲線 的離心率為 ，且 ，證明：.【答案】（）；（）詳見解析

21、.（）先利用雙曲線的離心率定義得到的表達(dá)式，再由解出的值，要證明題設(shè)不等式，一般想法是求出和，但數(shù)列的和不可求，因此我們利用放縮法得，從而有，右邊的和是等比數(shù)列的和，可求，此和即為要證不等式的右邊最后利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算證明.試題解析：（）由已知， 兩式相減得到.又由得到，故對所有都成立.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列.從而.由成等比數(shù)列，可得，即，則，由已知,，故 .所以.考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和公式.【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力.在第（）問中，已知的是

22、的遞推式，在與的關(guān)系式中，經(jīng)常用代換（），然后兩式相減，可得的遞推式，利用這種方法解題時(shí)要注意；在第（）問中，不等式的證明用到了放縮法，這是證明不等式常用的方法，本題放縮的目的是為了求數(shù)列的和另外放縮時(shí)要注意放縮的“度”不能太大，否則得不到結(jié)果20. （本小題滿分13分）已知橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.（）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；（）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.【答案】（），點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）；（）.試題解析：（I）由已知，即，所以，則橢圓E的方程為.由方程組 得.方程的判別式為，由，得，此方程的解為，所以橢圓E的方程為.點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,