二、數(shù)與矩陣相乘

1、二、數(shù)與矩陣相乘二、數(shù)與矩陣相乘五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題四、矩陣的其它運(yùn)算四、矩陣的其它運(yùn)算三、矩陣與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘一、矩陣的加法一、矩陣的加法第二章 矩陣及其運(yùn)算第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 、定義、定義 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩陣的加法設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè) 矩陣矩陣 那末矩陣那末矩陣 與與 的和記作的和記作 ，規(guī)定為，規(guī)定為nm ,bB,aAijij ABBA 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、矩陣的加法一、矩陣的加法說明說明 只有當(dāng)兩個(gè)

2、矩陣是只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算行加法運(yùn)算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 2、 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .的的負(fù)矩陣負(fù)矩陣稱為矩陣稱為矩陣A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、數(shù)與矩陣相乘1 1、定義、定義.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 規(guī)定為規(guī)定為或或的乘積記作

3、的乘積記作與矩陣與矩陣數(shù)數(shù), AAA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、數(shù)與矩陣相乘二、數(shù)與矩陣相乘 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來, ,統(tǒng)稱為矩陣的統(tǒng)稱為矩陣的線線性運(yùn)算性運(yùn)算. .（設(shè)（設(shè) 為為 矩陣，矩陣， 為數(shù)）為數(shù)） ,nm BA、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 齊次線性方程組 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa齊次線性方程組齊次線性方程組 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxa

4、xaxaxaxaxa可寫成可寫成機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 000212222221211121111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa進(jìn)一步寫成進(jìn)一步寫成所以所以 00021222212112111nnnnnnnxaaaxaaaxaaaa1x1+a2x2+anxn=O 或或 x1a1+x2a2+xnan=O 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 非齊次線性方程組 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111非齊次線性方非齊次線性方程組程組 nnnnnnnnnnbbbxaxaxaxaxaxaxaxaxa2122

5、1122221211212111可寫成可寫成機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnnnnnnnnbbbxaxaxaxaxaxaxaxaxa21212222221211121111進(jìn)一步寫成進(jìn)一步寫成所以所以 nnnnnnnnbbbxaaaxaaaxaaa2121222212112111a1x1+a2x2+anxn=b 或或 x1a1+x2a2+xnan=b機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 、定義、定義 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積記作并把此乘積記作.ABC 三、矩陣與矩陣相乘設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，矩陣

6、， 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、矩陣與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘例例222263422142 C22 16 32 816設(shè)設(shè) 415003112101A 121113121430B例例2 2?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 121113121430415003112101ABC故故. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意

7、注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)列數(shù)等于第二個(gè)矩陣等于第二個(gè)矩陣的的行數(shù)行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘. 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 為數(shù)）為數(shù)）; ;4AEAAE 若若A是是 階矩陣，則階矩陣，則 為為A的的 次冪，即次冪，即 并且并且 5nkAk 個(gè)個(gè)kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 為為正正整整數(shù)數(shù)k,m機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

8、 返回 結(jié)束 注意注意矩陣不滿足交換律，即：矩陣不滿足交換律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 設(shè)設(shè) 1111A 1111B則則,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 但也有例外，比如設(shè)但也有例外，比如設(shè),2002 A,1111 B則有則有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 3 計(jì)算下列乘積：計(jì)算下列乘積： 21322 1 解解 213221 12 22 12 22 13 23 .634242 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3213332312322211312113212bbba

9、aaaaaaaabbb 解解332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =333223113bababa 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解 0010010010012A.002012222 .001001kAA求求設(shè)設(shè) 例例4 4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 00100100201222223AAA 32323003033 由此歸納出由此歸納出 200021121 kkkkkAkkkk

10、kkk 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)當(dāng) 時(shí)，顯然成立時(shí)，顯然成立.2 k假設(shè)假設(shè) 時(shí)成立，則時(shí)成立，則 時(shí)，時(shí)，nk 1 nk ,001001000211211 nnnnnnnnnnnnAAA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 所以對(duì)于任意的所以對(duì)于任意的 都有都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA ,00102111111 nnnnnnnnnn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 齊次線性方程組齊次線性方程組齊次線性方程組 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa可寫成可寫成機(jī)動(dòng)

11、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 00021212222111211nnnnnnnxxxaaaaaaaaaA x = O非齊次線性方程組非齊次線性方非齊次線性方程組程組 nnnnnnnnnnbbbxaxaxaxaxaxaxaxaxa21221122221211212111可寫成可寫成機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211A x = b定義定義 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 . AAA例例,854221 A;825241 TA ,61

12、8 B.618 TB、轉(zhuǎn)置矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣四、矩陣的其它運(yùn)算-轉(zhuǎn)置矩陣機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、矩陣的其它運(yùn)算四、矩陣的其它運(yùn)算轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 機(jī)動(dòng)

13、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方陣的行列式2、方陣的行列式、方陣的行列式定義定義 由由 階方陣階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣叫做方陣 的行列式，記作的行列式，記作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A則則. 2 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì) ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3、對(duì)稱陣與伴隨矩陣、對(duì)稱陣與伴隨矩陣定義定義設(shè)設(shè) 為為 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即那末那末 稱為稱為對(duì)稱陣對(duì)稱陣.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A為對(duì)稱陣為對(duì)稱陣?yán)缋?6010861612.稱稱為

14、為反反對(duì)對(duì)稱稱的的則則矩矩陣陣如如果果AAAT 對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相 等等.說明說明機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)稱陣?yán)?例例6 6 設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且陣陣是對(duì)稱矩是對(duì)稱矩證明證明階單位矩陣階單位矩陣為為證明證明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7 7 證明任一證明任一

15、階矩陣階矩陣 都可表示成對(duì)稱陣都可表示成對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣之和與反對(duì)稱陣之和.nA證明證明TAAC 設(shè)設(shè) TTTAAC 則則AAT ,C 所以所以C為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣.,TAAB 設(shè)設(shè) TTTAAB 則則AAT ,B 所以所以B為反對(duì)稱矩陣為反對(duì)稱矩陣.命題得證命題得證.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 BCAAAAATT21212121 例7伴隨矩陣定義定義 行列式行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所所構(gòu)成的如下矩陣構(gòu)成的如下矩陣AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性質(zhì)性質(zhì).EAAAAA 證明證明 ,ijaA 設(shè)設(shè) ,ijbAA 記記則則j

16、ninjijiijAaAaAab 2211,ijA 稱為矩陣稱為矩陣 的的伴隨矩陣伴隨矩陣.A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意各代數(shù)余子注意各代數(shù)余子式的排列方式式的排列方式4 4、共軛矩陣、共軛矩陣定義定義當(dāng)當(dāng) 為復(fù)矩陣時(shí)，用為復(fù)矩陣時(shí)，用 表示表示 的共軛的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為復(fù)數(shù)，記，稱為 的共軛矩陣的共軛矩陣. ijaA ijaija ijaA AA故故 ijAAA ijA .EA 同理可得同理可得 nkkjkiaAAA1 ijA ijA .EA 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4、共軛矩陣 ;2AA .3BAAB 共軛矩陣的運(yùn)算性質(zhì)共軛矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ;1BABA （設(shè)（設(shè) 為復(fù)矩陣，為復(fù)矩陣， 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的）且運(yùn)算都是可行的）:BA, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 運(yùn)算性質(zhì)五、小結(jié)矩陣運(yùn)算矩陣運(yùn)算 加法加法數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣對(duì)稱陣與伴隨矩陣對(duì)稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式方陣的行列式共軛矩陣共軛矩陣機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、小結(jié)五、小結(jié)（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘且矩陣相乘不滿足不滿足交換律交換律.（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是