初二數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)之幾何部分——菱形(學(xué)生版)(共19頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初二數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)之菱形一、知識(shí)點(diǎn)梳理（一）四邊形的相關(guān)概念1、四邊形在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接的圖形叫做四邊形。2、凸四邊形把四邊形的任一邊向兩方延長(zhǎng)，如果其他個(gè)邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形。3、對(duì)角線在四邊形中，連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做四邊形的對(duì)角線。4、四邊形的不穩(wěn)定性三角形的三邊如果確定后，它的形狀、大小就確定了，這是三角形的穩(wěn)定性。但是四邊形的四邊確定后，它的形狀不能確定，這就是四邊形所具有的不穩(wěn)定性，它在生產(chǎn)、生活方面有著廣泛的應(yīng)用。5、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和

2、等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于180°； 多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。6、多邊形的對(duì)角線條數(shù)的計(jì)算公式設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則多邊形的對(duì)角線條數(shù)為。（二）平行四邊形 1、平行四邊形的概念兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號(hào)“ABCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。2、平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等。（2）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。（3）

3、平行四邊形的對(duì)角線互相平分。（4）若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積。 （5）中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。（

4、4）兩條平行線之間的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離平行線間的距離處處相等注意：(1)距離是指垂線段的長(zhǎng)度，是正值5、平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長(zhǎng)×高=ah（三）矩形 1、矩形的概念有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)（2）矩形的四個(gè)角都是直角（3）矩形的對(duì)角線相等（4）矩形是軸對(duì)稱圖形注：用矩形的性質(zhì)可以證明線段相等或倍分、直線平行、角相等等 3、矩形的判定（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩

5、形結(jié)論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。注意：用定義判定一個(gè)四邊形是矩形必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是有一個(gè)角是直角；二是平行四邊形也就是說有一角是直角的四邊形，不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個(gè)條件，它才是矩形用定理2證明一個(gè)四邊形是矩形，也必須滿足兩個(gè)條件：一是對(duì)角線相等；二是平行四邊形也就說明：兩條對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個(gè)條件，它才是矩形4、矩形的面積：S矩形=長(zhǎng)×寬=ab（四）菱形 1、菱形的概念有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)（2）菱形的四條邊相等（3）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分

6、一組對(duì)角（4）菱形是軸對(duì)稱圖形3、菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形注意：對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，必須加上平行四邊形這個(gè)條件它才是菱形利用菱形的性質(zhì)及判定可以證明線段相等及倍分、角相等及倍分、直線平行、垂直，以及證明一個(gè)四邊形是菱形和有關(guān)計(jì)算4、菱形的面積S菱形=底邊長(zhǎng)×高=兩條對(duì)角線乘積的一半菱形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為_三角形 （五）正方形 1、正方形的概念有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關(guān)系如圖：2、正

7、方形的性質(zhì)（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)（2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（4）正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸（5）正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等。 3、正方形的判定判定一： 一組鄰邊相等的矩形是正方形；判定二：一個(gè)角是直角的菱形是正方形判定三：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形；判定四：即是矩形又是菱形的四邊形是正方形。（1）判定一個(gè)四邊形是正方

8、形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。先證它是菱形，再證有一個(gè)角是直角。（2）判定一個(gè)四邊形為正方形的一般順序如下：先證明它是平行四邊形；再證明它是菱形（或矩形）；最后證明它是矩形（或菱形）4、正方形的面積設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線長(zhǎng)為bS正方形=（六）梯形 1、梯形的相關(guān)概念一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分類如下： 一般梯形梯形 直角梯形 特殊

9、梯形 等腰梯形2、梯形的判定（1）定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形。（2）一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形。3、等腰梯形的性質(zhì)（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（3）等腰梯形的對(duì)角線相等。（4）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，即兩底的垂直平分線。4、等腰梯形的判定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形（3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。5、梯形的面積（1）（上底+下底）高 （2） 梯形中位線高（3）一腰中點(diǎn)到對(duì)腰的距離乘以此對(duì)腰的長(zhǎng)=（如圖）（4）如右圖（現(xiàn)記住結(jié)論就行了）（5）梯形中有關(guān)圖形的面積：； 6、梯形中位線

10、定理梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。7、解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：梯形的常見輔助線的添加方法：作高、平移腰、延腰、平移對(duì)角線、等積變化（當(dāng)然不要忘了根據(jù)條件靈活添加輔助線）。通過添加輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形 “作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中“移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中“廷腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形“等積變形”：連接梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)交下底的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形綜上，解決梯形問題的基本思路： 梯形問題三角形或平行四邊形問題，這種思路常通過平移或旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn) （七）各個(gè)四邊形之間的關(guān)系（1）知識(shí)框架 8、中心對(duì)稱圖形（2

11、）幾種特殊四邊形的性質(zhì)邊角對(duì)角線平行四邊形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相平分矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相平分且相等菱形對(duì)邊平行四邊相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角正方形對(duì)邊平行四邊相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角（3）幾種特殊四邊形的常用判定方法平行四邊形（1）兩組對(duì)邊分別平行；（2）兩組對(duì)邊分別相等；（3）一組對(duì)邊平行且相等；（4）兩條對(duì)角線互相平分；（5）兩組對(duì)角分別相等。矩形（1）有三個(gè)是直角；（2）是平行四邊形且有一個(gè)角是直角；（3）是平行四邊形且兩條對(duì)角線相等。菱形（1）四條邊都相等；（2）是平行

12、四邊形且有一組鄰邊相等；（3）是平行四邊形且兩條對(duì)角線互相垂直。正方形（1）是矩形，且有一組鄰邊相等；（2）是菱形，且有一個(gè)角是直角。 （八）中心對(duì)稱圖形(1）把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱（中心對(duì)稱）； (2)把一個(gè)圖形繞它的某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。 性質(zhì)： (1)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形； (2)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分； (3)如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那

13、么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。 注： (1)以下圖形是中心對(duì)稱圖形：直線、線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等。 (2)以下圖形不是中心對(duì)稱圖形：射線、角、三角形、等邊三角形、等腰三角形等。 (3)特別注意：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形。對(duì)比軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形：軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形有一條對(duì)稱軸直線有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)沿對(duì)稱軸對(duì)折繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180O對(duì)折后與原圖形重合旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合（九）主要思想方法小結(jié)1、轉(zhuǎn)化思想（又叫化歸思想）轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，或?qū)⒛吧膯栴}轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來處理的一種思想，本章應(yīng)用化歸思想的內(nèi)容主要有兩個(gè)方面： （1） 四邊形問

14、題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理（2） 梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形來處理2、代數(shù)法（計(jì)算法） 代數(shù)法是用代數(shù)知識(shí)來解決幾何問題的方法，也就是說運(yùn)用幾何定理、法則，通過列方程、方程組或不等式及解方程、方程組、恒等變形等代數(shù)方法，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來解決的方法3、變換思想 即運(yùn)用平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)稱變換等方法來構(gòu)造圖形解決幾何問題（十）應(yīng)注意的幾個(gè)問題1、不能把判定方法與性質(zhì)混淆，應(yīng)加深對(duì)判定方法中條件的理解，重視判定方法中的基本圖形，不要用性質(zhì)代替了判別解題時(shí)不能想當(dāng)然，更不要忽視重要步驟2、在判別一個(gè)四邊形是正方形時(shí)，容易忽視某個(gè)條件，致使判斷失誤，要避免這種錯(cuò)誤的產(chǎn)生就必須認(rèn)真熟記正

15、方形的定義、特征和識(shí)別方法，認(rèn)真區(qū)別各個(gè)特征、識(shí)別方法的條件，不要忽略隱含條件，避免錯(cuò)誤的產(chǎn)生3、判別一個(gè)四邊形是等腰梯形時(shí)，不要忽略了先判別四邊形是梯形，對(duì)梯形的概念、性質(zhì)、判定認(rèn)識(shí)要清4、縱橫對(duì)比，分清各種四邊形的從屬關(guān)系，抓住其概念的內(nèi)涵5、復(fù)習(xí)時(shí)，依然從邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性等角度來理解和應(yīng)用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定方法，注意對(duì)問題的觀察、分析與總結(jié)（十一）幾何證明思路。（十三）做輔助線法則二、考點(diǎn)及題型考點(diǎn)1 與菱形有關(guān)的計(jì)算問題1、如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)EF.若EF，BD4，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為()

16、A4 B4 C4 D282如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，則DH=（）ABC12D243、如圖，矩形ABCD中，AB8，BC4.點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G，H在對(duì)角線AC上若四邊形EGFH是菱形，則AE的長(zhǎng)是（ ）A2 B3 C5 D64、如圖，矩形ABCD中，AB8，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，有AE4，BE的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF交CD于點(diǎn)G，若G是CD的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是_訓(xùn)練1 訓(xùn)練2 如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BEAD，BFCD，垂足分別為E，F(xiàn)，延長(zhǎng)BD至G，使得DG=BD，連接EG，F(xiàn)G，若AE=DE，則=_ 訓(xùn)練2 如圖，

17、四邊形ABCD與四邊形AEFG都是菱形，其中點(diǎn)C在AF上，點(diǎn)E，G分別在BC，CD上，若BAD135°，EAG75°，則_ （訓(xùn)練2圖） （5題圖）5、如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為2和3，A=120°，則陰影部分的面積是（ ）A B2 C3 D考點(diǎn)2 線段的最值問題 1、如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為( )A1 B C 2 D1 （1題圖） （訓(xùn)練1圖）訓(xùn)練1 如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在邊CD上，EC1，則PCP

18、E的最小值是 訓(xùn)練2 在菱形ABCD中，AB=2，ADC=120°，M是AB的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，記AP+MP的最大值為S,最小值為T，則的值為 訓(xùn)練3 如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，=60°，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在的直線翻折得到，連接,則長(zhǎng)度的最小值是_. 2、如圖，在RtABC中，C90°，AC6，BC8點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，連結(jié)AE，過點(diǎn)E作AE的垂線交AB邊于點(diǎn)F，求AF的最小值方法小結(jié)：兩條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱軸“河流”（如圖1）三條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的

19、“臺(tái)球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對(duì)稱軸“反射鏡面”（如圖2）兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長(zhǎng)如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，即P圖1 圖2 圖3注：解決線段和差的最值問題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便考點(diǎn)3 菱形的證明1、已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，AE = AF（1）求證：BE = DF；（2）連接AC交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)M，使OM = OA，連接EM、FM判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論訓(xùn)練 已知：如圖，在矩形

20、ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在邊BC上，且AE=CF，作EGFH，分別與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G、H，連接EH，F(xiàn)G（1）求證：BFHDEG；（2）連接DF，若BF=DF，則四邊形EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論考點(diǎn)4 圖形的平移和旋轉(zhuǎn)（與三角形的綜合） 1、如圖，在菱形ABCD中，DAB=60°，點(diǎn)E為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，B不重合），連接CE，將ACE的兩邊所在射線CE，CA以點(diǎn)C為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，分別交射線AD于點(diǎn)F，G.（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）若ACE=，求AFC 的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（3）用等式表示線段AE、AF與CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證

21、明訓(xùn)練 如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=3，AC，BD相交于點(diǎn)O（1）求邊AB的長(zhǎng)；（2）如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點(diǎn)G判斷AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)E為邊BC的四等分點(diǎn)時(shí)（BECE），求CG的長(zhǎng)考點(diǎn)5 與平行四邊形的綜合1、在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn)，連結(jié)EG、GF、FH、HE.（1）如圖，試判斷四邊形EGFH

22、的形狀，并說明理由；（2）如圖，當(dāng)EFGH時(shí)，四邊形EGFH的形狀是 ；（3）如圖，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是 ；（4）如圖，在（3）的條件下，若ACBD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由.HGFEODCBA圖HGFEODCBA圖ABCDOEFGH圖ABCDOEFGH圖 2、已知,矩形中, 的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、,垂足為. (1)如圖10-1,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長(zhǎng)；(2)如圖10-2,動(dòng)點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)自停止,點(diǎn)自停止.在運(yùn)動(dòng)過程中,已知點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求的值.若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)路程分別為、(單位:,),已知、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數(shù)量關(guān)系式.圖10-1圖10-2備用圖三、鞏固訓(xùn)練1、如圖，在ABC中，DE分別是AB，AC的中點(diǎn)，BE=2