高數(shù)學(xué)習(xí)資料含講義及全部內(nèi)容5定積分的概念

1、第五章 定積分的概念教學(xué)目的與要求：1 解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓萊布尼茨公式。2 解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。3掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。5.1定積分概念一 定積分的定義不考慮上述二例的幾何意義，下面從數(shù)學(xué)的角度來定義定積分定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間，記在上任意取一點(diǎn)，作和式：如果無論a,b作怎樣分割，也無論在怎樣選取，只要有I （I為一個(gè)確定的常數(shù)），則稱極

2、限I是f(x)在a,b上的定積分，簡稱積分，記做即I=35 / 16其中f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx為積分表達(dá)式，a為積分下限，b為積分上限，x稱為積分變量，a,b稱為積分區(qū)間。注1 定積分還可以用語言定義2由此定義，以上二例的結(jié)果可以表示為A=和S=3有定義知道表示一個(gè)具體的書，與函數(shù)f(x)以及區(qū)間a,b有關(guān)，而與積分變量x無關(guān)，即=4定義中的不能用代替5如果存在，則它就是f(x)在a,b上的定積分，那么f(x)必須在a,b上滿足什么條件f(x)在a,b上才可積分呢？經(jīng)典反例：在0，1上不可積?？梢姾瘮?shù)f(x)在什么情況下可積分并不是一件容易的事情。以下給出兩個(gè)充分條件。定理1 設(shè)f(

3、x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上可積。定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在a,b上可積。定理3 設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)，則f(x)在a,b上可積。6幾何意義當(dāng)f(x)0時(shí)，表示曲邊梯形的面積；當(dāng)f(x) 0時(shí)，表示曲邊梯形的面積的負(fù)值；一般地，若f(x)在a,b上有正有負(fù)，則表示曲邊梯形面積的代數(shù)和。例1計(jì)算解：顯然f(x)在a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上可積，現(xiàn)將0，1分成n個(gè)等分，分點(diǎn)為，取作和式：所以：=e-17按照定義52定積分的性質(zhì)積分中值定理有定積分的定義知，是當(dāng)a<b時(shí)才有意義，而當(dāng)a=b與a>b時(shí)無意義，但為了

4、計(jì)算及應(yīng)用的方便，特作兩個(gè)規(guī)定：1 a=b時(shí)，=02 a>b時(shí)，=- 性質(zhì)1：和差的定積分等于它的定積分的和差，即 性質(zhì)2：常數(shù)因子可以外提（可以推廣到n個(gè)）性質(zhì)3：無論a,b,c的位置如何，有性質(zhì)4：f(x)則性質(zhì)5：若f(x)g(x)則性質(zhì)6：性質(zhì)7：設(shè)在，則性質(zhì)8：（積分中值定理）若f(x)在a,b上連續(xù)，則a,b上至少存一點(diǎn)，使下式成立，例1利用定積分幾何意義，求定積分值 上式表示介于, , , 之間面積例2、（估計(jì)積分值） 證明 證：在 上最大值為，最小值為2 53定積分的計(jì)算方法一 變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，x為a,b上任一點(diǎn)，顯然，f(x)在a,b上

5、連續(xù)，從而可積，定積分為由于積分變量與積分上限相同，為防止混淆，修改為（）稱是變上限積分的函數(shù)。定理1：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則在a,b上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為證明省略定理2：如果函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)是f(x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)。注意：1定理說明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在2此定理指出了定積分與原函數(shù)的關(guān)系二、基本定理 牛頓萊伯尼茲公式定理如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則。 (1)證已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，又根據(jù)前面的定理知道，積分上限的函數(shù)也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。于是這兩個(gè)原函數(shù)之差為某個(gè)常數(shù)，即 。 (2)在上

6、式中令x = a，得。又由F (x)的定義式及上節(jié)定積分的補(bǔ)充規(guī)定知F (a) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的F (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要證明的公式(1) 。由積分性質(zhì)知，(1)式對(duì)a>b的情形同樣成立。為方便起見，以后把F(b) F(a)記成。公式(1)叫做牛頓(Newton)-萊步尼茲(Leibniz)公式，它給定積分提供了一種有效而簡便的計(jì)算方法，也稱為微積分基本公式。例1計(jì)算定積分。解。例2計(jì)算。解。例3計(jì)算。解。例4計(jì)算正弦曲線y = sinx在0,p 上與x軸所圍成的平面圖形的面積。解。例5求解易知這是一

7、個(gè)型的未定式，我們利用洛必達(dá)法則來計(jì)算。因此。 例6、 54定積分的換元法定理：設(shè)（1）f(x)在a,b上連續(xù)，（2）函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)，且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，（3）時(shí)， 且則有換元公式：.(1)注1 用換元法時(shí)，當(dāng)用將積分變量x換成t求出原函數(shù)后，t不用回代，只要積分上下限作相應(yīng)的變化即可。2 必須嚴(yán)格單調(diào)3 可以大于4 從左往右看，是不定積分的第二換元法；從右往左看，可以認(rèn)為是第一換元法。 例1、法一 設(shè)法二設(shè)原式例2設(shè)在上連續(xù)，且,證明：若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)。證： 例3 奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分性質(zhì)，周期函數(shù)積分性質(zhì)(1) 在-a,a連續(xù)，當(dāng)為偶數(shù)，則當(dāng)為奇函數(shù)，則(2) ，以T

8、為周期說明在任何長度為T的區(qū)間上的積分值是相等的。例4、原式 例5、例6、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且 求解： 設(shè)則兩邊積分 5.5定積分的分部積分法定理：若u(x),v(x)在a,b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則證明：因?yàn)椋瑒t有，兩邊取定積分。有也可以寫成：例1解：例2解：=例3、設(shè)，求解： 例4 設(shè)在連續(xù)，可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)，有證： 在單調(diào)減，故56定積分的近似計(jì)算57廣義積分一 無窮限的廣義積分定義1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a , +¥ )上連續(xù)，取b>a，若極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a , +¥ )上的廣義積分，記作，即。 (1)這時(shí)也稱廣義積分收斂；若上述極限不存在，稱

9、為廣義積分發(fā)散。類似地，若極限存在，則稱廣義積分收斂。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥ ,+¥ )上連續(xù)，如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-¥ , +¥ )上的廣義積分，記作，也稱廣義積分收斂；否則就稱廣義積分發(fā)散。上述廣義積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義積分。例1：計(jì)算廣義積分解：=例2計(jì)算廣義積分以及解： 顯然發(fā)散同理也發(fā)散例3：證明廣義積分(a>0)當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p£ 1時(shí)發(fā)散。證當(dāng)p = 1時(shí)，,當(dāng)p¹ 1時(shí)，因此，當(dāng)p > 1時(shí)，這廣義積分收斂，其值為；當(dāng)p£ 1時(shí)，這廣義積分發(fā)散。二無界函數(shù)的廣義積分現(xiàn)在我們把定積分推廣到被積函數(shù)為無界函數(shù)的情形。定義2設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b上連續(xù)，而在點(diǎn)a的右領(lǐng)域內(nèi)無界，取，如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b上的廣義積分，仍然記作，這時(shí)也稱廣義積分收斂。類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù)，而在點(diǎn)c的領(lǐng)域內(nèi)無界，如果兩個(gè)廣義積分與都收斂，則定義；(2)否則，就稱廣義積分發(fā)散。例1證明廣義積分當(dāng)q < 1時(shí)收斂，當(dāng)q