總體特征數(shù)的估計(jì)(均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差)

1、立發(fā)中學(xué)立發(fā)中學(xué) 高二數(shù)學(xué)備課組高二數(shù)學(xué)備課組中位數(shù)：中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑陌岩唤M數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕泻?，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間順序排列后，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）眾數(shù)：眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)情境一情境一: 某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取了某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取了1010株，分別測(cè)得它們的株高如下（單位：厘米）：株，分別測(cè)得它們的株高如下（單位：厘米）： 甲：甲： 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙

2、：乙： 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40問：?jiǎn)枺耗姆N玉米苗長(zhǎng)得高？哪種玉米苗長(zhǎng)得高？分析：分析： 欲比較哪種玉米苗長(zhǎng)得高，可以比較一下它們的欲比較哪種玉米苗長(zhǎng)得高，可以比較一下它們的平平均高均高 ！反映了總體的反映了總體的某種特征某種特征總體特征數(shù)總體特征數(shù)3031總體特征數(shù)：總體特征數(shù)：通常把能反映總體某種特征的量稱為通常把能反映總體某種特征的量稱為總體特征數(shù)總體特征數(shù)如何反映總體的特征數(shù)？如何反映總體的特征數(shù)？用用樣本樣本的特征數(shù)估計(jì)的特征數(shù)估計(jì)總體總體的特征數(shù)！的特征數(shù)！情境二情境二: 在利用單擺檢驗(yàn)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，全班同學(xué)在在利用單擺檢驗(yàn)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中

3、，全班同學(xué)在相同的條件下進(jìn)行測(cè)試，得到下列數(shù)據(jù)（單位：相同的條件下進(jìn)行測(cè)試，得到下列數(shù)據(jù)（單位：m/s)m/s)9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.329.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.949.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90怎樣利用這些數(shù)據(jù)對(duì)重力加速度進(jìn)行估計(jì)？怎樣利用這些數(shù)據(jù)對(duì)重力加速度進(jìn)行估計(jì)？平均數(shù)平均數(shù)問題轉(zhuǎn)化為：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為：實(shí)驗(yàn)結(jié)果測(cè)得一組數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果測(cè)得一組數(shù)據(jù)為用用 作為重力加速度作為重力加速度“最理想的最理想的”近似近似值，依據(jù)是什么呢？值，

4、依據(jù)是什么呢？12 ,naaa算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)11niian=12naaan=a讀作：讀作： 平均平均 a 處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則是使這個(gè)近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則是使這個(gè)近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的離差（偏差）最小、設(shè)近似值為據(jù)之間的離差（偏差）最小、設(shè)近似值為x，則它與則它與n個(gè)實(shí)驗(yàn)值個(gè)實(shí)驗(yàn)值 ai（i1，2，3，n）的的離差分別為離差分別為 x-a1,x-a2,x-an平均數(shù)最能代表一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，平均數(shù)最能代表一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，也就是說它與樣本數(shù)據(jù)的離差最小。也就是說它與樣本數(shù)據(jù)的離差最小。稱為這稱為這n n個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)的 平均數(shù)或者均值平均數(shù)或者均值例1 某校高一年級(jí)的甲

5、乙兩個(gè)班級(jí)（均為某校高一年級(jí)的甲乙兩個(gè)班級(jí)（均為50人）的人）的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢偡謹(jǐn)?shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢偡?50），試確定這次考試中，哪），試確定這次考試中，哪個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)更好一些個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)更好一些 .甲班甲班 乙班乙班 甲班均分甲班均分 乙班均分乙班均分1128610684100105981029410787112949499901209895119108100961151111049510811110510410711910793102981121129992102938494941009084114116951099610698108991101039498105101115104112

6、101113961081001109810787108106103971071061111219710711412210110710711111410610410495111111110 思考思考某公司內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及工資分布：某公司內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及工資分布：人員經(jīng)理管理人員技工工人 學(xué)徒 合計(jì)月工資11000125011001000500人數(shù)165101023 某公司有經(jīng)理某公司有經(jīng)理1人，另有人，另有6名管理人員，名管理人員，5名高級(jí)名高級(jí)技工，技工，10名工人和名工人和10名學(xué)徒，現(xiàn)需要增加一名新工人。名學(xué)徒，現(xiàn)需要增加一名新工人。小張前來應(yīng)聘，經(jīng)理說：小張前來應(yīng)聘，經(jīng)理說：“我公司報(bào)酬不錯(cuò)，平

7、均工我公司報(bào)酬不錯(cuò)，平均工資每月資每月1695元。元?！毙埞ぷ鲙滋旌笳业浇?jīng)理說：小張工作幾天后找到經(jīng)理說：“你你欺騙了我，我問過其他工人，每月一個(gè)人的工資不超欺騙了我，我問過其他工人，每月一個(gè)人的工資不超過過1500元，平均月工資怎么能是元，平均月工資怎么能是1695元呢？元呢？”經(jīng)理拿經(jīng)理拿出如下表所示的工資表說：出如下表所示的工資表說：“你看，平均月工資就是你看，平均月工資就是1695元。元?！?在這個(gè)問題中，總體月平均數(shù)能客觀地反映工人的在這個(gè)問題中，總體月平均數(shù)能客觀地反映工人的月工資水平嗎？為什么？月工資水平嗎？為什么？ 在這個(gè)問題中，總體月平均數(shù)能客觀地反映工人的在這個(gè)問題中，總

8、體月平均數(shù)能客觀地反映工人的月工資水平嗎？為什么？月工資水平嗎？為什么？例例2 2：由下表計(jì)算學(xué)生日睡眠時(shí)間：由下表計(jì)算學(xué)生日睡眠時(shí)間6,6.5)50.056.5,7)170.177,7.5)330.337.5,8)370.378,8.5)60.068.5,920.02合合 計(jì)計(jì)1001例例3 3 高一（高一（1）班學(xué)生年齡統(tǒng)計(jì)：）班學(xué)生年齡統(tǒng)計(jì)：（班級(jí)共有班級(jí)共有43人）其中有人）其中有20人人18歲，歲，13人人17歲，歲，7人人16歲，歲，3人人15歲，求該班級(jí)的平均年齡。歲，求該班級(jí)的平均年齡。分析分析在班級(jí)年齡序列中在班級(jí)年齡序列中18出現(xiàn)了出現(xiàn)了20次，次， 17出現(xiàn)了出現(xiàn)了13次

9、，次，16出現(xiàn)了出現(xiàn)了7次，次，15出現(xiàn)了出現(xiàn)了3次次解：解：2013181717133465x “加權(quán)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)”17201373434318413131647815加權(quán)平均值加權(quán)平均值（用（用頻率頻率計(jì)算平均值）計(jì)算平均值） 一般地，若取值為一般地，若取值為 ， 出現(xiàn)的次數(shù)分別出現(xiàn)的次數(shù)分別為為 ，設(shè)頻率為，設(shè)頻率為 12,nx xx12,nfff12,nppp則其加權(quán)平均數(shù)為則其加權(quán)平均數(shù)為1122nnx px px p其中其中12(1)nppp收入范圍收入范圍所占百分所占百分比比1000010000 至至 150001500010%10%1500015000 至至 2000020

10、00015%15%2000020000 至至 250002500020%20%2500025000 至至 300003000025%25%3000030000 至至 350003500015%15%3500035000 至至 400004000010%10%4000040000 至至 50000500005%5%例例4 4：由某單位年收入表試估計(jì)該單位職工：由某單位年收入表試估計(jì)該單位職工 的平均年收入的平均年收入情境一情境一: 某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取了了1010株，分別測(cè)得它們的株高如下：株，分別測(cè)得它們的株高如下： 甲：甲： 31

11、32 35 37 33 30 32 31 30 29 乙：乙： 53 16 54 13 66 16 13 11 16 62問問：哪種玉米苗長(zhǎng)得哪種玉米苗長(zhǎng)得高高？哪種玉米苗長(zhǎng)得哪種玉米苗長(zhǎng)得齊齊？x= 32乙x=32甲怎么辦呢？怎么辦呢？甲甲37（最大值）（最大值）29（最小值）（最小值）8乙乙66（最大值）（最大值）11（最小值）（最小值）55極極 差差 甲甲： 31 32 35 37 33 30 32 31 30 29 乙乙： 53 16 54 13 66 16 13 11 16 62甲甲32372937321166乙乙一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差 如果甲乙兩組

12、數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，怎如果甲乙兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，怎么辦呢？么辦呢？ 我們可以考慮每一株的高度與平均高度的離差離差的平方和越小，長(zhǎng)的越齊離差的平方和越小，長(zhǎng)的越齊 設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù) ，其平均數(shù)為，其平均數(shù)為 ，則，則12,nx xxx稱稱s2為這個(gè)樣本的為這個(gè)樣本的方差，方差，11()niisxxn稱為這個(gè)樣本的稱為這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差，分別稱為，分別稱為樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差2222121()()()nsxxxxxxn2211()niisxxn 即即它的算術(shù)平方根它的算術(shù)平方根 樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的

13、差的平方和的平均數(shù)叫做均數(shù)叫做樣本方差樣本方差； 樣本方差的算術(shù)平方根叫做樣本方差的算術(shù)平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們用標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定大了離差的程度，我們用標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定 程度更好一些程度更好一些 描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)（離散程度）大小的描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)（離散程度）大小的特征數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差大說明波動(dòng)大特征數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差大說明波動(dòng)大. . 極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別和聯(lián)系：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別和聯(lián)系：例例1 1：從高一（：從高一（1 1）班的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)抽取

14、一小組）班的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)抽取一小組成績(jī)?nèi)缦拢ūＡ粽麛?shù)）：成績(jī)?nèi)缦拢ūＡ粽麛?shù)）：85 90 80 80 85 75 100 計(jì)算這組樣本數(shù)據(jù)的計(jì)算這組樣本數(shù)據(jù)的極差極差、方差方差和和標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差.例例2 2甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5 5年的平均單位年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：面積產(chǎn)量如下（單位：t/hmt/hm2 2），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。品種品種第第1 1年年第第2 2年年第第3 3年年第第4 4年年第第5 5年年甲甲9.89.89.99.910.110.1101010.210.2乙

15、乙9.49.410.310.310.810.89.79.79.89.8例例3 3為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換。已知某校使用的使用一段時(shí)間后必須更換。已知某校使用的100100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差。這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差。天數(shù)天數(shù)151151180180181181210210211211240240241241270270271271300300301301330330331331360360361361390390燈泡燈泡數(shù)數(shù)1 1111118182020252516167 72 21 1、在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)、在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：如下：9.49.4，8.48.4，9.49.4，9.99.9，9.69.6，