精品_第三章_三角恒等變換(全)兩角和與差的正弦余弦和正切公式

1、 3.1.1兩角差的余弦公式目標(biāo)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)導(dǎo)學(xué)1、了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)和證明過(guò)程 ；2、掌握兩角差的余弦公式并能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明。不用計(jì)算器，求不用計(jì)算器，求 的值的值. 1. 15 能否寫(xiě)成兩個(gè)特殊角的和或差的形式能否寫(xiě)成兩個(gè)特殊角的和或差的形式? 2. cos15 =cos(45 -30 )=cos45 -cos30 成立嗎成立嗎? 3. cos (45 -30 )能否用能否用45 和和30 的角的的角的 三角函數(shù)來(lái)表示三角函數(shù)來(lái)表示? 4. 如果能如果能,那么一般地那么一般地cos(-)能否用能否用 、的的 角的三角函數(shù)來(lái)表示角的三角函數(shù)來(lái)表示?cos3

2、75cos375cos 375cos 36015cos15 解 ：?jiǎn)枂?wèn)題題探探究究如何用任意角如何用任意角與與 的的正弦、正弦、余弦來(lái)表示余弦來(lái)表示cos(-)cos(-)？思考：你認(rèn)為會(huì)是思考：你認(rèn)為會(huì)是cos(-)=cos(-)=cos-coscos-cos嗎嗎? ?-111-1 - - BAyxocossinOA , ,cossinOB , ,)cos(OBOAOBOA)cos(OBOAsinsincoscos cos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsinCC CS S- -差角的余弦公式差角的余弦公式結(jié)結(jié)論論歸歸納納 , , 對(duì)于任意角對(duì)于任意角co

3、s() cos cossin sin - - + + 注意：注意：1.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；2.2.對(duì)于對(duì)于,只要知道其正弦或余弦，就只要知道其正弦或余弦，就可以求出可以求出cos()不查表不查表, ,求求coscos(375(375) )的值的值. . 解解: cos( 375)=cos15 =cos(45 30 ) =cos45 cos30 +sin45 sin30 23212222624應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例分析分析:cos15cos 4530cos15cos 6045思考：你會(huì)求思考：你會(huì)求 的值嗎的值嗎?sin75.利用差角余弦公式求利用差角余弦公式求 的值的值cos15學(xué)學(xué)以以

4、致致用用例例1.已知已知 2cos,3 3= = - -5 5求求 的值的值.cos4例例2.已知已知 2sin,，4 4= =5 5cos，5 5= = - -1 13 3是第三象限角，求求cos(-) )的值的值練習(xí)：練習(xí)： P140練習(xí)：練習(xí)：000055sin175sin55cos175cos. 12 21 1)24sin()21sin()24cos()21cos(. 200002 22 2思考題：思考題：已知已知 都是銳角都是銳角,， cos，4 4= =5 55cos13 + +cos求的值= = + +變角變角:分析：分析：coscoss si in ns si in nc co

5、 os sc co os s5 53 31 13 31 12 25 54 41 13 35 56 65 51 16 6三角函數(shù)中一定要注意觀三角函數(shù)中一定要注意觀察角度之間的關(guān)系，例如察角度之間的關(guān)系，例如= = + += = ( (- -) )+ +目標(biāo)導(dǎo)學(xué)1、掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的推導(dǎo)；2、能夠利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明。 3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 cos(+)=coscossinsin 公式的結(jié)構(gòu)特征公式的結(jié)構(gòu)特征: 左邊是復(fù)角左邊是復(fù)角+ 的余弦的余弦,右邊是單角右邊是單角、的余弦積與的余弦積與正弦積的差正弦積的差. cos()co

6、s() coscos()sinsin()cos(-)=coscos+sinsin 簡(jiǎn)記：簡(jiǎn)記：()CCCSScoscossinsin23sin,(,),cos,3243( ,),cos(),cos()2 例3、已知求),2(,32sin解：35sin1cos2)23,(,43cos27sin1 cos4 )cos(sinsincoscos)cos(sinsincoscos127253127253sin()?sin()?cos2 cos2sin2sincos2cossincoscossinsin用代sin) sin() sin cos() cos sin() (2cos cos2sin2sinc

7、os2cossincoscossinsin)sincoscossin(sin()sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(SSCC S- -SSCC S+ +(1)sin75(2)sin195(5)cos79 cos56cos11 cos34例、求值： cos4cossin4 ;(4)cos20 cos70sin20 sin70 ;。（3)sin722722 你能推導(dǎo) 、 的公式嗎？ tantantantantan1tantantantantan1tantan()TT （）簡(jiǎn)記為和35sin,sin(),54cos(),tan()44a 例 ：已知是第四象限的角，求的

8、值。,3解：由sin=-是第四象限的角，得522354cos1 sin1 (),5 sin3tancos4 所 以)sincoscossin444于 是 有sin(24237 2();252510 學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)1目標(biāo)目標(biāo)2目標(biāo)目標(biāo)1目標(biāo)目標(biāo)2目標(biāo)目標(biāo)1目標(biāo)目標(biāo)1和角與差角正切公式的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)1目標(biāo)目標(biāo)2目標(biāo)目標(biāo)1目標(biāo)目標(biāo)2目標(biāo)目標(biāo)2和角與差角正切變形公式的應(yīng)用和角與差角正切公式的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)朝花夕拾朝花夕拾目標(biāo)目標(biāo)1目標(biāo)目標(biāo)2目標(biāo)目標(biāo)1和角與差角正切公式的應(yīng)用tantantan1tantantantantan1tantan目標(biāo)目標(biāo)2和角與差角正切變形公式的

9、應(yīng)用 tantantan1tantan tantantan1tantan基礎(chǔ)應(yīng)用基礎(chǔ)應(yīng)用例題例題1例題例題3例題例題2例題1例題例題3例題例題2基礎(chǔ)應(yīng)用基礎(chǔ)應(yīng)用例題例題1例題例題1、不查表求值、不查表求值1 tan105（）75tan2）（15tan3）（tan(6045 )tan(4530 )23tan(4530 )23tan60tan451tan60tan453113 123 1221tan,tan(),tan(2).25 例題 、（）已知求例題例題1例題例題3例題2例題例題2基礎(chǔ)應(yīng)用基礎(chǔ)應(yīng)用2解：tan(2)tan()tantan()1tantan()12()25121()25 1124

10、42tan,tan(),tan2 .55 例題 、（2）已知求例題例題1例題例題3例題2例題例題2基礎(chǔ)應(yīng)用基礎(chǔ)應(yīng)用 2解：tan2tan ()()tan()tan()01tan() tan()212tan,tan(),tan().5444例題 、（3）已知求基礎(chǔ)應(yīng)用基礎(chǔ)應(yīng)用例題例題1例題例題3例題2例題例題244解：tantan44tan()tan41tan() tan4322例題例題3、計(jì)算、計(jì)算例題例題1例題3例題例題2例題例題3基礎(chǔ)應(yīng)用基礎(chǔ)應(yīng)用1tan341tan（ ）已知，化簡(jiǎn)1tan151tan15（1）1 cot151tan75（2）1tan153tan60 tan15（4）計(jì)算t

11、an45tan151tan45tan151tan75tan 4575tan1203.1tan75 =（）tan4，=11tan1511tan30333 1tan15=tantan1tantantan .1tan1tantantan 4515tan603.（）變形應(yīng)用變形應(yīng)用變形公式變形公式例題例題1例題例題3例題例題2例題例題4例題例題5例題例題6 tantantan1tantantantantan1tantan變形應(yīng)用變形應(yīng)用變形公式變形公式例題例題1例題例題3例題例題2例題例題4例題例題5例題例題6例題例題1 tantantan1tantantantantan1tantan1 tan17t

12、an433tan17 tan43例題 、tan 17431tan17 tan433tan17 tan43變形公式變形公式例題例題1例題例題3例題例題2例題例題4例題例題5例題例題6tan601tan17 tan433tan17 tan433.變形應(yīng)用變形應(yīng)用 tantantan1tantantantantan1tantantan3tan2tantan3 tan2tan .例題2、求證：tan 321tan3 tan2tantan1tan3 tan2tantan3 tan2tan.證明：左邊右邊原等式成立變形公式變形公式例題例題1例題例題3例題例題2例題例題4例題例題5例題例題2例題例題6變形應(yīng)

13、用變形應(yīng)用 tantantan1tantantantantan1tantantantantantantantan.ABCABC例題3、在非直角三角形中，求證：ABC證明：由題意變形公式變形公式例題例題1例題例題3例題例題2例題例題4例題例題5例題例題3例題例題6tan1tantantanABABC左邊 tan1tantantanCABCtan1tantantanCABC tantantanABC右邊.原等式成立變形應(yīng)用變形應(yīng)用 tantantan1tantantantantan1tantantantantantantantan.ABCkABCABC例題4、已知 ，求證： tan1tantant

14、antan1tantantanABABCkCABC證明： 左邊 tan 21tantantan21,()tan1tantantantan1tantantantantantannCABCknnZCABCCABCABC 當(dāng)時(shí)，左邊右邊 tan 21tantantan2 ,()tan1tantantantan1tantantantantantannCABCkn nZCABCCABCABC 當(dāng)時(shí)，左邊右邊討論：討論：原等式成立原等式成立變形公式變形公式例題例題1例題例題3例題例題2例題例題4例題例題5例題例題4例題例題6變形應(yīng)用變形應(yīng)用 tantantan1tantantantantan1tantan

15、1tan1tan.4例題5、已知 、 滿足，求的值1tan1tan1tantantantan 解：變形公式變形公式例題例題1例題例題3例題例題2例題例題4例題例題5例題例題5例題例題6 1tan1tantantantan 1tan1tantantantan4 2變形應(yīng)用變形應(yīng)用 tantantan1tantantantantan1tantan1tan1tan.4例題5、已知 、 滿足，求的值 1tan1tan1tantantantan1tan1tantantantan1tan1tantantantan42 解：1tan1tan.4k例題6、若，求的值1tan11tan21tan31tan45

16、.（思考）求值變形公式變形公式例題例題1例題例題3例題例題2例題例題4例題例題5例題例題6例題例題6變形應(yīng)用變形應(yīng)用小結(jié)小結(jié) tantantan1tantantantantan1tantan變形公式變形公式基礎(chǔ)應(yīng)用基礎(chǔ)應(yīng)用變形應(yīng)用變形應(yīng)用1、非特殊角的求值、非特殊角的求值2、角的組合、角的組合3、公式逆用、公式逆用1、典型例題、典型例題2、注意事項(xiàng)、注意事項(xiàng)達(dá)標(biāo)測(cè)試達(dá)標(biāo)測(cè)試2tantan()04xpxqpq1、已知和是方程的兩個(gè)根，問(wèn) 、 滿足的關(guān)系式？tan45cot.tanAAA12、已知，求的值13(1)1tan66tan69tan66 tan69、計(jì)算：(2)tan16tan1013t

17、an16 tan101作業(yè)作業(yè)tan20tan40tan120tan20 tan404、求值：1tan11tan21tan431tan445、計(jì)算：二倍角的正弦二倍角的正弦、余弦余弦、正切公式正切公式目標(biāo)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)導(dǎo)學(xué)1、理解二倍角公式的推導(dǎo)；、理解二倍角公式的推導(dǎo)；2、靈活掌握二倍角公式及其變形公式；、靈活掌握二倍角公式及其變形公式；3、能綜合運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算、能綜合運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算及證明。及證明。一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí):兩角和的正弦、余弦、正切公式兩角和的正弦、余弦、正切公式:sincostan若上述公式中若上述公式中 ， 你能否對(duì)它進(jìn)行變形？你能否對(duì)它進(jìn)行變形？sinco

18、scossincoscossinsintantan1 tantan 對(duì)于對(duì)于 能否有其它表示形式？能否有其它表示形式？ 2C公式中的角是否為任意角？公式中的角是否為任意角？1222 coscos 2212sincos RR, ,且且 ， 42 k2 k Z k cossinsin22 222sincoscos 2122tantantan 二二倍倍角角公公式式：口答下列各式的值：口答下列各式的值： 002202020(1)sin22.5 cos22.5 ; (2)cossin;882tan15(3);(4)1 2sin 75 .1 tan 15公式識(shí)記公式識(shí)記5sin2,(,)sin4134 2

19、cos4tan4 已知，求，的值。例例1(5)8sincoscoscos48482412例例25(5) coscos1212、(1)(2)231tan2(3)(4) sin() cos()344tan244(1)sincos(2)sincos4422(6) cos36 cos72、練習(xí)練習(xí)231tan2(3)(4)sin() cos()344tan2231tan2(3)(4) sin() cos()344tan2231tan2(3)(4)sin() cos()344tan2(2)(4)(1)引申：公式變形：引申：公式變形：2)cos(sin2sin1 2cos22cos1 2sin22cos1

20、 升冪降角公式升冪降角公式化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) (1) 1sin 40 ;(2) 1sin 40 ;(3) 1cos 20 ;(4) 1cos 2022 sin 2 cos4變式：如何化簡(jiǎn)呢？例例3) 1cos2(cossin21)sin21 (cossin2122 證證明明：左左邊邊1 sin2cos2tan1 sin2cos2求證：)sin(coscos2)sin(cossin2 cossin 右右邊邊 tan.原原式式成成立立例例41 sin2cos2:1 sin2cos21.化簡(jiǎn)sincos,0,sin2cos212、已知3求和練習(xí)練習(xí)1、二倍角正弦、二倍角正弦、余弦余弦、正切公式的推導(dǎo)正切公式的

21、推導(dǎo)總結(jié)RR, ,且且 ， 42 k2 k Z k cossinsin22 222sincoscos 2122tantantan 1222 coscos21 2sin 2、注意正、注意正 用用 、逆用、變形用、逆用、變形用我們的目標(biāo)我們的目標(biāo) 掌握“合一變形”的技巧及其應(yīng)用1、兩角和、差角的余弦公式、兩角和、差角的余弦公式cos)coscossinsin(cos)coscossinsin(C C 2、兩角和、差角的正弦公式、兩角和、差角的正弦公式sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(S S 3、二倍角的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式2222cos2cossin

22、2cos11 2sin sin22sincos2C2S4、兩角和、差的正切公式、兩角和、差的正切公式tantantan)1tantan(tantantan)1tantan(5、二倍角的正切公式、二倍角的正切公式22tantan21tan用 代T T 2T引例引例31sincos22(1)把把下列各式化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式下列各式化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式sincos(2)sincosxbx(3)asincosxbxa化化 為一個(gè)角的三角函數(shù)形式為一個(gè)角的三角函數(shù)形式sincosxbxa222222sincosbabxxababa令令2222cossinabbaba22cossisc sninoabxx22sinabx22cosabx練習(xí)練習(xí)把把下列各式化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式下列各式化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式sincos(1) 2