2020年高三理科數(shù)學一輪復習講義6.4【數(shù)列求和】

1、2020年高三理科數(shù)學一輪復習講義6.4【數(shù)列求和】最新考綱1 .熟練掌握等差、等比數(shù)列的前 n項和公式；2 .掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法知識梳理1.特殊數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列的前n項和公式:17Sn =n (ai+an)2n (n 1)= na1 + 2d.(2)等比數(shù)列的前n項和公式:M , q= 1,Sn=/a1 一 aniq a1( 1 qn)1-q 1q,qw1 W.2.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解(2)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和

2、(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，這個數(shù)列的前 位相減法求解.n項和可用錯(4)倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù), 前n項和即可用倒序相加法求解.那么求這個數(shù)列的微點提醒n (n+ 1)1.1 + 2+3+ 4+ n=22.12 + 22+ n2 =n ( n+ 1) (2n+ 1)63.裂項求和常用的三種變形1 11n (n+ 1)n n+ 1.1= 1 0, Sn是其前n項和，則S6=13.（必修5P56例1改編）等比數(shù)列an中，若a=27, % =高,243解析 由 a = 27, a

3、9 =知, 27 q8,2432431又由q0,解得q = -, opH所以&=7=等.答案等考瞧體腺4.(2018東北三省四校二模)已知數(shù)列an滿足an+i-an=2, a1=- 5,則團|+網(wǎng)+|a6|=()A.9B.15C.18D.30解析 由題意知an是以2為公差的等差數(shù)列,又 31 = - 5,所以 削+園+幽=|一5|+| 3|+1|+1 + 3+5=5+3+1 + 1 + 3+5=18.答案 C5.(2019 昆明診斷)已知數(shù)列an , bn的前 n 項和分別為 Sn, Tn, bn-an=2n+1,且 Sn+Tn= 2n+1 + n2-2, 則2冊=.解析 由題息知 Tn Sm

4、 = bi a1+b2 a2 + +bn an= n+ 2 + 2,又 Sh+Tn=2n+1+n2-2,所以 2Tn=Tn & + Sn+Tn=2n+2+ n(n+1)-4.答案 2n+2 + n(n+ 1)-46.(2019 河北“五個一 ”名校質(zhì)檢)若 f(x) + f(1 -x) = 4, an=f(O) + f(+ - + f仁/)+f(nd N*),則數(shù)列an 的通項公式為.解析 由 f(x) + f(1-x) = 4,可得 f(0) + f(1) = 4,，+ - +f(1) + f(0)=4(n+1),即 an= 2(n + 1).答案 an=2(n+ 1)外英早練一以例求法I考

5、點聚焦突破考點一分組轉(zhuǎn)化法求和例1 (2019郴州質(zhì)檢)已知在等比數(shù)列an中，ai=1,且a1，a2, a31成等差數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn=2n-1 + an(n N *),數(shù)列bn的前n項和為Sn,試比較Sn與n. Sn-(n2 + 2n)=-10,Sn2 時，an=&-& 1= 2 n 1 ;_jn- n j即 an+ = 3an+2,又 a2=8= 3al+2, L n* .an+1=3an+2, nC N , - an +1 + 1 = 3(an+1), .數(shù)列J an+1是等比數(shù)列J,且首項為a1+1 = 3,公比為3, .an + 1 = 3X3

6、n1=3n,，an = 3n 1.2 X 3n2X3n11(2) anan + 1 = (3n-1) (3n+1-1) =- 3n+1-1.2X 3nl，數(shù)列洵勺刖n項和lanan+ 1 |T ,11, L_ _111Tn= g廣廣了時一口 戶+ g？ 廠 2-3n+1-1.規(guī)律方法 1.利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩 項，后面也剩兩項2.將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等【訓練2】 設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知S3=a7, a8-2a3=3.求an；（2）設bn=9，求數(shù)列bn的前

7、n項和Tn. Sn解（1）設數(shù)列an的公差為d,3a1 + 3d= a1 + 6d,由題意得，_（ a1 + 7d） 2 （a1 + 2d） = 3,解得 a1 = 3, d= 2, - an= ai H- (n 1 )d = 2n+1.t ,口, n (n 1)(2)由(1)得 Sn=na1+-d=n(n + 2),. b _1n n (n+2)2 n n+2, Tn = + b2 + b廣1 + bn口11十p，田2_ 3 J Q 4 J 1 n+1)中 n+ 2.0 ,ai= 2,解得i 所以為=21乜=2,(2n+ 1) ( b-i + b2n+i)(2)由題意知：S2n+i =(2n

8、+ 1)bn+l,又 &n+i=bnbn+i, bn+0,所以 bn = 2n + 1.因此 Tn=Ci+C2+ Cn3 , 57+尹尹+2n 1 2n+ 1n-1 213_ 5_ Z 2n 1 2n+1Pn= 22+2+24+ + 2n + 2n+1兩式相減得2=2+習+/+ 211 2y J,所以=52n產(chǎn).規(guī)律方法 1.一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列an bn的前n項和時，可采用錯位相減法.2.用錯位相減法求和時，應注意:要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形(2)在寫出Sn”與qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“S

9、n qSn”的表達式.【訓練3】已知等差數(shù)列an滿足：an+ian(nCN*), ai=1,該數(shù)列的前三項分別加上1, 1, 3后成等比數(shù)列，an+210g2bn= 1.(1)分別求數(shù)列an, bn的通項公式；(2)求數(shù)列 an bn的前n項和Tn.解(1)設等差數(shù)列an的公差為d,則d0,由a=1, a2=1 + d, a3=1+2d分別加上1, 1, 3后成等比數(shù)列，得(2+d)2 = 2(4 + 2d),解得 d=2(舍負)，所以 an=1 + (n-1)X2=2n-1.1又因為 an+210g2bn= 1,所以 10g2bn= n,則 bn=2n.1(2)由知 an bn=(2n1)

10、2r,t 135 2n-1則 Tn=2+ 22+ 23+ 2n ，1135 2n1 小2Tn= 22+ 23+ 24+ 2n+1 ,由一，得111111 2n- 1/=2+2* 3/+/+ 2n p lG. 2+ 2x4i-2n 12n+1，2n-14 + 2n1-2= 3 -2n3+2n3一 2n-思維升華 非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思想1 .轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相消來完成；2 .不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和易錯防范1 .直接應用公式求和時，要注意公式的應用范

11、圍，如當?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)（字母）時，應對其公比是否為1進行at論.2 .在應用錯位相減法時，要注意觀察未合并項的正負號3 .在應用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有稱性，即前剩多少項則后剩多少項|方層限時調(diào)煉分層訓煉廠提升能力i ；：|基礎鞏固題組（建議用時：40分鐘）一、選擇題1.（2017全國出卷）等差數(shù)列an的首項為1,公差不為0.若a2, a3, a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為（）A. 24B. 3C.3D.8解析 設an的公差為d,根據(jù)題意得a3=a2 a6,即(ai+2d)2=(ai+d)(ai + 5d),解得 d = 2,所以數(shù)列an的前 6 項和為 S6=6ai + 6

12、2&=1X6+*X( 2) = 24.答案 A2.數(shù)列an的通項公式為an=(一1廠1 (4n 3),則它的前100項之和Sioo等于()A.200B. 200C.400D. 400解析Si00=(4X13) (4X23)+(4X33)一(4X 1003) = 4 X (1 2)+ (3 4) + + (99 100) = 4X (-50)=- 200.答案 B3.數(shù)列an的通項公式是1訴+ 5+1,前n項和為9,則n等于（A.9C.10D.100B.99解析因為an=所以 Sn = a + a2 + an = (yn + 1 Mn)小-1)+ + (*-*)+(72-71)=3+1 7令1

13、-1 = 9,得 n=99.答案 B. 2+1：、, 一 .、，、4.（2019合肥調(diào)研）已知Tn為數(shù)列一21一泊勺前n項和，若mT10+1 013恒成立，則整數(shù) m的最小值為（）2A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023解析2n + 1-2n- = 1 +n. T ，工 - Tn = n + 1 2n,1-T10+ 1 013= 11 210+ 1 013= 1 024-2110,又mT10+ 1 013恒成立,.整數(shù)m的最小值為1 024.答案 C5.（2019廈門質(zhì)檢）已知數(shù)列an滿足an+i+（1）1an=2,則其前100項和為（）A.250B.200C.150D.10

14、0解析 當 n=2k(kCN)時，a2k+1a2k=2,當 n=2k1(kCN )時，a2k+a2k1 = 2,當 n=2k+1(kCN )時, a2k+2+a2k+1 = 2,，a2k+1 + a2k1 = 4, a2k+2 + a2k= 0, an的前 100 項和=(a+a3)+ + (a97 +a99)+(a2+a4)+ +(a98+a100)=25X 4+25X 0=100.答案 D二、填空題6.已知正項數(shù)列an滿足a2+1 6a2=an+an.若a1=2,則數(shù)列an的前n項和Sn=解析 由 an+1 6an=an+1an)得(an+1 3an)(an+1 + 2an) = 0,又

15、an0,所以 an+1 = 3an又a1 = 2,所以an是首項為2,公比為3的等比數(shù)列，故n=2工=才-1.1-3答案 3n17.（2019武漢質(zhì)檢）設數(shù)列（n2+n）%是等比數(shù)列，且 a1 = a2=,則數(shù)列3nan的前15項和為.654解析所以答案等比數(shù)列（ n2+n）an的首項為2a1=第二項為6a2 = %故公比為4,所以（n2+n）an=1；=/,39333/3an=-一1,則 3nan=J=、其前 n 項和為 1 , n= 15 時，為 1七=忠3 （n +n）n +n n n+1n+1 8.（2019福州調(diào)研）已知數(shù)列nan的前n項和為Sn,且an=2n,且使得5 nan+什5

16、00的最小正整數(shù)n的值為. 16解析Sh= 1 X21 +2X 22+ + nx 2n,則 2Sn= 1 X 22+2X23+ +nx 2n+1,兩式相減得21 2 (1 2n)1 Sn = 2+ 2 +2”一門2+ = n 20+ ,1-2故 Sn=2+ (n-1) 2n+1.又 an = 2n,.Sn-nan+1+50 = 2+(n- 1) 2n+1n 2n+1 + 50= 52-2n+1,依題意522n+12 時，an= Sn Sn 1 =-=n.a1也滿足an=n,故數(shù)列an的通項公式為 an=n.(2)由(1)知 an=n,故 bn=2n+(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項和為T2n,

17、則 T2n= (21 + 22+ + 22n)+( 1 + 2 3 + 4 + 2n). 記 a=2 + 22+ 22n, B= 1 + 2 3 +4+ 2n,則 A=2(1 2)=22n+1-2,1-2B=(-1 + 2)+ (-3+4)+- + -(2n-1)+ 2n=n.故數(shù)列bn的前 2n 項和 T2n=A+B = 22n+1+n-2.10 .設數(shù)列an的前 n 項和為 Sn, ai = 2，an+i= 2+Sn(nC N ).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設 bn= 1 + log2(an)2,求證：數(shù)列 ITT一御前 n 項和 Tn2),所以 an+1 an = Sn Sn-1

18、 = an ,所以 an+1 = 2an(n 2).又因為 a2=2 + a=4, a1 = 2,所以 a2= 2a1,所以數(shù)列an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)歹U, 則 an = 2 2n 1 = 2n(n GN).2(2)證明 因 bn= 1 + log2(an),則 bn=2n+1.2n+3 /_J_ 11 1 .bnbn+1 22n+1訴門 下 _ 111_ 1+1_t + 1 _ 1 7所以 Tn2 3 5+5 7+ + 2n+1 2n+ 31 1 _J_111二一z r 1=2(n N*),且Sn為an的前n項和,則()A.an2n+1B.Snn2C.an2n 1D.Sn2n 1

19、解析由題息得 a2 a1 2,a3 a2 2 a4一% 2an an 1 2 , a2 a + a3 - a2 + a4 a3 + + an an- 1 封 2(n - 1), an a12(n 1),2n 1, a11)a23)a35)an封2n 1) a1+a2+a3 + + an1 + 3+5+2n 1 )S n (1 + 2n 1)2答案 B12.已知數(shù)列 an中,an = -4n+5,等比數(shù)列bn的公比 q 滿足 q= anan i(nR2)且 bi = a?,則 |b1|+|b2|十|b3| + + |bn|=.解析 由已知得b1 = a2= 3, q=4, -bn = (-3)X ( 4)n 1, . |bn|=3X4n 1,即|bn|是以3為首項，4為公比的等比數(shù)歹U,3(14n)n |b1 |+ |b2|+ + |bn|= 4 一 1.1 -4答案 4n1n113.(2017全國n卷)等差數(shù)列an的前n項和為Sn, a3=3, S=10,則上然=解析 設等差數(shù)列an的公差