概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用課后習(xí)題答案

1、 第一章隨機事件及其概率1、解：（1） （2） （3） （4）2、設(shè)A, B是兩個事件，已知，求，解： 3、解：用表示事件“取到的三位數(shù)不包含數(shù)字1” 4、在僅由0，1，2，3，4，5組成且每個數(shù)字至多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)字中，任取一個三位數(shù)，（1）該數(shù)是奇數(shù)的概率；（2）求該數(shù)大于330的概率。 解：用表示事件“取到的三位數(shù)是奇數(shù)”，用表示事件“取到的三位數(shù)大于330” (1) =0.48 2） =0.48 5、袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球；（2）4只中至少有2只紅球；（3）4只中沒有白球解：用表示事件“4只

2、中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球” （1）=（2）用表示事件“4只中至少有2只紅球” 或= （3）用表示事件“4只中沒有白球”6、解：用表示事件“某一特定的銷售點得到張?zhí)嶝泦巍?7、解：用表示事件“3只球至少有1只配對”，表示事件“沒有配對”（1）或（2）8、（1）設(shè)，求；（2）袋中有6只白球，5只紅球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到紅球不放回也不再放回另外的球，連續(xù)取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解 （1）， （2）設(shè)，B = 第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球則， 9、解： 用表示事件“取到的兩只球中至少有1只紅球”，表示事件“

3、兩只都是紅球” 方法1 ， 方法2 在減縮樣本空間中計算 10、解：表示事件“一病人以為自己患了癌癥”，表示事件“病人確實患了癌癥” 由已知得，（1）互斥 同理 （2）（3）（4）（5）11、解：用表示事件“任取6張，排列結(jié)果為ginger”12、據(jù)統(tǒng)計，對于某一種的兩種癥狀：癥狀A(yù)、癥狀B，有20%的人只有癥狀A(yù)，有30%的人只有癥狀B，有10%的人兩種癥狀都有，其他的人兩種癥狀都沒有，在患這種疾病的人群中隨機的選一人，求（1）該人兩種癥狀都沒有的概率；（2）該人至少有一種癥狀的概率；（3）已知該人有癥狀B，求該人有兩種癥狀的概率。解：用表示事件“”，表示事件“” 由已知，（1）設(shè)C = 該

4、人兩種癥狀都沒有， 且互斥或 ，即 （2）設(shè)D = 該人至少有一種癥狀，即 （3）設(shè)E = 已知該人有癥狀B，求該人有兩種癥狀， 互斥 即 13、解：用表示“訊號無誤差地被接受”表示事件“訊號由第條通訊線輸入”， ， 由全概率公式得 14、一種用來檢驗50歲以上的人是否患有關(guān)節(jié)炎的檢驗法，對于確實患有關(guān)節(jié)炎的病人，有85%給出了正確的結(jié)果；而對于已知未患關(guān)節(jié)炎的人有4%會認(rèn)為他患關(guān)節(jié)炎，已知人群中有10%的人患有關(guān)節(jié)炎，問一名被檢驗者經(jīng)檢驗，認(rèn)為它沒有關(guān)節(jié)炎，而他卻患有關(guān)節(jié)炎的概率。解：用表示事件“”， 表示事件“” C表示事件：“一名被檢驗者經(jīng)檢驗，認(rèn)為它沒有關(guān)節(jié)炎，而他卻患有關(guān)節(jié)炎”所求為

5、，由已知 ，則 ，由貝葉斯公式得15、解：用表示事件“程序因計算機發(fā)生故障被打壞”分別表示事件“程序交與打字機打字” 由已知得 ，；，由貝葉斯公式得 16、解：用表示事件“收到可信訊息”，表示事件“由密碼鑰匙傳送訊息” 由已知得 ，由貝葉斯公式得17、解：用表示事件“第一次得”，表示事件“第二次得”，表示事件“兩次得同一面”則 ， ，兩兩獨立而，不是相互獨立的18、解：用表示事件“運動員進(jìn)球”，表示事件“運動員進(jìn)球”，表示事件“運動員進(jìn)球”，由已知得 ， 則 ， （1）設(shè)，則且互斥 （2）設(shè)，則且互斥 （3）設(shè)，則 19、解：設(shè)表示事件“病人能得救”表示事件“第個供血者具有血型”，則 且互斥，

6、相互獨立 20、一元件（或系統(tǒng)）正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性，如圖設(shè)有5個獨立工作的元件1，2，3，4，5按先串聯(lián)后并聯(lián)的方式聯(lián)接（稱為串并聯(lián)系統(tǒng)），設(shè)元件的可靠性為p，求系統(tǒng)的可靠性。32解：設(shè)， 由已知得 相互獨立法1： 法2： 21、用一種檢驗法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下，若真含有雜質(zhì)檢驗結(jié)果為含有的概率為0.8；若真不含有雜質(zhì)檢驗結(jié)果為不含有的概率為0.9；根據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4，0.6 。今獨立地對一產(chǎn)品進(jìn)行了3次檢驗，結(jié)果是2次檢驗認(rèn)為含有雜質(zhì)，而有1次檢驗認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。解：用A表示事件“真

7、含有雜質(zhì)”,用B表示事件“3次檢驗，結(jié)果是2次檢驗認(rèn)為含有雜質(zhì)，而有1次檢驗認(rèn)為不含有雜質(zhì)” 由已知得 ，由貝葉斯公式得第二章 隨機變量及其分布1、設(shè)在某一人群中有40%的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機的選人來驗血，直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止，以Y記進(jìn)行驗血的次數(shù)，求Y的分布律。解：2、解：用， 3、據(jù)信有20%的美國人沒有任何健康保險，現(xiàn)任意抽查12個美國人，以X表示15人無任何健康保險的人數(shù)（設(shè)各人是否有健康保險是相互獨立的），問X服從什么分布，寫出X 的分布律，并求下列情況下無任何健康保險的概率（1）恰有3人；（2）至少有兩人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。解： k=0,

8、1,2,15 （1） （2） （3） （4）4、解：用X表示5個元件中正常工作的元件個數(shù) 5、某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以致產(chǎn)品成為次品，設(shè)次品率為p = 0.001，現(xiàn)取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的概率。解：設(shè)X表示8000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則由于n很大，P很小，利用，所以6、解：（1） （2） 或7、解：（1） （2）設(shè)Y表示一分鐘內(nèi)，5個訊息員中未接到訊息的人數(shù)，則 （3） 8、一教授當(dāng)下課鈴打響時，他還不結(jié)束講解，他常結(jié)束他講解在下課鈴響后一分鐘以內(nèi)，以X表示響鈴至結(jié)束講解的時間，設(shè)X的概率密度為（1）確定k；（2）求；（3）求；（4）求解

9、：（1）由 （2）（3）（4）9、解：方程，即 得，所以有實根的概率為10、解：（1）（2）（3）11、設(shè)實驗室的溫度X（以°C計）為隨機變量，其概率密度為（1）某種化學(xué)反應(yīng)在溫度X > 1時才能反應(yīng)，求在實驗室中這種化學(xué)反應(yīng)發(fā)生的概率；（2）在10個不同的實驗室中，各實驗室中這種化學(xué)反應(yīng)是否會發(fā)生是相互獨立的，以Y表示10個實驗室中有這種化學(xué)反應(yīng)的實驗室的個數(shù)，求Y的分布律；（3）求。解：（1）（2），（3） 12、（1）設(shè)隨機變量Y的概率密度為試確定常數(shù)C，求分布函數(shù)，并求，（2）設(shè)隨機變量X的概率密度為求分布函數(shù)，解：（1）由 （2） 13、解： 當(dāng)n=3時，（X，Y）聯(lián)

10、合分布律為 YX123101/61/621/601/631/61/6014、設(shè)有一加油站有兩套用來加油的設(shè)備設(shè)備A是加油站工作人員操作的，設(shè)備B是顧客自己操作的，A，B均裝有兩根加油軟管，隨機取一時刻，A，B正在使用軟管數(shù)分別為X，Y。X，Y的聯(lián)合分布律為 YX01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30（1）求（2）至少有一根軟管在使用的概率；（3）解：（1），（2）設(shè)C = 至少有一根軟管在使用（3） 15、設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為是確定常數(shù)C；并求；解：， 16、設(shè)隨機變量（X，Y）在由曲線所圍成的區(qū)域G均勻分布（1）求（X，Y）的概率密度

11、；（2）求邊緣概率密度解：（1）， （2）17、（1）在14題中求邊緣概率密度；解：（1）YX012PX=xi00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38PY=yi0.160.340.501（2）22、（1）設(shè)一離散型隨機變量的分布律為Y-101Pk又Y1，Y2是兩個相互獨立的隨機變量，且Y1，Y2與Y有相同的分布律，求Y1與Y2的聯(lián)合分布律，并求PY1 = Y2;（2）在14題中X與Y是否相互獨立。解：（1） Y1Y2-101-101且 （2） ，X與Y不相互獨立23、設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，XU(0,1) ，Y 的概率密度

12、為試寫出X，Y的聯(lián)合概率密度，并求。解： ，且X與Y相互獨立 24、設(shè)隨機變量X具有分布律X-2-1013求的分布律。 解：X-2-101352121012510即1251025、解：，當(dāng)時，當(dāng)故的概率密度為：26、解：（1），當(dāng)時，當(dāng)故的概率密度為：（2），當(dāng)時，當(dāng)，故的概率密度為：（3），當(dāng)時，當(dāng)故的概率密度為：27、設(shè)一圓的半徑X是一隨機變量，其概率密度為求圓面積A的概率密度。解：,， 當(dāng)y時， 當(dāng)時， 當(dāng)時, 故的概率密度為：28、解：因為X與Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布 ，當(dāng)時， 故的概率密度為：29、解：，且X與Y相互獨立 30、解：，且X與Y相互獨立由卷積公式：，故的概率密度為：

13、31、解：，且X與Y相互獨立 32、設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，它們的聯(lián)合概率密度為（1）求邊緣概率密度；（2）求的分布函數(shù)；（3）求概率。解（1） （2） （3）33、解：（1） （2）兩個小段均服從： ， 故，從而得證34、解：（1）U的可能取值是0，1，2，3或U0123P即：U0123P（2）V的可能取值為0,1,2 或V012P0+0即：V01P（3）W的可能取值是0，1，2，3，4，5或W012345P0+00即：W0123P第三章 隨機變量的數(shù)字特征1、解： 2、解： 3、解：設(shè)X為取到的電視機中包含的次品數(shù)， ，即X012pk4、解：設(shè)X為所得分?jǐn)?shù) ， 5、解：（1）已知，由則，

14、解得故 （2）由于不是絕對收斂，則不存在。6、（1）某城市一天水的消費量X（百萬升計）是一個隨機變量，其概率密度為求一天的平均耗水量。（2）設(shè)某種動物的壽命X（以年計）是一個隨機變量，起分布函數(shù)為求這種動物的平均壽命。（2）解法1： 解法2：7、解：8、解：9、解：10、設(shè)，求數(shù)學(xué)期望解：由11、解：R的概率密度為 12、解：13、解：Y1的分布函數(shù)為Y1的概率密度為Yn的分布函數(shù)為Yn的概率密度為14、設(shè)隨機變量(X, Y)具有分布律為 YX012010200求。解：X的分布律為 Y的分布律為X012 Pi.Y012Pj 15、解： 16、設(shè)隨機變量(X, Y)具有概率密度求。解： 17、某

15、工程對完成某種工程的天數(shù)X是隨機變量，具有分布律X1011121314P0.20.30.30.10.1所得利潤（以元計）為 求18、解：19、解： 20、解：（1）（2）由于，則當(dāng)不存在。（3） （4）由于，則當(dāng)不存在。21、（1）在14題中，求(2 ) 在16題中，求解：（1）由14題， （2）由16題， （3）X的分布律為X012pk0.240.380.38Y的分布律為Y012pk0.160.340.5解：23、解：（1）（2）解： ，則X, Y不相關(guān)。由于，故X, Y不相互獨立。25、解：設(shè)第四章 正態(tài)分布、解：（1）（2）2、解：解：（1） （2） 4、解：（1）（2）5、解：6、解：

16、（1）設(shè)A=兩只電阻器的電阻值都在11.7歐和12.3歐之間則（2）設(shè)X, Y分別是兩只電阻器的電阻值，則，且X, Y相互獨立7、一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命X（以小時計）服從均值，均方差為s的正態(tài)分布，若要求，允許s最大為多少？解：因為由從而 ，查表得 ，故31.28、解：（1）（2）設(shè)由從而d81.179、解： 則（1） （2）10、解：（1）（2），故0.334811、設(shè)某地區(qū)女子的身高（以m計），男子身高（以m計），設(shè)各人身高相互獨立。（1）在這一地區(qū)隨機選一名女子，一名男子。求女子比男子高的概率。（2）在這一地區(qū)隨機選5名女子，求其中至少有4名的身高大于1.60的概率。（3）在這一地區(qū)

17、隨機選50名女子，求這50名女子的平均身高大于1.60的概率。解：（1）（2）設(shè)5名女子中身高大于1.60的人數(shù)為Y，則（3）則 12、解：（1）.è.è.由，解得，.，.（2）（，）0.158713、解：（1）m30（2）（m30，7.5）（3）4500.95è0.95 è-1.645è m492.414、解：(1) (m-30，37.5)（2）(450)0.90è 0.90è-1.28 èm 490.3615、某種電子元件的壽命X（以年記）服從數(shù)學(xué)期望為2的指數(shù)分布，各元件的壽命相互獨立。隨機取100只元件，求

18、這100只元件的壽命之和大于180的概率。解： 16、解：(0,1)24.7425.25P0.987617、解：N(0.5×10，0.5×10)()0，()(0,1)0.5×100.615618、解：（1） （2）設(shè)至少需要裝n部電話，才能使其中含有白色電話機的部數(shù)不少于50部的概率大于0.95即 ，從而取19、一射手射擊一次得分X是一個隨機變量，具有分布律X8910Pk0.010.290.70（1）求獨立射擊10次總得分小于等于96的概率；（2）求在900次獨立射擊中得分為8的射擊次數(shù)大于等于6的概率。解：（1）設(shè)第i個射手射擊一次得分為Xi, Xi（i =1，

19、2，3，10）和X具有相同的分布且它們相互獨立（2）設(shè)X=900次獨立射擊中得分為8分的射擊次數(shù)，則第五章 樣本及抽樣分布1、解：（1）（2） （3） （4） （5） = ( )2、解：（1） (3) 3、解：（1）4、（1）設(shè)總體是來自X的容量為36的 樣本，求。 （2）設(shè)總體是來自X的容量為5的 樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1的概率.解：（1） （2） 5、求總體N(20，3)的容量分別為10，15的兩獨立樣本均值差的絕對值大于0.3的概率.解： 6、解：7、解：（1）（2）8、解：第六章 參數(shù)估計1、解：令，即，解得的矩估計量為2、設(shè)總體X具有概率密度參數(shù)q 未知是來自X，

20、的樣本，求q 的矩估計量。解：令，即，解得的矩估計量為3、設(shè)總體是來自X的樣本，求m與p的矩估計量（對于具體樣本值，若求得的不是整數(shù)，則與最接近的整數(shù)作為m的估計）。解：（1）由令，解得m, p的矩估計量為4、解：（1） 令，即解得的矩估計量為 似然函數(shù)解得的最大似然估計值為 （2）由（1）知5、（1）設(shè)X服從參數(shù)為的幾何分布，其分布律為，參數(shù)p未知。設(shè)是一個樣本值。求p的最大似然估計值。（2）一個運動員，投籃的命中率為，以X表示他投籃直至投中為止所需的次數(shù)。他共投籃5次得到X的觀察值為5 1 7 4 9求p的最大似然估計值。解：（1）似然函數(shù)，解得故的最大似然估計值為 （2），6、解：由（1

21、）已知，似然函數(shù)即解得的最大似然估計值 （2）已知，似然函數(shù)為 解得，故的最大似然估計值為 7、設(shè)為總體X的一個樣本， 為一相應(yīng)的樣本值。（1）總體X的概率密度為，求參數(shù)q 的最大似然估計量和估計值。（3）設(shè)，求p的最大似然估計值。解：（1）似然函數(shù)，解得故的最大似然估計值為：故的最大似然估計量為：（2）似然函數(shù)，解得故參數(shù)的最大似然估計值為：，估計量為（3），即 解得故的最大似然估計值為 8、解：似然函數(shù)為 令 解得的最大似然估計值為9、解： 聯(lián)立 解得故的最大似然估計量為 10、解：（1）由，得的矩估計量故的矩估計量是的無偏估計量。（2）令得的矩估計量.，（3） 因此是的無偏估計.11、已

22、知X,X,X,X是來自均值為的指數(shù)分布總體的樣本，其中未知，設(shè)有估計量（1）指出中哪幾個是的無偏估計量。（2）在上述的無偏估計量中指出哪一個較為有效。解：（1）由題知是的無偏估計量。（2），故比更有效。12、解：，（1）置信水平為0.95，查表得即的置信水平為0.95的置信區(qū)間：（2）置信水平為0.90，查表得即的置信水平為0.90的置信區(qū)間：13、以X表示某種小包裝糖果的重量（以g計）設(shè)，今取得樣本（容量n=10）55.95 56.54 57.58 55.13 57.48 56.06 59.93 58.30 52.57 58.46（1）求m 的最大似然估計值；（2）求m 的置信水平為0.95

23、的置信區(qū)間。解：，（1）似然函數(shù)，即解得，而 故m 的最大似然估計值為： （2）的置信水平為的置信區(qū)間：，查表得的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：14、解：（1）的無偏估計值的無偏估計值（2）置信水平為0.90，查表得 的置信水平為0.90的置信區(qū)間：15、一油漆商希望知道某種新的內(nèi)墻油漆的干燥時間，在面積相同的12塊內(nèi)墻上做實驗，記錄了干燥時間（以分計）得樣本均值分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s = 9.4分。設(shè)樣本來自正態(tài)總體均未知，求干燥時間的數(shù)學(xué)期望的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：m 的置信水平為的置信區(qū)間：，s = 9.4，n = 12，查表得的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：16、解：由題知，

24、置信水平為0.95，查表得 的置信水平為0.95的置信區(qū)間： 17、設(shè)X是春天捕到得某種魚的長度（以m 計）設(shè)，未知。下面是X的一個容量為m = 13的樣本：13.1 5.1 18.0 8.7 16.5 9.8 6.8 12.0 17.8 25.4 19.2 15.8 23.0（1）求的無偏估計量；（2）求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：的無偏估計量為：的置信水平為的置信區(qū)間為：，n = 13，查表得的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：18、解：由題知，參數(shù)未知，的置信水平為0.95的置信區(qū)間其中查表得得的置信水平為0.95的置信區(qū)間為19、解：由題知查表得，由計算得，的置信水平為0.95的

25、置信區(qū)間為20、解：（1）單側(cè)置信區(qū)間查表得的置信水平為0.95的置信上限（2）的置信水平為0.95的單側(cè)置信區(qū)間查表得，的置信水平為0.95的單側(cè)上限為21、解： 的置信水平為0.95的單側(cè)置信區(qū)間由17題知的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為22、解：由18題知，查表得，的置信水平為0.90的單側(cè)置信上限第七章 假設(shè)檢驗1、 一車床工人需要加工各種規(guī)格的工件，已知加工一工件所需的時間服從正態(tài)分布N(m, s2)，均值為18分，標(biāo)準(zhǔn)差為4.62分?，F(xiàn)希望測定，是否由于對工作的厭煩影響了他工作效率，今測得以下的數(shù)據(jù)：20.01 19.32 18.76 22.42 20.49 25.89 20.

26、11 18.97 20.90試依據(jù)這些數(shù)據(jù)（取顯著性水平a = 0.05），檢驗假設(shè)：H：m £18，H： m >18.。解：設(shè)H：m £18，H： m >18.這是s2已知的右邊檢驗問題，選統(tǒng)計量：當(dāng)H0為真時，拒絕域為：拒絕H，即由于對工作的厭煩影響了他工作效率。2、美國公共健康雜志（1994年3月）描述涉及20143個個體的一項大規(guī)模研究，文章說從脂肪中攝取熱量的平均百分比是38.4%（范圍是6%到71.6%），在某一大學(xué)醫(yī)院進(jìn)行一項研究以判定在該醫(yī)院中病人的平均攝取量是否不同于38.4%，抽取了15個病人測得平均攝取量為40.5%，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為7.5%。

27、設(shè)樣本來自正態(tài)總體N(m, s2)，m，s2均未知。試取顯著性水平a = 0.05檢驗假設(shè)H： m = 38.4，H：m ¹ 38.4解：設(shè)H： m = 38.4，H：m ¹ 38.4這是s2未知關(guān)于m 的雙邊檢驗，檢驗統(tǒng)計量為：當(dāng)H0為真時，拒絕域為：又由題知：， 故應(yīng)接受H0，即認(rèn)為脂肪攝取量的平均百分比為38.4%。3、自某種銅溶液測得9個銅含量的百分比的觀察值，算得樣本均值為8.3，標(biāo)準(zhǔn)差為0.025，設(shè)樣本來自正態(tài)總體N(m, s2)，m，s2未知。試依據(jù)這一樣本取顯著性水平a=0.01檢驗H0：m ³ 8.42，H1：m < 8.42。解：設(shè)H0：m ³ 8.42，H1：m < 8.42這是s2未知關(guān)于m 的左邊檢驗，檢驗統(tǒng)計量為： ，查表得：當(dāng)H0為真時，拒絕域為：又由題知： 故應(yīng)拒絕H0，即認(rèn)為m < 8.42。4、檢驗假設(shè)：，：解：這是未知關(guān)于的雙邊檢驗檢驗統(tǒng)計量為：在，拒絕域為：又由題知： 8.34，72.64 接受，即可認(rèn)為某地區(qū)成年男子的平均體重為72.64。5、檢驗假設(shè)：，：