因式分解練習(xí)提高班

1、因式分解例1. 計(jì)算： 例2. 已知：（b、c為整數(shù)）是及的公因式，求b、c的值。 解： 例3. 設(shè)x為整數(shù)，試判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解： 1. 證明：能被45整除。 2 化簡(jiǎn)：，且當(dāng)時(shí)，求原式的值。2、運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】 把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 補(bǔ)充：歐拉公式： 特別地：（1）當(dāng)時(shí)，有 （2）當(dāng)時(shí)，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。運(yùn)用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個(gè)公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握公式。但有時(shí)需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合、變形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方程、幾何綜合

2、題中也有廣泛的應(yīng)用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運(yùn)用它，對(duì)今后的學(xué)習(xí)很有幫助。 例：已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求的值。 3. 在幾何題中的應(yīng)用。 例：已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。 題型展示： 例1. 已知：， 求的值。 例2. 已知， 求證： 例3. 若，求的值。 1. 分解因式：（1） （2）（3）2. 已知：，求的值。3. 若是三角形的三條邊，求證：4. 已知：，求的值。 5. 已知是不全相等的實(shí)數(shù)，且，試求 （1）的值；（2）的值。4、用分組分解法進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】 分組分解法的原則是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運(yùn)用公式。使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)，

3、而在分組時(shí)，必須有預(yù)見(jiàn)性。能預(yù)見(jiàn)到下一步能繼續(xù)分解。而“預(yù)見(jiàn)”源于細(xì)致的“觀察”，分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)姆纸M是分組分解法的關(guān)鍵。 應(yīng)用分組分解法因式分解，不僅可以考察提公因式法，公式法，同時(shí)它在代數(shù)式的化簡(jiǎn)，求值及一元二次方程，函數(shù)等學(xué)習(xí)中也有重要作用。 下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)用分組分解法進(jìn)行因式分解。1. 在數(shù)學(xué)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明題中的應(yīng)用 例1. 把多項(xiàng)式分解因式，所得的結(jié)果為（ ） 例2. 分解因式 2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用 例：已知三條線段長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足 證明：以a、b、c為三邊能構(gòu)成三角形 分析：構(gòu)成三角形的條件，即三邊關(guān)系定理，是“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”證明：

4、 3. 在方程中的應(yīng)用 例：求方程的整數(shù)解 分析：這是一道求不定方程的整數(shù)解問(wèn)題，直接求解有困難，因等式兩邊都含有x與y，故可考慮借助因式分解求解 例3. 分解因式：_ 解：5、題型展示： 例1. 分解因式：解 例2. 已知：，求ab+cd的值。 解： 例3. 分解因式： 1. 填空題： 2. 已知：3. 分解因式：4. 已知：，試求A的表達(dá)式。 5. 證明：5、用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式【知識(shí)精讀】 對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的兩個(gè)數(shù)，即把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù)。 對(duì)于二次三項(xiàng)（a、b、c

5、都是整數(shù)，且）來(lái)說(shuō)，如果存在四個(gè)整數(shù)滿足，并且，那么二次三項(xiàng)式即可以分解為。這里要確定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的類(lèi)型復(fù)雜，因此一般要借助畫(huà)十字交叉線的辦法來(lái)確定。 下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解?！痉诸?lèi)解析】 1. 在方程、不等式中的應(yīng)用 例1. 已知：，求x的取值范圍。 分析：本題為二次不等式，可以應(yīng)用因式分解化二次為一次，即可求解。 解： 例2. 如果能分解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。 2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用 例. 已知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為x、y，周長(zhǎng)為16cm，且滿足，求長(zhǎng)方形的面積。 3、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用 例. 證明：若是7

6、的倍數(shù)，其中x，y都是整數(shù)，則是49的倍數(shù)。 5、題型展示 例1. 若能分解為兩個(gè)一次因式的積，則m的值為（ ） A. 1B. -1C. D. 2解： 例2. 已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足。 求證：證明： 例3. 若有一因式。求a，并將原式因式分解。解：7、因式分解小結(jié)【知識(shí)精讀】 因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。 1. 因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式； 2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止； 4. 公

7、式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式； 5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫(xiě)成冪的形式； 6. 題目中沒(méi)有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7. 因式分解的一般步驟是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無(wú)公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法；下面我們一起來(lái)回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。【分類(lèi)解析】 1. 通過(guò)基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的 例1. 分解因式 2. 通過(guò)變形

8、達(dá)到分解的目的 例1. 分解因式 3. 在證明題中的應(yīng)用 例：求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。 證明： 4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想 例：分解因式： 分析：本題若直接用公式法分解，過(guò)程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。解： 例1.在中，三邊a,b,c滿足 求證：證明： 說(shuō)明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類(lèi)題不能丟分。 例2. 已知：_ 解 題型展示： 1. 若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。解： 2. 將解：【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1

9、. 分解因式： 2. 已知：的值。3. 矩形的周長(zhǎng)是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。4. 求證：是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)）5. 已知：a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小。10、分式的運(yùn)算【知識(shí)精讀】 1. 分式的乘除法法則 ； 當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，先進(jìn)行因式分解再約分。 2. 分式的加減法 （1）通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，且取各分式分母的最簡(jiǎn)公分母。 求最簡(jiǎn)公分母是通分的關(guān)鍵，它的法則是： 取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)； 凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要?。?相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數(shù)最高

10、的。 （2）同分母的分式加減法法則 （3）異分母的分式加減法法則是先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減。 3. 分式乘方的法則 （n為正整數(shù)） 4. 分式的運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在分式方程，求代數(shù)式的值，函數(shù)等方面有重要應(yīng)用。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題： （1）注意運(yùn)算順序及解題步驟，把好符號(hào)關(guān)； （2）整式與分式的運(yùn)算，根據(jù)題目特點(diǎn)，可將整式化為分母為“1”的分式； （3）運(yùn)算中及時(shí)約分、化簡(jiǎn)； （4）注意運(yùn)算律的正確使用； （5）結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式或整式。下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)分式的四則運(yùn)算。【分類(lèi)解析】 例1：計(jì)算的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 分析：原式 故選C 說(shuō)明：先將分子

11、、分母分解因式，再約分。 例2：已知，求的值。 分析：若先通分，計(jì)算就復(fù)雜了，我們可以用替換待求式中的“1”，將三個(gè)分式化成同分母，運(yùn)算就簡(jiǎn)單了。 解：原式 例3：已知：，求下式的值： 分析：本題先化簡(jiǎn)，然后代入求值?；?jiǎn)時(shí)在每個(gè)括號(hào)內(nèi)通分，除號(hào)改乘號(hào)，除式的分子、分母顛倒過(guò)來(lái)，再約分、整理。最后將條件等式變形，用一個(gè)字母的代數(shù)式來(lái)表示另一個(gè)字母，帶入化簡(jiǎn)后的式子求值。這是解決條件求值問(wèn)題的一般方法。 解： 故原式 例4：已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且，那么的值是多少？ 分析：已知條件是一個(gè)復(fù)雜的三元二次方程組，不容易求解，可取倒數(shù)，進(jìn)行簡(jiǎn)化。 解：由已知條件得： 所以 即 又因?yàn)?所以 例5：化簡(jiǎn)

12、： 解一：原式 解二：原式 說(shuō)明：解法一是一般方法，但遇到的問(wèn)題是通分后分式加法的結(jié)果中分子是一個(gè)四次多項(xiàng)式，而它的分解需要拆、添項(xiàng)，比較麻煩；解法二則運(yùn)用了乘法分配律，避免了上述問(wèn)題。因此，解題時(shí)注意審題，仔細(xì)觀察善于抓住題目的特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?例1、計(jì)算： 解：原式 說(shuō)明：分式運(yùn)算時(shí)，若分子或分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先因式分解。 例2、已知：，則_。 解： 說(shuō)明：分式加減運(yùn)算后，等式左右兩邊的分母相同，則其分子也必然相同，即可求出M。中考點(diǎn)撥： 例1：計(jì)算： 解一：原式 解二：原式 說(shuō)明：在分式的運(yùn)算過(guò)程中，乘法公式和因式分解的使用會(huì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程。此題兩種方法的繁簡(jiǎn)程度一目了然。 例2：若，

13、則的值等于（ ） A. B. C. D. 解：原式 故選A【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 已知：，則的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，求的值。3. 計(jì)算：4. 若，試比較A與B的大小。 5. 已知：，求證：。11、公式變形與字母系數(shù)方程【知識(shí)精讀】 含有字母系數(shù)的方程和只含有數(shù)字系數(shù)的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的兩邊，這個(gè)式子的值不能為零。 公式變形實(shí)質(zhì)上是解含有字母系數(shù)的方程 對(duì)于含字母系數(shù)的方程，通過(guò)化簡(jiǎn)，一般歸結(jié)為解方程型，討論如下： （1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為關(guān)于x的一元一次方程，解為： （2）當(dāng)時(shí)，分以下兩種情況： <1>若，原方程變

14、為，為恒等時(shí)，此時(shí)x可取任意數(shù)，故原方程有無(wú)數(shù)個(gè)解； <2>若，原方程變?yōu)椋@是個(gè)矛盾等式，故原方程無(wú)解。 含字母系數(shù)的分式方程主要有兩類(lèi)問(wèn)題：（一）求方程的解，其中包括：字母給出條件和未給出條件：（二）已知方程解的情況，確定字母的條件。 下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)公式變形與字母系數(shù)方程 【分類(lèi)解析】 1. 求含有字母系數(shù)的一元一次方程的解 例1. 解關(guān)于x的方程 分析：將x以外字母看作數(shù)字，類(lèi)似解一元一次方程，但注意除數(shù)不為零的條件。 解：去分母得： 移項(xiàng)，得 2. 求含字母系數(shù)的分式方程的解 例2. 解關(guān)于x的方程 分析：字母未給出條件，首先挖掘隱含的條件，分情況討論。 解：若a、b全

15、不為0，去分母整理，得 對(duì)是否為0分類(lèi)討論： （1）當(dāng)，即時(shí)，有，方程無(wú)解。 （2）當(dāng)，即時(shí)，解之，得 若a、b有一個(gè)為0，方程為，無(wú)解 若a、b全為0，分母為0，方程無(wú)意義 檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，公分母，所以當(dāng)時(shí)，是原方程的解。 說(shuō)明：這種字母沒(méi)給出條件的方程，首先討論方程存在的隱含條件，這里a、b全不為0時(shí)，方程存在，然后在方程存在的情況下，去分母、化為一元一次方程的最簡(jiǎn)形式，再對(duì)未知數(shù)的字母系數(shù)分類(lèi)討論求解。當(dāng)a、b中只有一個(gè)為0時(shí)，方程也存在，但無(wú)解；當(dāng)a、b全為0時(shí)，方程不存在。最后對(duì)字母條件歸納，得出方程的解。 3. 已知字母系數(shù)的分式方程的解，確定字母的條件 例3. 如果關(guān)于x的方程有唯一

16、解，確定a、b應(yīng)滿足的條件。 分析：顯然方程存在的條件是：且 解：若且，去分母整理，得 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，解得 經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解 應(yīng)滿足的條件：且 說(shuō)明：已知方程有唯一解，顯然方程存在的隱含條件是a、b全不為0，然后在方程存在的條件下，求有解且唯一的條件。因?yàn)槭欠质椒匠?，需?yàn)根后確定唯一解的條件。 4. 在其它學(xué)科中的應(yīng)用（公式變形） 例4. 在物理學(xué)中我們學(xué)習(xí)了公式，其中所有的字母都不為零。已知S、t，試求a。 分析：利用字母系數(shù)方程完成公式變形，公式變形時(shí)要分清哪個(gè)量是被表示的量，則這個(gè)量就是未知數(shù)，其它的量均視為已知量，然后按解字母系數(shù)方程求解。 解： 5、中考點(diǎn)撥 例1. 填空：在中

17、，已知且，則_。 解： 例2. 在公式中，已知P、F、t都是正數(shù)，則s等于（ ） A. B. C. D. 以上都不對(duì) 解： ，故選A 說(shuō)明：以上兩題均考察了公式變形。6、題型展示： 例1. 解關(guān)于x的方程 解：原方程化為： 即 說(shuō)明：本題中，常數(shù)“3”是一個(gè)重要的量，把3拆成3個(gè)1，正好能湊成公因式。若按常規(guī)在方程兩邊去分母，則解法太繁，故解題中一定要注意觀察方程的結(jié)構(gòu)特征，才能找到合適的辦法。 例2. 解關(guān)于x的方程。 解：去括號(hào)： 說(shuō)明：解含字母系數(shù)的方程，在消未知數(shù)的系數(shù)時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)未知數(shù)的系數(shù)不等于0，如果方程的解是分式形式，必須化成最簡(jiǎn)分式或整式。 例3. 已知，求z。（） 分析：

18、本題是求z，實(shí)質(zhì)上是解含有字母系數(shù)的分式方程，應(yīng)確定已知量和未知量，把方程化歸為的形式，便可求解。 解： 又 【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 解關(guān)于x的方程，其中。2. 解關(guān)于x的方程。3. a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程的解等于零？4. 已知關(guān)于x的方程有一個(gè)正整數(shù)解，求m的取值范圍。 5. 如果a、b為定值，關(guān)于x的一次方程，無(wú)論取何值，它的根總是1，求a、b的值。12、分式方程及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。 2. 解分式方程的一般步驟： （1）在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程； （2）解這個(gè)整式方程； （3）驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母

19、，看結(jié)果是否等于零，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的增根，必須舍去，但對(duì)于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗(yàn)。 3. 列分式方程解應(yīng)用題和列整式方程解應(yīng)用題步驟基本相同，但必須注意，要檢驗(yàn)求得的解是否為原方程的根，以及是否符合題意。 下面我們來(lái)學(xué)習(xí)可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用?！痉诸?lèi)解析】 例1. 解方程： 分析：首先要確定各分式分母的最簡(jiǎn)公分母，在方程兩邊乘這個(gè)公分母時(shí)不要漏乘，解完后記著要驗(yàn)根 解：方程兩邊都乘以，得 例2. 解方程 分析：直接去分母，可能出現(xiàn)高次方程，給求解造成困難，觀察四個(gè)分式的分母發(fā)現(xiàn)的值相差1，而分子也有這個(gè)特點(diǎn)，因此，可將分母的值相差1的兩個(gè)分式

20、結(jié)合，然后再通分，把原方程兩邊化為分子相等的兩個(gè)分式，利用分式的等值性質(zhì)求值。 解：原方程變形為： 方程兩邊通分，得 經(jīng)檢驗(yàn)：原方程的根是 例3. 解方程： 分析：方程中的每個(gè)分式都相當(dāng)于一個(gè)假分?jǐn)?shù)，因此，可化為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)式之和。 解：由原方程得： 即 例4. 解方程： 分析：此題若用一般解法，則計(jì)算量較大。當(dāng)把分子、分母分解因式后，會(huì)發(fā)現(xiàn)分子與分母有相同的因式，于是可先約分。 解：原方程變形為： 約分，得 方程兩邊都乘以 注：分式方程命題中一般滲透不等式，恒等變形，因式分解等知識(shí)。因此要學(xué)會(huì)根據(jù)方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用特殊方法解分式方程。5、中考題解： 例1若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的

21、值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是：化簡(jiǎn)原方程為：把代入解得，故選擇D。 例2. 甲、乙兩班同學(xué)參加“綠化祖國(guó)”活動(dòng)，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹(shù)，甲班種60棵所用的時(shí)間與乙班種66棵樹(shù)所用的時(shí)間相等，求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹(shù)？ 分析：利用所用時(shí)間相等這一等量關(guān)系列出方程。 解：設(shè)甲班每小時(shí)種x棵樹(shù)，則乙班每小時(shí)種（x+2）棵樹(shù)， 由題意得： 答：甲班每小時(shí)種樹(shù)20棵，乙班每小時(shí)種樹(shù)22棵。 說(shuō)明：在解分式方程應(yīng)用題時(shí)一定要檢驗(yàn)方程的根。6、題型展示： 例1. 輪船在一次航行中順流航行80千米，逆流航行42千米，共用了

22、7小時(shí)；在另一次航行中，用相同的時(shí)間，順流航行40千米，逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度 分析：在航行問(wèn)題中的等量關(guān)系是“船實(shí)際速度=水速+靜水速度”，有順?biāo)?、逆水，取水速正、?fù)值，兩次航行提供了兩個(gè)等量關(guān)系。 解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時(shí)，水流速度為y千米/小時(shí) 由題意，得 答：水流速度為3千米/小時(shí)，船在靜水中的速度為17千米/小時(shí)。 例2. m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？ 解：方程兩邊都乘以，得 整理，得 說(shuō)明：分式方程的增根，一定是使最簡(jiǎn)公分母為零的根【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發(fā)，以v千米/小時(shí)的速度步行，走了a小時(shí)后改乘汽

23、車(chē)，又過(guò)b小時(shí)到達(dá)乙地，則汽車(chē)的速度（ ） A. B. C. D. 2. 如果關(guān)于x的方程 A. B. C. D. 3 3. 解方程：4. 求x為何值時(shí)，代數(shù)式的值等于2？ 5. 甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同完成一項(xiàng)工程，乙隊(duì)先單獨(dú)做1天后，再由兩隊(duì)合作2天就完成了全部工程。已知甲隊(duì)單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)的，求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？13、分式總復(fù)習(xí)【知識(shí)精讀】 【分類(lèi)解析】1. 分式有意義的應(yīng)用 例1. 若，試判斷是否有意義。 分析：要判斷是否有意義，須看其分母是否為零，由條件中等式左邊因式分解，即可判斷與零的關(guān)系。 解： 即 或 中至少有一個(gè)無(wú)意義。 2. 結(jié)合換元法、

24、配方法、拆項(xiàng)法、因式分解等方法簡(jiǎn)化分式運(yùn)算。 例2. 計(jì)算： 分析：如果先通分，分子運(yùn)算量較大，觀察分子中含分母的項(xiàng)與分母的關(guān)系，可采取“分離分式法”簡(jiǎn)化計(jì)算。 解：原式 例3. 解方程： 分析：因?yàn)?，所以最?jiǎn)公分母為：，若采用去分母的通常方法，運(yùn)算量較大。由于故可得如下解法。 解： 原方程變?yōu)?經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根。 3. 在代數(shù)求值中的應(yīng)用 例4. 已知與互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值。 分析：要求代數(shù)式的值，則需通過(guò)已知條件求出a、b的值，又因?yàn)?，利用非?fù)數(shù)及相反數(shù)的性質(zhì)可求出a、b的值。 解：由已知得，解得 原式 把代入得：原式 4. 用方程解決實(shí)際問(wèn)題 例5. 一列火車(chē)從車(chē)站開(kāi)出，預(yù)計(jì)行程

25、450千米，當(dāng)它開(kāi)出3小時(shí)后，因特殊任務(wù)多停一站，耽誤30分鐘，后來(lái)把速度提高了0.2倍，結(jié)果準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的地，求這列火車(chē)的速度。 解：設(shè)這列火車(chē)的速度為x千米/時(shí) 根據(jù)題意，得 方程兩邊都乘以12x，得 解得 經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根 答：這列火車(chē)原來(lái)的速度為75千米/時(shí)。 5. 在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)中，都會(huì)遇到有關(guān)公式的推導(dǎo)，公式的變形等問(wèn)題。而公式的變形實(shí)質(zhì)上就是解含有字母系數(shù)的方程。 例6. 已知，試用含x的代數(shù)式表示y，并證明。 解：由，得 6、中考原題： 例1已知，則M_。 分析：通過(guò)分式加減運(yùn)算等式左邊和右邊的分母相同，則其分子也必然相同，即可求出M。 解： 例2已知，那么代

26、數(shù)式的值是_。 分析：先化簡(jiǎn)所求分式，發(fā)現(xiàn)把看成整體代入即可求的結(jié)果。 解：原式 7、題型展示： 例1. 當(dāng)x取何值時(shí)，式子有意義？當(dāng)x取什么數(shù)時(shí)，該式子值為零？ 解：由 得或 所以，當(dāng)和時(shí)，原分式有意義 由分子得 當(dāng)時(shí)，分母 當(dāng)時(shí)，分母，原分式無(wú)意義。 所以當(dāng)時(shí)，式子的值為零 例2. 求的值，其中。 分析：先化簡(jiǎn)，再求值。 解：原式 【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 當(dāng)x取何值時(shí)，分式有意義？2. 有一根燒紅的鐵釘，質(zhì)量是m，溫度是，它放出熱量Q后，溫度降為多少？（鐵的比熱為c）3. 計(jì)算：4. 解方程：5. 要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機(jī)器零件，如果甲單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單獨(dú)做則要超過(guò)3天。現(xiàn)在甲

27、、乙兩人合作2天后，再由乙單獨(dú)做，正好按期完成。問(wèn)規(guī)定日期是多少天？ 6. 已知，求的值。 6、全等三角形及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形；兩個(gè)全等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)?；ハ嘀睾系倪吔袑?duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，記作 “ABCABC其中，“”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；4. 尋找對(duì)應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是

28、對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（3）通過(guò)觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過(guò)下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。翻折 如圖（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180°得到的；旋轉(zhuǎn) 如圖（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到的；平

29、移 如圖（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2） 推論：角角邊定理6. 注意問(wèn)題：（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a: 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對(duì)應(yīng)相等，即SSA。全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。在平面幾何知識(shí)應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識(shí)。【分類(lèi)解析】全等三角形知識(shí)的應(yīng)用（1） 證明

30、線段（或角）相等 例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由已知條件可證出ACDABE，而B(niǎo)F和FC分別位于DBF和EFC中，因此先證明ACDABE，再證明DBFECF，既可以得到BF=FC.證明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF （AAS） BF=FC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（2）證明線段平行例2：已知：如圖，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：ABCD分析：要證ABCD，需證CA，而要證CA，又

31、需證ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.顯然證明ABFCDE條件已具備，故可先證兩個(gè)三角形全等，再證CA,進(jìn)一步證明ABCD.證明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90° （垂直的定義）在ABF與CDE中， ABFCDE（SAS） CA (全等三角形對(duì)應(yīng)角相等) ABCD （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3：如圖，在 ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB，取AB的中點(diǎn)E，連接CD和CE. 求證：CD=2CE分析：()折半法

32、：取CD中點(diǎn)F，連接BF，再證CEBCFB.這里注意利用BF是ACD中位線這個(gè)條件。證明：取CD中點(diǎn)F，連接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位線定理） ACB2 (兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)又 AB=AC ACB3 （等邊對(duì)等角） 32在CEB與CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）即CD=2CE （）加倍法證明：延長(zhǎng)CE到F，使EF=CE，連BF.在AEC與BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等) BFAC (內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC

33、ACB=ABCCBF=CBD （等角的補(bǔ)角相等）在CFB與CDB中， CFBCDB (SAS) CF=CD即CD=2CE說(shuō)明：關(guān)于折半法有時(shí)不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點(diǎn)F，連BF(如圖)（B為AD中點(diǎn)是利用這個(gè)辦法的重要前提），然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直例4：已知：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，ADC、BDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒(méi)有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過(guò)觀察，可以猜測(cè)：AO=B

34、C，AOBC.證明：延長(zhǎng)AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等） AODCOE （對(duì)頂角相等） COE+OCE=90o AOBC5、中考點(diǎn)撥：例1如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)ED，并延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使DFDE，連結(jié)FC求證：FA分析：證明兩個(gè)角相等，常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等，在已知圖形中A、F不在全等的兩個(gè)三角形中，但由已知可證得EFAC，因此把A通過(guò)同位角轉(zhuǎn)到BDE中的BED，只要證EBDFCD即可證明：ABAC，ACBB，EBED，AC

35、BEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF，BEDFFA說(shuō)明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對(duì)項(xiàng)角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系。例2 如圖，已知 ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AE=BD，連接CE、DE.求證：EC=ED 分析：把已知條件標(biāo)注在圖上，需構(gòu)造和AEC全等的三角形，因此過(guò)D點(diǎn)作DFAC交BE于F點(diǎn)，證明AECFED即可。證明：過(guò)D點(diǎn)作DFAC交BE于F點(diǎn) ABC為等邊三角形 BFD為等邊三角形 BF=BD=FD AE=B

36、D AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在 ACE和DFE中， AECFED（SAS） EC=ED（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）題型展示：例1 如圖，ABC中，C2B，12。求證：ABACCD分析：在AB上截取AEAC，構(gòu)造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需證DEBE問(wèn)題便可以解決證明：在AB上截取AEAC，連結(jié)DE AEAC，12，ADAD， AEDACD， DEDC，AEDC AEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDB EBED，即EDDC， ABACDC剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長(zhǎng)法（即在長(zhǎng)線段上截取一段等于兩條

37、短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AEAC是利用了角平分線是角的對(duì)稱(chēng)軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補(bǔ)短法（即延長(zhǎng)一條短線段等于長(zhǎng)線段，再證明延長(zhǎng)的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題，實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點(diǎn)考查的內(nèi)容【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 下列判斷正確的是（ ）（A）有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（B）有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個(gè)等腰三角形全等（C）有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（D）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2. 已知：如圖，CDAB于點(diǎn)D，

38、BEAC于點(diǎn)E，BE、CD交于點(diǎn)O，且AO平分BAC求證：OBOC5. 如圖，在等腰RtABC中，C90°，D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AECD于E，BFCD交CD的延長(zhǎng)線于F，CHAB于H點(diǎn)，交AE于G求證：BDCG9、等腰三角形【知識(shí)精讀】（）等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直

39、平分線為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形； 2. 定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”。） 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30&#

40、176;，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 2. 定理及其推論的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。 3. 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問(wèn)題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過(guò)它來(lái)證明線段或角的倍分問(wèn)題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來(lái)定?！痉诸?lèi)解析】 例1.

41、 如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。 分析：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DMBC，所以想到連結(jié)BD，證BDED。因?yàn)锳BC是等邊三角形，DBEABC，而由CECD，又可證EACB，所以1E，從而問(wèn)題得證。 證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn) 所以1ABC 又因?yàn)镃ECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足為M 所以M是BE的中點(diǎn) （等腰三角形三線合一定理）例2. 如圖，已知：中，D是BC上一點(diǎn)，且，求的度數(shù)。 分析：題中所要求的在中，但僅靠是無(wú)法求出來(lái)的。因此

42、需要考慮和在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來(lái)求。 解：因?yàn)椋?因?yàn)?，所以?因?yàn)椋裕ǖ冗厡?duì)等角） 而 所以 所以 又因?yàn)?即 所以 即求得 說(shuō)明1. 等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點(diǎn)在后邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。 2. 注意“等邊對(duì)等角”是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。 3. 此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，而邊證邊算又是解決這類(lèi)題目的常用方法。 例3. 已知：如圖，中，于D。求證：。 分析：欲證角之間的倍

43、半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與的關(guān)系。 證明：過(guò)點(diǎn)A作于E， 所以（等腰三角形的三線合一性質(zhì)） 因?yàn)?又，所以 所以（直角三角形兩銳角互余） 所以（同角的余角相等） 即 說(shuō)明： 1. 作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線； 2. 對(duì)線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”或“倍長(zhǎng)中線”等輔助線的添加方法，對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構(gòu)造出的等角等。4、中考題型： 1.如圖，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE

44、分別為ABC與ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)F，則圖中的等腰三角形有（ ） A. 6個(gè) B. 7個(gè) C. 8個(gè) D. 9個(gè) 分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個(gè)，故選擇C。 2.）已知：如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，E、F分別是垂足。求證：AEAF。 證明：因?yàn)?，所?又因?yàn)?所以 又D是BC的中點(diǎn)，所以 所以 所以，所以 說(shuō)明：證法二：連結(jié)AD，通過(guò) 證明即可5、題形展示： 例1. 如圖，中，BD平分。求證：。 分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，易得，則有，只需證明

45、，這就要從條件出發(fā)，通過(guò)角度計(jì)算可以得出。 證明一：在BC上截取，連結(jié)DE、DF 在和中， 又 而 即分析二：如圖，可以考慮延長(zhǎng)BD到E，使DEAD，這樣BDAD=BD+DE=BE，只需證明BEBC，由于，只需證明易證，故作的角平分線，則有，進(jìn)而證明，從而可證出。 證明二：延長(zhǎng)BD到E，使DEAD，連結(jié)CE，作DF平分交BC于F。 由證明一知： 則有 DF平分 ，在和中 ，而 在和中， 在中， 說(shuō)明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會(huì)，進(jìn)一步提高自身的解題能力?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】 1. 選擇題：等腰三角形底邊

46、長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm，則腰長(zhǎng)為（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不對(duì) 2. 如圖，是等邊三角形，則的度數(shù)是_。3. 求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上. 4. 中，AB的中垂線交AB于D，交CA延長(zhǎng)線于E，求證：。14、如何做幾何證明題【知識(shí)精讀】 1. 幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類(lèi)型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類(lèi)問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。 2. 掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法： （1）綜合法（由因?qū)Ч瑥囊阎獥l件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決； （2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止； （3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。 3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多