等比數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)和典型例題

1、等比數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)與典型例題1、等比數(shù)列的定義:-a 二 q q = 0 n _ 2,且n ：= N* ， q 稱為公比 an丄2、通項(xiàng)公式:an = a-)qn _1a1 n-qq=A Bn a1 q 0, A B 0，首項(xiàng)：ai ;公比：q3、4、推廣：an _mn _man二 amq= q = q = namanam等比中項(xiàng)：（1）如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，即：A2二ab或五注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng) 有兩個（2）數(shù)列:an ?是等比數(shù)列二an2二anan 1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式:(1) 當(dāng) q “ 時，§5、(2)當(dāng)

2、q "時，Sn等比數(shù)列的判定方法:a1 1 _qn a _anq1 -q1 -qa11 -q61 -qqn =A-A Bn = A'Bn - A'( A, B, A',B'為常數(shù))(1)用定義：對任意的n，都有an 1二qan或 也 二q（q為常數(shù)，a. = 0）二a“為等比數(shù)an(2)等比中項(xiàng)：an2 =an何0）二an為等比數(shù)列(3)6、等比數(shù)列的證明方法:通項(xiàng)公式：an二A Bn A E = 0 = an為等比數(shù)列依據(jù)定義：若-a =q q =0 n_2,且n N*或an qa an為等比數(shù)列 an -A7、等比數(shù)列的性質(zhì):（2）對任何m,n，N

3、*，在等比數(shù)列 佝中，有aamqn。注:(3) 若 m n s t m n St N )，則 an aas at。特別的，當(dāng) m n = 2k 時，得 an aak2ai an = a2 an 1 = a3an 2 等差和等比數(shù)列比較:等差數(shù)列等比數(shù)列定義an 申an =d日“書=q(q0) an遞推公式an =an 丄 +d ； an = am_n +mdn _man =anq ； an =amq通項(xiàng)公式an =a1 + (n -1)dan =ag( aq 式0 )中項(xiàng)A=an 丄坷* (門，kN*, nAk»0 )2G=±Janan4k(an±an*A0)(

4、n, k N*, n AkA。)前n項(xiàng)和Sn = +an )2S J(n1) d Sn na1d2'naMq =1)SW1"國旳)1 一q1 一q重要性質(zhì)am *an =ap +aq*(m, n ,p,qN ,m + n = p+q)am ' an = ap ' aq*(m, n, p,q 乏 N ,m 十 n = p 十 q)經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例1.等比數(shù)列an中，印曰9 =64, a3+az=20,求a)1.思路點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過已知條件可列出關(guān)于a和q的二元方程組，解出 a和q，可得an ；或注意到下標(biāo)1 3 7，可以利

5、用性質(zhì)可求出as、ay，再求an .解析：(1)8ai ag = ai aiq64法一：設(shè)此數(shù)列公比為q，則26J a3 a = aqaq = 20由(2) 得: a2q2(1 q4) =20(3)-ai 0 .由得：(a2q4)2 =64 , /. qq4 =8 .十得:20 51 q42qA 2q4 -5q2 2 =0,解得 q2 =2或 q2 二2當(dāng) q =2 時，a = 2 ,= a q = 64 ；當(dāng) q 時，a = 32, a =a q1° =.法二： a a?二直 日7 = 64,又 a3 a 20,2二a3、a7為方程x -20x，64=0的兩實(shí)數(shù)根,a3 = 6a3

6、 = 4或a 4a 622a? a3 耳=a7 , q=或 a =64.a3總結(jié)升華： 列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時利用性質(zhì)可以減少計(jì)算量； 解題過程中具體求解時，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要用除法（除 式不為零）.舉一反三：【變式】an為等比數(shù)列，a=3，a9=768，求a6?！敬鸢浮客?968 8法一：設(shè)公比為 q，則 768=aq , q =256, q=± 2,. a6=± 96;法二： a5=aa9= a5=± 48= q=± 2,. a6=± 96?！咀兪?】a n為等比數(shù)列，an>0，

7、且aa89=6,求a44a45a46的值?！敬鸢浮?4;2aag9 二 a45 6，又 an > 0 , a45=4a44a45a46a45 64。【變式3】已知等比數(shù)列an，若 a a2 a 7 ,aa?a3求an?！敬鸢浮縜n =2n或an =23；法一:-a= a?,3aa2a a： a：二 2a * a = 5從而,解之得c= , a3=4或q=4 , a3= aa -4當(dāng) a=時，q = 2 ；當(dāng) a = 4時，q 二一。2故 an 二 2n4或 an = 23用。法二：由等比數(shù)列的定義知a2 = aq , a3=aq2a-.代入已知得 1a-2 -a-qa-q72小aiq a

8、iq82ai(1 q q ) =7,a-(1 q q2) =7,(1)3 3=a- q =8a-q=2(2)2 2將 a-i代入(1)得 2q 5q 2 = 0,q1解得q =2或q =-2ra1 何=4 由(2)得或 1，以下同方法一。lq=2仁類型二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例2.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S，若S+S6=2S9,求數(shù)列的公比q.解析：若 q=1，則有 S3=3a1, Se=6a1, S9=9a1.因a1 0，得S3+S5M 2S9,顯然q=1與題設(shè)矛盾，故1.由 S3 8289 得，迪)込*1(1 -,1_q 1_q 1_q整理得 q3(2q 6-q 3-1)=0 ,633

9、3由 q 豐 0,得 2q -q -1=0，從而(2q +1)(q -1)=0 ,3 3 1因q豐1，故q，所以q =2舉一反三:【變式1】求等比數(shù)列1 11, , |(的前6項(xiàng)和。3 9【答案】364;243印=1, q , n3 J1Q6IJ3【變式2】364 。243已知：an為等比數(shù)列，a1a2a3=27, S=13，求 S.121【答案】121或121 ；93J a； = 27 = a2 = 3, 13 =_- q = 3或q = 1，貝H a1=1 或 a1=91 -q3:87=121或2941-31211-31-3【變式3】在等比數(shù)列an中，a an=66 ,a2 an j =

10、128, Sn = 126，求 n 和 q。1【答案】q 或2,2-a2 an 1 =ai an，二 aian=128解方程組機(jī)二128，得=66ai = 64an = 2a1或a=2=64Ja1將an=64=2代入S嚴(yán)a1 _anq得1 -q將an =64代入Sn =，侍q =2'1 -q由 an =aqn 1，解得 n = 6。1二 q 或 2, n = 6。2類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例 3.等比數(shù)列an中，若 a d =9,求 logsd +Iog3a2 +. + 1093% .解析： an是等比數(shù)列,耳810=a?a9-a3a -a4a -as6=9 Iog3a1Iog3a2 亠

11、 亠Iog3ae=log3(a1a?七彳丨“印。)=log3(a5a6)5=Iog395=10舉一反三：【變式1】正項(xiàng)等比數(shù)列an中，若a1 a100=100;則Iga 1+Iga 2+lga 100=.【答案】100;/ Iga 1+Iga 2+Iga 3+lga 100=lg(a 1 a2 a3 aw0)而 a1 a100=a2 a99=a3 a98= =a50 a51原式=Ig(a1 a100)5°=50lg(a 1 a10°)=50 x Ig100=100。807【變式2】在8和27之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為32【答案】216;法一

12、：設(shè)這個等比數(shù)列為an，其公比為q ,8274844a1 匚，a5=2TTq 7 qq5 / 11=6 =216。. 2a2 a3 q 二 aq aq3 36 I 8aiqai q - I丿法二：設(shè)這個等比數(shù)列為an，公比為q，則827加入的三項(xiàng)分別為 a2, a3, a4,由題意a1, sb , a5也成等比數(shù)列，2 8a332736，故 a3 = 6 ,2-a? q &4 = a； q =a； =216。類型四：等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4 在等比數(shù)列an中，已知Sn =48 , S2n =60,求。k項(xiàng)和,思路點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即

13、等比數(shù)列中前 第2個k項(xiàng)和，第3個k項(xiàng)和，第 n個k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。解析：法:令 bi=S=48, b 2=S2n-S n=60-48=I2 , b3=S3n-S2n 觀察 bi=ai+a2+an,b2=3n+i+an+2+a2n=q (a i+a2+an),b3=a2n+i + a2n+2+9:3n=q (a i + &+an)易知bi,b2,b3成等比數(shù)列， b3 =bi22 33,48S3n =b3+S2n=3+60=63法二：-S2n =25 , q ",牡心=48i q由已知得|ai(i-q) 6060一q十得1 qn=5，即 qn4Si代入得i q二 64 ,

14、3nS3nCd)=64(i-l)=63。i -q4法三:T Sn為等比數(shù)列， Sn , S2n -Sn , Sin - S?*也成等比數(shù)列,2 (S2n - Sn)SnC -翁)，.s =(S2n -十 $3n2nSn舉一反三：【變式1】等比數(shù)列an中，公比q=2, S 4=1,則S=.【答案】17;44444444S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a 1 q +a2q +a3q +a4q =S4+q (a 1+a2+a3+a4)=S4+q S=S4(1+q )=1 x (1+2 )=17【變式2】已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=10, S20=40,求：S30= ?【答案

15、】130;法 一 :S10, S20-S 10, S30-S 20 構(gòu)成等比數(shù)列，(S20-S 10) =S° (S30-S20)即 30=1000-40), S30=130.法二：T 2Si0 豐 S20,. q - 1,-10、10, S20Sioai(1-q101 _q201 -q二S30 二1 -q二1, q10 =3, 二 _541 -q30、3(1 - q )= 0440,1-qa11 -q【變式3】等比數(shù)列=(一5)(1 一33) =130.an的項(xiàng)都是正數(shù)，若80, q =1(否則S2n6560【答案】/蛍二9=80, S 2n=6560,前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為 54,

16、求n.Sn 1 )S2n2.Sn /d ) =80 (1)1-qS2)=6560(2)n 1-q(2)十(1)得：1+qn=82, qn=81 (3) 該數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，由(3)知q>1 a n為遞增數(shù)列， an為最大項(xiàng)54. an=a1q =54, ag =54q, 81a1=54q(4)5422 a1q q 代入(1)得一q(1 - 81) =80(1 - q),8133 q=3, n=4.【變式4】等比數(shù)列an中，若ai+a2=324, a 3+a4=36,則a5+a6=【答案】4;24令 b1=a1+a2=a1(1+q) , b2=a3+a4=a1q (1+q),b 3=a5+a

17、6=aq (1+q),b2362易知：b1, b 2, b 3成等比數(shù)列， b3= =4,即 a5+a6=4.b1324【變式5】等比數(shù)列an中，若a1+a2+a3=7,a 4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。【答案】448;t an是等比數(shù)列， (a4+a5+a6)=(a什a2+a3)q3, q3=8,3 a?+a8+a9=(a 4+a5+a6)q =56 x 8=448.類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5.已知三個數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32,則成等差數(shù)列若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4,則又成等比數(shù)列.求原來的三個數(shù).思路點(diǎn)撥：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提.考慮到

18、有三個數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式解析：法一：設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為a-d, a,a+d.則a-d, a, a+d+32成等比數(shù)列，a-d, a-4, a+d成等比數(shù)列.f 2.a =(a d)(a+d+32)(1)“ 2、(a4) =(ad)(a+d)(2)2由得a=dI6(3)82由(1)得 32a=d +32d(4)(3)代消a,解得d =8或d=8.3826當(dāng) d 時，a ;當(dāng) d=8 時,a=1039原來三個數(shù)為2 , 26 , 338或2,10,50.999法二：設(shè)原來三個數(shù)為 a, aq, aq 2,貝U a, aq,aq 2-32成等差數(shù)列，a, aq-4, aq

19、 2-32成等比數(shù)列廠22aq = a +aq -32(1)丿2 2.(aq4) =a(aq -32)(2)2由 得a，代入(1)解得q=5或q=13q -42當(dāng) q=5 時 a=2;當(dāng) q=13 時 a .9原來三個數(shù)為2,10, 50或-,26,338 .999總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d, a, a+d;若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為-,x, xy。但還要就問題而言，這里解法二中采用首項(xiàng)a,公比q來解y決問題反而簡便。舉一反三：【變式1】一個等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4,，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第

20、三項(xiàng)加上32,那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列【答案】為2, 6, 18或Z,®,50 ；999設(shè)所求的等比數(shù)列為 a, aq, aq2;則 2(aq+4)=a+aq ，且(aq+4) =a(aq +32);2解得 a=2, q=3 或 a , q=-5 ;910 50故所求的等比數(shù)列為 2, 6, 18或，.99 9【變式2】已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27,它們的平方和為 91,求這三個數(shù)?！敬鸢浮?、3、9 或一1、3、一 9 或 9、3、1 或一9、3、一 1設(shè)這三個數(shù)分別為a,a, aq ,q由已知得acra aq = 27q2$ a2 a2q2q2f a

21、 = 3I2 1 2a2(p + q2+1) = 91 q4 2 2 2 1 得 9q 82q ，9=0 ,所以 q =9 或 q =,91即q = 3或q =3故所求三個數(shù)為：1、3、9或一1、3、一 9或9、3、1或一9、3、一1。【變式3】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和 是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求這四個數(shù).【答案】0， 4，8，16 或 15，9，3，1 ；設(shè)四個數(shù)分別是 x,y,12-y,16-x'2y = x + 12-y.(1)2.(12y)2 =y(16 x).2由(1)得 x=3y-12，代入(2)得 14

22、4-24y+y =y(16-3y+12)2 2 2/ 144-24y+y =-3y +28y, / 4y -52y+144=0, y2-13y+36=0, / y=4 或 9， x=0 或 15，四個數(shù)為 0，4，8，16 或 15，9，3，1.類型六：等比數(shù)列的判斷與證明a n是例6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足:log5(Sn+1)=n(n Nk),求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并判斷 何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥：由數(shù)列a n的前n項(xiàng)和S可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過通項(xiàng)公式判斷a n類型.解析： log 5(Sn+1)=n, Sn+1=5n, S=5n-1 (n N+),1-a=S=5 -1=4,當(dāng) n

23、> 2 時,an=S-Sn-1=(5n-1)-(5 n-1-1)=5 n-5n-1=5n-1(5-1)=4 X 5n-1n-11-1而 n=1 時，4X 5 =4X 5 =4=a1,n 1 n Nk時，an=4X 5 -由上述通項(xiàng)公式，可知an為首項(xiàng)為4,公比為5的等比數(shù)列.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列Cn，其中0=丫 + 3"，且數(shù)列Cn+1-pCn為等比數(shù)列，求常數(shù) P?！敬鸢浮縫=2或p=3; Cn+1-pCn是等比數(shù)列，對任意 n N 且 n2，有(Cn+1-pCn) =(Cn+2-pCn+1)(C n-pCn-1 ) G=2n+3n, (2 n+1+3n+1)-p(2

24、 n+3n) 2=(2 n+2+3n+2)-p(2 n+1+3n+1) (2 n+3n)-p(2 n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n 2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1 (2-p)2n-1+(3-p) 3n-11整理得：(2 - p)(3-p) 2n 3 n = 0,解得：p=2 或 p=3,6顯然G+1-pCnM 0，故p=2或p=3為所求.【變式2】設(shè)a n、b n是公比不相等的兩個等比數(shù)列，G=an+bn,證明數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.【證明】 設(shè)數(shù)列an、b n的公比分別為p, q，且pz q為證Cn不是等比數(shù)列，只需證G C3 = C；. C； =(ap dq)2

25、 p2p2 b2q2 2aQ pq ,G C3 二 )佝 p2 bq2)二彳 p2 d2q2 agp2 q2)二 G C3C； raQg-q)2,又- p 豐 q, a i 豐 0, b i 豐 0,2Ci C3 -C2 嚴(yán)0 即 Ci C3數(shù)列Cn不是等比數(shù)列【變式3】判斷正誤：(1)a n為等比數(shù)列二.a7=asa4； 若b2=ac,則a, b, c為等比數(shù)列；a n , bn均為等比數(shù)列，則a nbn為等比數(shù)列;2 1 1a n是公比為q的等比數(shù)列，貝y a；、<丄'仍為等比數(shù)列；IAJ 若a, b, c成等比，則log諂，log mb, log mc成等差.【答案】(1)錯；a?=aiq6, asa4=aiq