20142018全國各省文科立體幾何大題真題

1、2014-2018全國各省文科立體幾何大題真題 一、解答題（共35小題；共455分）1. 如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=6，BAD=60，G 為 BC 的中點(diǎn)（1）求證：FG平面BED；（2）求證：平面BED平面AED；（3）求直線 EF 與平面 BED 所成角的正弦值 2. 如圖，已知正三棱錐 PABC 的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn) P 在平面 ABC 內(nèi)的正投影為點(diǎn) D，D 在平面 PAB 內(nèi)的正投影為點(diǎn) E，連接 PE 并延長交 AB 于點(diǎn) G（1）證明：G 是 AB 的中點(diǎn)；（2）在圖中作出點(diǎn) E

2、 在平面 PAC 內(nèi)的正投影 F（說明作法及理由），并求四面體 PDEF 的體積 3. 如圖，四棱錐 PABCD 中，PA 底面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 為線段 AD 上一點(diǎn)，AM=2MD，N 為 PC 的中點(diǎn)（1）證明 MN平面PAB；（2）求四面體 NBCM 的體積 4. 如圖，在平行四邊形 ABCM 中，AB=AC=3，ACM=90，以 AC 為折痕將 ACM 折起，使點(diǎn) M 到達(dá)點(diǎn) D 的位置，且 ABDA（1）證明：平面ACD平面ABC；（2）Q 為線段 AD 上一點(diǎn)，P 為線段 BC 上一點(diǎn)，且 BP=DQ=23DA，求三棱錐 QABP 的體積

3、 5. 如圖，在三棱錐 VABC 中，平面VAB平面ABC，VAB 為等邊三角形，ACBC 且 AC=BC=2，O，M 分別為 AB，VA 的中點(diǎn)（1）求證：VB平面MOC；（2）求證：平面MOC平面VAB；（3）求三棱錐 VABC 的體積 6. 如圖，在三棱錐 PABC 中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O 為 AC 的中點(diǎn)（1）證明：PO平面ABC；（2）若點(diǎn) M 在棱 BC 上，且 MC=2MB，求點(diǎn) C 到平面 POM 的距離 7. 如圖，矩形 ABCD 所在平面與半圓弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD 上異于 C，D 的點(diǎn)（1）證明：平面AMD平面BMC；（2）在線

4、段 AM 上是否存在點(diǎn) P，使得 MC平面PBD?說明理由 8. 如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，E，F(xiàn) 分別為 AD，PB 的中點(diǎn)（1）求證：PEBC；（2）求證：平面PAB平面PCD；（3）求證：EF平面PCD； 9. 如圖四面體 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD=CD1. 證明：ACBD；2. 已知 ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 為棱 BD 上與 D 不重合的點(diǎn)，且 AEEC，求四面體 ABCE 與四面體 ACDE 的體積比 10. 如圖，四棱錐 PABCD 中，側(cè)面 PAD 為等邊三角形且垂直于底面

5、 ABCD，AB=BC=12AD，BAD=ABC=90（1）證明：直線BC平面PAD；（2）若 PCD 面積為 27，求四棱錐 PABCD 的體積 11. 如圖，在四棱錐 PABCD 中，ABCD，且 BAP=CDP=90（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，且四棱錐 PABCD 的體積為 83，求該四棱錐的側(cè)面積 12. 如圖，在三棱錐 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D 為線段 AC 的中點(diǎn)，E 為線段 PC 上一點(diǎn)（1）求證：PABD；（2）求證：平面BDE平面PAC；（3）當(dāng) PA平面BDE 時(shí)，求三棱錐 E

6、BCD 的體積 13. 如圖，在四棱錐 PABCD 中，AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2（1）求異面直線 AP 與 BC 所成角的余弦值；（2）求證：PD平面PBC；（3）求直線 AB 與平面 PBC 所成角的正弦值 14. 由四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱錐 C1B1CD1 后得到的幾何體如圖所示，四邊形 ABCD 為正方形，O 為 AC 與 BD 的交點(diǎn)，E 為 AD 的中點(diǎn)，A1E平面ABCD（1）證明：A1O平面B1CD1；（2）設(shè) M 是 OD 的中點(diǎn)，證明：平面A1EM平面B1CD1 15. 如圖，在四棱錐 PABCD 中，PC

7、平面ABCD，ABDC，DCAC（1）求證：DC平面PAC；（2）求證：平面PAB平面PAC；（3）設(shè)點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)在棱 PB 上是否存在點(diǎn) F，使得 PA平面CEF?說明理由 16. 在如圖所示的幾何體中，D 是 AC 的中點(diǎn)，EFDB（1）已知 AB=BC，AE=EC求證：ACFB；（2）已知 G 、 H 分別是 EC 和 FB 的中點(diǎn)，求證：GH平面ABC 17. 如圖，菱形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在 AD，CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于點(diǎn) H將 DEF 沿 EF 折到 DEF 的位置（1）證明：ACHD；（2）若 AB=5，

8、AC=6，AE=54，OD=22，求五棱錐 DABCFE 的體積 18. 如圖，四棱錐 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 為線段 AD 上一點(diǎn)，AM=2MD，N 為 PC 的中點(diǎn)（1）證明：MN平面PAB；（2）求四面體 NBCM 的體積 19. 將邊長為 1 的正方形 AA1O1O（及其內(nèi)部）繞 OO1 旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，AC 長為 56，A1B1 長為 3，其中 B1 與 C 在平面 AA1O1O 的同側(cè)（1）求圓柱的體積與側(cè)面積；（2）求異面直線 O1B1 與 OC 所成的角的大小 20. 如圖，在四棱錐中 PABCD 中，PAC

9、D，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=12AD（1）在平面 PAD 內(nèi)找一點(diǎn) M，使得直線 CM平面PAB，并說明理由；（2）證明：平面 PAB平面PBD 21. 如圖，圓錐的頂點(diǎn)為 P，底面圓心為 O，底面的一條直徑為 AB，C 為半圓弧 AB 的中點(diǎn)，E 為劣弧 CB 的中點(diǎn)，已知 PO=2，OA=1，求三棱錐 PAOC 的體積，并求異面直線 PA 與 OE 所成角的余弦值 22. 如圖，長方體 ABCDA1B1C1D1 中 AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在 A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4過點(diǎn) E，F(xiàn) 的平面 與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方

10、形（1）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法與理由）；（2）求平面 把該長方體分成的兩部分體積的比值 23. 一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，（1）請將字母 F，G，H 標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）；（2）判斷平面 BEG 與平面 ACH 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）證明：直線 DF平面BEG · 24. 如圖，三棱錐 PABC 中，PA平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，BAC=60，（1）求三棱錐 PABC 的體積；（2）證明：在線段 PC 上存在點(diǎn) M，使得 ACBM，并求 PMMC 的值 25. 如圖，三棱臺 DEFABC 中，

11、AB=2DE，G，H 分別為 AC，BC 的中點(diǎn)（1）求證：BD平面FGH；（2）若 CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH 26. 如圖，三角形 PDC 所在的平面與長方形 ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3（1）證明：BC平面PDA；（2）證明：BCPD；（3）求點(diǎn) C 到平面 PDA 的距離 27. 九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑在如圖所示的陽馬 PABCD 中，側(cè)棱PD底面ABCD，且 PD=CD，點(diǎn) E 是 PC 的中點(diǎn)，連接 DE，BD，BE（1）證明：DE平面PBC試判

12、斷四面體 EBCD 是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由（2）記陽馬 PABCD 的體積為 V1，四面體 EBCD 的體積為 V2，求 V1V2 的值 28. 如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是邊長為 2 的正三角形，E，F(xiàn) 分別是 BC，CC1 的中點(diǎn)（1）證明：平面AEF平面B1BCC1；（2）若直線 A1C 與平面 A1ABB1 所成的角為 45，求三棱錐 FAEC 的體積 29. 如圖，AB 是圓 O 的直徑，點(diǎn) C 是圓 O 上異于 A，B 的點(diǎn)，PO 垂直于圓 O 所在的平面，且 PO=OB=1（1）若 D 為線段 AC 的中點(diǎn)，求證：

13、AC平面PDO；（2）求三棱錐 PABC 體積的最大值；（3）若 BC=2，點(diǎn) E 在線段 PB 上，求 CE+OE 的最小值 30. 如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，平面 AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，BAD=60，G 為 BC 的中點(diǎn)（1）求證：FG平面BED；（2）求證：平面BED平面AED；（3）求直線 EF 與平面 BED 所成角的正弦值. 31. 如圖，四邊形 ABCD 為菱形，G 為 AC 與 BD 的交點(diǎn)，BE平面ABCD（1）證明：平面AEC平面BED；（2）若 ABC=120，AEEC，三棱錐 EACD 的體積為 63，求

14、該三棱錐的側(cè)面積 32. 如圖，已知 AA1平面ABC，BB1AA1，AB=AC=3，BC=25，AA1=7，BB1=27，點(diǎn) E 和 F 分別為 BC 和 A1C 的中點(diǎn)（1）求證：EF平面A1B1BA；（2）求證：平面AEA1平面BCB1；（3）求直線 A1B1 與平面 BCB1 所成角的大小 33. 如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC=90，AB=AC=2，A1A=4，A1 在底面 ABC 的射影為 BC 的中點(diǎn)，D 是 B1C1 的中點(diǎn)（1）證明：A1D平面A1BC；（2）求直線 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值 34. 如圖，三棱錐 PABC 中，平面PAC

15、平面ABC，ABC=2，點(diǎn) D，E 在線段 AC 上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn) F 在線段 AB 上，且 EFBC（1）證明：AB平面PFE；（2）若四棱錐 PDFBC 的體積為 7，求線段 BC 的長 35. 如圖（1），在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=2，AB=BC=12AD=a，E 是 AD 的中點(diǎn)，O 是 AC 與 BE 的交點(diǎn)將 ABE 沿 BE 折起到圖（2）中 A1BE 的位置，得到四棱錐 A1BCDE（1）證明：CD平面A1OC；（2）若 平面A1BE平面BCDE，四棱錐 A1BCDE 的體積為 362，求 a 的值答案第一部分1. （1） 設(shè)

16、BD 的中點(diǎn)為 O，連接 OE，OG，在 BCD 中，因?yàn)?G 是 BC 的中點(diǎn)，所以 OGDC，且 OG=12DC=1，又因?yàn)?EFAB，ABDC，所以 EFOG，且 EF=OG，即四邊形 OGFE 是平行四邊形，所以 FGOE，因?yàn)?FG平面BED，OE平面BED，所以 FG平面BED    （2） 在 ABD 中，AD=1，AB=2，BAD=60，由余弦定理可得 BD=3，進(jìn)而得 ADB=90，即 BDAD，又因?yàn)?平面AED平面ABCD，BD平面ABCD，平面AED平面ABCD=AD，所以 BD平面AED，因?yàn)?BD平面BED，所以 平面BED平

17、面AED    （3） 因?yàn)?EFAB，所以直線 EF 與平面 BED 所成的角即為直線 AB 與平面 BED 所形成的角，過點(diǎn) A 作 AHDE 于點(diǎn) H，連接 BH，又平面 BED平面AED=ED，由（2）知 AH平面BED，所以直線 AB 與平面 BED 所成的角為 ABH，在 ADE，AD=1，DE=3，AE=6，由余弦定理得 cosADE=23，所以 sinADE=53，所以 AH=AD53=53，在 RtAHB 中，sinABH=AHAB=56，所以直線 EF 與平面 BED 所成角的正弦值為 562. （1） 因?yàn)?P 在平面 ABC 內(nèi)的

18、正投影為 D，所以 ABPD因?yàn)?D 在平面 PAB 內(nèi)的正投影為 E，所以 ABDE所以 AB平面PED，故 ABPG又由已知可得，PA=PB，從而 G 是 AB 的中點(diǎn)    （2） 如圖，在平面 PAB 內(nèi)，過點(diǎn) E 作 PB 的平行線交 PA 于點(diǎn) F，F(xiàn) 即為 E 在平面 PAC 內(nèi)的正投影理由如下：由已知可得 PBPA，PBPC，又 EFPB，所以 EFPA，EFPC，因此 EF平面PAC，即點(diǎn) F 為 E 在平面 PAC 內(nèi)的正投影連接 CG，因?yàn)?P 在平面 ABC 內(nèi)的正投影為 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心，由（1）知，G

19、是 AB 的中點(diǎn)，所以 D 在 CG 上，故 CD=23CG由題設(shè)可得 PC平面PAB，DE平面PAB，所以 DEPC，因此 PE=23PG，DE=13PC由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且 PA=6，可得 DE=2，PE=22在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF=PF=2所以四面體 PDEF 的體積 V=13×12×2×2×2=433. （1） 取 PB 中點(diǎn) Q，連接 AQ，NQ因?yàn)?N 是 PC 中點(diǎn)，NQBC，且 NQ=12BC，又 AM=23AD=23×34BC=12BC，且 AMBC，所以 QNAM，且 QN=AM，所以 AQ

20、NM 是平行四邊形所以 MNAQ又 MN 平面 PAB，AQ 平面 PAB，所以 MN平面PAB    （2） 由（1）QN平面ABCD，所以 VNBCM=VQBCM=12VPBCM=12VPBCA所以 VNBCM=12×13PASABC=16×4×25=4534. （1） 由已知可得，BAC=90，BAAC，又 BAAD，所以 AB平面ACD，又 AB平面ABC，所以 平面ACD平面ABC    （2） 由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32，又 BP=DQ=23DA，所以 B

21、P=22，作 QEAC，垂足為 E，則 QEDC，QE=13DC，由已知及（1）可得 DC平面ABC，所以 QE平面ABC，QE=1因此，三棱錐 QABP 的體積為 VQABP=13×QE×SABP=13×1×12×3×22sin45=1.5. （1） 因?yàn)?O，M 分別為，AB，VA 的中點(diǎn)，所以 OMVB . 又因?yàn)?VB平面MOC，又因?yàn)?MO平面MOC，所以 VB平面MOC    （2） 因?yàn)?AC=BC，O 為 AB 的中點(diǎn)，所以 OCAB，又因?yàn)?平面VAB平面ABC，且 OC平面A

22、BC，所以 OC平面VAB，所以 平面MOC平面VAB    （3） 在等腰直角三角形 ACB 中，AC=BC=2，所以 AB=2，OC=1，所以等邊三角形 VAB 的面積 SVAB=3，又因?yàn)?OC平面VAB，所以 VCABV=13×OC×SVAB=33，又因?yàn)?VVABC=VCABV，所以 VVABC=336. （1） 因?yàn)?AP=CP=AC=4，O 為 AC 的中點(diǎn)，所以 OPAC，且 OP=23連接 OB因?yàn)?AB=BC=22AC，所以 ABC 為等腰直角三角形，且 OBAC，OB=12AC=2由 OP2+OB2=PB2 知，

23、OPOB由 OPOB，OPAC 知 PO平面ABC    （2） 作 CHOM，垂足為 H又由（1）可得 OPCH，所以 CH平面POM故 CH 的長為點(diǎn) C 到平面 POM 的距離由題設(shè)可知 OC=12AC=2，CM=23BC=423，ACB=45所以 OM=253，CH=OCMCsinACBOM=455所以點(diǎn) C 到平面 POM 的距離為 4557. （1） 由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為 CD因?yàn)?BCCD，BC平面ABCD，所以 BC平面CMD，故 BCDM因?yàn)?M 為 CD 上異于 C，D 的點(diǎn)，且 DC 為直徑，所以 DMCM又 B

24、CCM=C，所以 DM平面BMC而 DM平面AMD，故 平面AMD平面BMC    （2） 當(dāng) P 為 AM 的中點(diǎn)時(shí)，MC平面PBD證明如下：連接 AC 交 BD 于 O因?yàn)?ABCD 為矩形，所以 O 為 AC 中點(diǎn)連接 OP，因?yàn)?P 為 AM 中點(diǎn)，所以 MCOP MC平面PBD，OP平面PBD，所以 MC平面PBD8. （1） 因?yàn)?平面PAD平面ABCD，且 平面PAD平面ABCD=AD，因?yàn)?PA=PD，E 為 AD 中點(diǎn)，所以 PEAD又 PE平面PAD，所以 PE平面ABCD，又 BC平面ABCD，所以 PEBC  

25、  （2） 因?yàn)?平面PAD平面ABCD，且 平面PAD平面ABCD=AD，因?yàn)?ABCD 為矩形，所以 CDAD，又 CD平面ABCD，所以 CD平面PAD，所以 CDPA，又 PAPD，且 PDCD=D，所以 PA平面PCD，又 PA平面PAB，所以 平面PAB平面PCD    （3） 取 PC 中點(diǎn) G，連 FG，DG，因?yàn)?F，G 分別為 PB，PC 的中點(diǎn)，所以 FG 為 PBC 的中位線，所以 FGBC，F(xiàn)G=12BC，又 E 為 AD 的中點(diǎn)，四邊形 ABCD 為矩形，所以 EDBC，ED=12BC，所以 FGED，F(xiàn)G

26、=ED，所以四邊形 EFGD 為平行四邊形，所以 EFDG，又 EF平面PCD，DG平面PCD，所以 EF平面PCD9. 1. 取 AC 中點(diǎn) O，連接 DO，BO，因?yàn)?ABC 是正三角形，AD=CD，所以 DOAC，BOAC，因?yàn)?DOBO=O，所以 AC平面BDO，因?yàn)?BD平面BDO，所以 ACBD2. 法一：連接 OE，由（1）知 AC平面OBD，因?yàn)?OE平面OBD，所以 OEAC，設(shè) AD=CD=2，則 OC=OA=1，所以 O 是線段 AC 垂直平分線上的點(diǎn)，所以 EC=EA=CD=2，由余弦定理得：cosCBD=BC2+BD2CD22BCBD=BC2+BE2CE22BCBE，

27、即 4+422×2×2=4+BE222×2×BE，解得 BE=1 或 BE=2，因?yàn)?BE<BD=2，所以 BE=1，所以 BE=ED，因?yàn)樗拿骟w ABCE 與四面體 ACDE 的高都是點(diǎn) A 到平面 BCD 的高 h，因?yàn)?BE=ED，所以 SDCE=SBCE，所以四面體 ABCE 與四面體 ACDE 的體積比為 1法二：設(shè) AD=CD=2，則 AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，所以 BO=41=3，因?yàn)?BO2+DO2=BD2，所以 BODO，以 O 為原點(diǎn)，OA 為 x 軸，OB 為 y 軸，OD 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)

28、系，則 C1,0,0，D0,0,1，B0,3,0，A1,0,0，設(shè) Ea,b,c，DE=DB01，則 a,b,c1=0,3,1，解得 E0,3,1，所以 CE=1,3,1，AE=1,3,1，因?yàn)?AEEC，所以 AECE=1+32+12=0，由 0,1，解得 =12，所以 DE=BE，因?yàn)樗拿骟w ABCE 與四面體 ACDE 的高都是點(diǎn) A 到平面 BCD 的高 h，因?yàn)?DE=BE，所以 SDCE=SBCE，所以四面體 ABCE 與四面體 ACDE 的體積比為 110. （1） 四棱錐 PABCD 中，因?yàn)?BAD=ABC=90所以 BCAD，因?yàn)?AD平面PAD，BC平面PAD，所以 直線

29、BC平面PAD；      （2） 設(shè) AD=2x，則 AB=BC=x，CD=2x，設(shè) O 是 AD 的中點(diǎn)，連接 PO，OC，CD 的中點(diǎn)為 E，連接 OE，由題意得，四邊形 ABCO 為正方形，則 COAD因?yàn)閭?cè)面 PAD 為等邊三角形且垂直于底面 ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以 POAD，PO平面ABCD，因?yàn)?CO底面ABCD，所以 POCO，則 OE=22x，PO=3x，PE=PO2+OE2=7x2， PCD 面積為 27，可得：12PECD=27，即：12×72x×2x=27，解得 x=2

30、，PO=23則 VPABCD=13×12BC+AD×AB×PO=13×12×2+4×2×23=43.11. （1） 因?yàn)樵谒睦忮F PABCD 中，BAP=CDP=90，所以 ABPA，CDPD，又 ABCD，所以 ABPD，因?yàn)?PAPD=P，所以 AB平面PAD，因?yàn)?AB平面PAB，所以 平面PAB平面PAD      （2） 設(shè) PA=PD=AB=DC=a，取 AD 中點(diǎn) O，連接 PO，因?yàn)?PA=PD=AB=DC，APD=90，平面PAB平面PAD，所以

31、PO底面ABCD，且 AD=a2+a2=2a，PO=22a，因?yàn)樗睦忮F PABCD 的體積為 83，所以 VPABCD=13×S四邊形ABCD×PO=13×AB×AD×PO=13×a×2a×22a=13a3=83. 解得 a=2，所以 PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=22，PO=2，所以 PB=PC=4+4=22，所以該四棱錐的側(cè)面積為： S側(cè)=SPAD+SPAB+SPDC+SPBC=12×PA×PD+12×PA×AB+12×PD×DC+12

32、15;BC×PB2BC22=12×2×2+12×2×2+12×2×2+12×22×82=6+23.12. （1） 由 PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且 ABBC=B，可得 PA平面ABC，由 BD平面ABC，可得 PABD      （2） 由 AB=BC，D 為線段 AC 的中點(diǎn)，可得 BDAC，由 PA平面ABC，PA平面PAC，可得 平面PAC平面ABC，又 平面PAC平面ABC=AC，BD平面ABC，且 BDAC，即

33、有 BD平面PAC，BD平面BDE，可得 平面BDE平面PAC      （3） PA平面BDE，PA平面PAC，且 平面PAC平面BDE=DE，可得 PADE，又 D 為 AC 的中點(diǎn)，可得 E 為 PC 的中點(diǎn)，且 DE=12PA=1，由 PA平面ABC，可得 DE平面ABC，可得 SBDC=12SABC=12×12×2×2=1，則三棱錐 EBCD 的體積為 13DESBDC=13×1×1=1313. （1） 如圖，由已知 ADBC，故 DAP 或其補(bǔ)角即為異面直線 AP 與 BC

34、 所成的角，因?yàn)?AD平面PDC，所以 ADPD，在 RtPDA 中，由已知，得 AP=AD2+PD2=5，故 cosDAP=ADAP=55，所以異面直線 AP 與 BC 所成角的余弦值為 55      （2） 因?yàn)?AD平面PDC，直線 PD平面PDC，所以 ADPD，又因?yàn)?BCAD，所以 PDBC，又 PDPB，PBBC=B，且 PB平面PBC，BC平面PBC，所以 PD平面PBC      （3） 過點(diǎn) D 作 AB 的平行線交 BC 于點(diǎn) F，連接 PF，則 DF

35、 與平面 PBC 所成的角等于 AB 與平面 PBC 所成的角，因?yàn)?PD平面PBC， 故 PF 為 DF 在平面 PBC 上的射影，所以 DFP 為直線 DF 和平面 PBC 所成的角，由于 ADBC,DFAB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BCBF=2又 ADDC，故 BCDC，在 RtDCF 中，DF=16+4=25，可得 sinDFP=PDDF=55，所以直線 AB 與平面 PBC 所成角的正弦值為 5514. （1） 取 B1D1 中點(diǎn) G，連接 A1G，CG，因?yàn)樗倪呅?ABCD 為正方形，O 為 AC 與 BD 的交點(diǎn)，所以四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱錐 C

36、1B1CD1 后，A1GOC，A1G=OC，所以四邊形 OCGA1 是平行四邊形，所以 A1OCG，因?yàn)?A1O平面B1CD1，CG平面B1CD1，所以 A1O平面B1CD1      （2） 四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱錐 C1B1CD1 后，BDB1D1，BD=B1D1，因?yàn)?M 是 OD 的中點(diǎn)，O 為 AC 與 BD 的交點(diǎn)，E 為 AD 的中點(diǎn)，A1E平面ABCD，又 BD平面ABCD，所以 BDA1E，因?yàn)樗倪呅?ABCD 為正方形，O 為 AC 與 BD 的交點(diǎn)，所以 AOBD，因?yàn)?M 是 OD 的中點(diǎn)，

37、E 為 AD 的中點(diǎn)，所以 EMBD，因?yàn)?A1EEM=E，所以 BD平面A1EM，因?yàn)?BDB1D1，所以 B1D1平面A1EM，因?yàn)?B1D1平面B1CD1，所以 平面A1EM平面B1CD115. （1） 因?yàn)?PC平面ABCD，DC平面ABCD，所以 PCDC又因?yàn)?DCAC，ACPC=C，所以 DC平面PAC      （2） 因?yàn)?ABDC，DCAC，所以 ABAC因?yàn)?PC平面ABCD，AB平面ABCD，所以 PCAB又 ACPC=C，所以 AB平面PAC又 AB平面PAB，所以 平面PAB平面PAC  

38、;    （3） 棱 PB 上存在點(diǎn) F，使得 PA平面CEF證明如下：取 PB 中點(diǎn) F，連接 EF，CE，CF又因?yàn)?E 為 AB 的中點(diǎn)，所以 EFPA又因?yàn)?PA平面CEF，EF平面CEF ，所以 PA平面CEF16. （1） 連接 DE ，因?yàn)?EFBD，所以 EF 與 BD 確定一個(gè)平面因?yàn)?AE=EC，D 為 AC 的中點(diǎn)，所以 DEAC；同理可得 BDAC又因?yàn)?BDDE=D，所以 AC平面BDEF，又因?yàn)?FB平面BDEF，所以 ACFB      （2） 設(shè) FC 的中點(diǎn)為

39、I，連接 GI，HI在 CEF 中，因?yàn)?G 是 CE 的中點(diǎn)，所以 GIEF又 EFDB，所以 GIDB；在 CFB 中，因?yàn)?H 是 FB 的中點(diǎn)，所以 HIBC又 GIHI=I，所以平面 GHI平面ABC，因?yàn)?GH平面GHI，所以 GH平面ABC17. （1） 由已知得 ACBD，AD=CD又由 AE=CF 得 AEAD=CFCD，故 ACEF由此得 EFHD，EFHD，所以 ACHD      （2） 由 EFAC 得 OHDO=AEAD=14由 AB=5，AC=6 得 DO=BO=AB2AO2=4所以 OH=1，DH=DH

40、=3于是 OD2+OH2=222+12=9=DH2，故 ODOH由（1）知 ACHD，又 ACBD，BDHD=H，所以 AC平面BHD，于是 ACOD又由 ODOH，ACOH=O，所以 OD平面ABC又由 EFAC=DHDO 得 EF=92五邊形 ABCFE 的面積 S=12×6×812×92×3=694所以五棱錐 DABCFE 的體積 V=13×694×22=232218. （1） 由已知條件，得 AM=23AD=2取 BP 的中點(diǎn) T，連接 AT，TN因?yàn)?N 為 PC 的中點(diǎn)，所以 TNBC，TN=12BC=2，所以 TN=AM

41、又 ADBC，所以 TNAM，且 TN=AM，故四邊形 AMNT 為平行四邊形，所以 MNAT因?yàn)?AT平面PAB，MN平面PAB，所以 MN平面PAB      （2） 因?yàn)?PA平面ABCD，N 為 PC 的中點(diǎn)，所以 N 到平面 ABCD 的距離為 12PA取 BC 的中點(diǎn) E，連接 AE因?yàn)?AB=AC=3，所以 AEBC，AE=AB2BE2=5因?yàn)?AMBC，所以點(diǎn) M 到 BC 的距離為 5，故 SBCM=12×4×5=25所以四面體 NBCM 的體積 VNBCM=13×12PASBCM=45

42、319. （1） 由題意可知，圓柱的母線長 l=1，底面半徑 r=1圓柱的體積 V=r2l=×12×1=，圓柱的側(cè)面積 S=2rl=2×1×1=2      （2） 設(shè)過點(diǎn) B1 的母線與下底面交于點(diǎn) B，則 O1B1OB，所以 COB 或其補(bǔ)角為 O1B1 與 OC 所成的角由 A1B1 長為 3，可知 AOB=A1O1B1=3，由 AC 長為 56，可知 AOC=56，COB=AOCAOB=2，所以異面直線 O1B1 與 OC 所成的角的大小為 220. （1） 取棱 AD 的中點(diǎn) MM平面

43、PAD，點(diǎn) M 即為所求的一個(gè)點(diǎn)，理由如下：因?yàn)?ADBC，BC=12AD，所以 BCAM，且 BC=AM所以四邊形 AMCB 是平行四邊形，從而 CMAB又 AB平面PAB，CM平面PAB，所以 CM平面PAB      （2） 由已知，PAAB，PACD，因?yàn)?ADBC，BC=12AD，所以直線 AB 與 CD 相交，所以 PA平面ABCD從而 PABD因?yàn)?ADBC，BC=12AD，所以 BCMD，且 BC=MD所以四邊形 BCDM 是平行四邊形所以 BM=CD=12AD，所以 BDAB又 ABAP=A，所以 BD平面PAB又

44、BD平面PBD，所以平面 PAB平面PBD21. VPAOC=13×12×2=13因?yàn)?ACOE，所以 PAC 為異面直線 PA 與 OE 所成的角或其補(bǔ)角由 PO=2，OA=OC=1，得 PA=PC=5，AC=2在 PAC 中，由余弦定理得 cosPAC=1010，故異面直線 PA 與 OE 所成角的余弦值為 101022. （1） 交線圍成的正方形 EHGF 如圖      （2） 作 EMAB，垂足為 M，則 AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8因?yàn)樗倪呅?EHGF 為正方形，所以 EH=EF=B

45、C=10于是 MH=EH2EM2=6，AH=10，HB=6故 S四邊形A1EHA=12×4+10×8=56，S四邊形EB1BH=12×12+6×8=72因?yàn)殚L方體被平面 分為兩個(gè)高為 10 的直棱柱，所以其體積的比值為 97（79 也正確）23. （1） 點(diǎn) F，G，H 的位置如圖所示      （2） 平面BEG平面ACH證明如下：因?yàn)榱骟w ABCDEFGH 為正方體，所以 BCFG，BC=FG又 FGEH，F(xiàn)G=EH，所以 BCEH，BC=EH，于是四邊形 BCHE 為平行四邊形所以 BE

46、CH又 CH平面ACH，BE平面ACH，所以 BE平面ACH同理 BG平面ACH又 BEBG=B，所以 平面BEG平面ACH      （3） 連接 FH，與 EG 交于點(diǎn) O，連接 BD因?yàn)?ABCDEFGH 為正方體，所以 DH平面EFGH因?yàn)?EG平面EFGH，所以 DHEG又 EGFH，DHFH=H，所以 EG平面BFHD又 DF平面BFHD，所以 DFEG同理 DFBG又 EGBG=G，所以 DF平面BEG24. （1） 在 ABC 中，AB=1，AC=2，BAC=60SABC=12ABACsinBAC=12×1&

47、#215;2×sin60=32 又因?yàn)?PA面ABC，所以 PA 是三棱錐 PABC 的高，所以 V三棱錐PABC=13PASABC=13×1×32=36      （2） 過點(diǎn) B 作 BN 垂直 AC 于點(diǎn) N，過 N 作 NMPA 交 PC 于 M，則 MN面ABC AC面ABCMNACMNBN=NAC面BMNBM面BMNACBM 此時(shí) M 即為所找點(diǎn)，在 ABN 中，易知 AN=12CMPC=CNAC322=34PMMC=1325. （1） 證法一：如圖，連接 DG，CD，設(shè) CDGF=O，連接

48、OH在三梭臺 DEFABC 中，AB=2DE，G 為 AC 的中點(diǎn)，可得 DFGC，DF=GC，所以四邊形 DFCG 為平行四邊形，則 O 為 CD 的中點(diǎn)又 H 為 BC 的中點(diǎn)，所以 OHBD又 OH平面FGH，BD平面FGH，所以 BD平面FGH證法二：在三棱臺 DEFABC 中，由 BC=2EF，H 為 BC 的中點(diǎn)，可得 BHEF，BH=EF，所以四邊形 BHFE 為平行四邊形，可得 BEHF在 ABC 中，G 為 AC 的中點(diǎn)，H 為 BC 的中點(diǎn)，所以 GHAB又 GHHF=H，所以平面 FGH平面ABED因?yàn)?BD平面ABED，所以 BD平面FGH  

49、60;   （2） 如圖，連接 HE因?yàn)?G，H 分別為 AC，BC 的中點(diǎn)，所以 GHAB由 ABBC，得 GHBC又 H 為 BC 的中點(diǎn)，所以 EFHC，EF=HC，因此四邊形 EFCH 是平行四邊形所以 CFHE又 CFBC，所以 HEBC又 HE,GH平面EGH，HEGH=H，所以 BC平面EGH又 BC平面BCD，所以 平面BCD平面EGH26. （1） 四邊形 ABCD 為長方形， BCAD又 BC平面PDA，AD平面PDA， BC平面PDA      （2） BCCD，平面PDC平面ABC

50、D 且 平面PDC平面ABCD=CD，BC平面ABCD， BC平面PDC PD平面PDC， BCPD      （3） 取 CD 的中點(diǎn) E，連接 PE，AC PD=PC， PECD， PE=PC2CE2=4232=7 平面PDC平面ABCD 且 平面PDC平面ABCD=CD，PE平面PDC， PE平面ABCD由（2）知 BC平面PDC又 ADBC， AD平面PDC又 PD平面PDC， ADPD設(shè)點(diǎn) C 到平面 PDA 的距離為 h，則 VCPDA=VPACD， 13SPDAh=13SACDPE， h=SACDPESPDA=12

51、15;3×6×712×3×4=372，故點(diǎn) C 到平面 PDA 的距離為 37227. （1） 因?yàn)?PD底面ABCD，所以 PDBC由底面 ABCD 為長方形，有 BCCD，而 PDCD=D，所以 BC平面PCD因?yàn)?DE平面PCD，所以 BCDE又因?yàn)?PD=CD，點(diǎn) E 是 PC 的中點(diǎn)，所以 DEPC而 PCBC=C，所以 DE平面PBC由 BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面體 EBCD 的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體 EBCD 是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為 BCD，BCE，DEC，DEB    

52、;  （2） 由已知，PD 是陽馬 PABCD 的高，所以V1=13S長方形ABCDPD=13BCCDPD.由（1）知，DE 是鱉臑 DBCE 的高，BCCE，所以V2=13SBCEDE=16BCCEDE.在 RtPDC 中，因?yàn)?PD=CD，點(diǎn) E 是 PC 的中點(diǎn)，所以 DE=CE=22CD，于是V1V2=13BCCDPD16BCCEDE=2CDPDCEDE=4.28. （1） 證明：如圖，因?yàn)槿庵?ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 AEBB1又 E 是正三角形 ABC 的邊 BC 的中點(diǎn)，所以 AEBC,BCBB1 于點(diǎn) B，因此 AE平面B1BCC1，而 AE

53、平面AEF，所以 平面AEF平面B1BCC1      （2） 設(shè) AB 的中點(diǎn)為 D，連接 A1D，CD，如圖因?yàn)?ABC 是正三角形，所以 CDAB又三棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 CDAA1因此 CD平面A1ABB1，于是 CA1D 為直線 A1C 與平面 A1ABB1 所成的角由題設(shè)，CA1D=45，所以 A1D=CD=32AB=3在 RtAA1D 中，AA1=A1D2AD2=31=2，所以 FC=12AA1=22故三棱錐 FAEC 的體積 V=13SAECFC=13×32×22=61229.

54、 （1） 在 AOC 中，因?yàn)?OA=OC，D 為 AC 的中點(diǎn)，所以 ACDO又 PO 垂直于圓 O 所在的平面，所以 POAC因?yàn)?DOPO=O，所以 AC平面PDO      （2） 因?yàn)辄c(diǎn) C 在圓 O 上，所以當(dāng) COAB 時(shí)，C 到 AB 的距離最大，且最大值為 1又 AB=2，所以 ABC 面積的最大值為 12×2×1=1又因?yàn)槿忮F PABC 的高 PO=1，故三棱錐 PABC 體積的最大值為 13×1×1=13     

55、0;（3） 解法一：在 POB 中，PO=OB=1，POB=90，所以 PB=12+12=2同理 PC=2，所以 PB=PC=BC在三棱錐 PABC 中，將側(cè)面 BCP 繞 PB 旋轉(zhuǎn)至平面 BCP，使之與平面 ABP 共面，如圖所示當(dāng) O，E，C 共線時(shí)，CE+OE 取得最小值又因?yàn)?OP=OB，CP=CB，所以 OC 垂直平分 PB，即 E 為 PB 的中點(diǎn)從而 OC=OE+EC=22+62=2+62，即 CE+OE 的最小值為 2+62解法二：在 POB 中，PO=OB=1，POB90，所以 OPB45，PB=12+12=2同理，PC=2所以 PB=PC=BC，所以 CPB60在三梭錐 PABC 中，將側(cè)面 BCP 繞 PB 旋轉(zhuǎn)至平面 BCP，使之與平面 ABP 共面，如圖所示當(dāng) O，E，C 共線時(shí)，CEOE 取得最小值所以在 OCP 中，由余弦定理得OC2=1+22×1×2×cos45+60=1+22222×1222×32=2+3.從而 OC=2+3=2+62所以 CE+OE 的最小值為 2+6230. （1） 取 BD 的中點(diǎn)為 O，連