高等數(shù)學(xué)：第七章向量代數(shù)(5)

1、第三節(jié)、數(shù)量積第三節(jié)、數(shù)量積;向量積向量積; cos|sFW (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角)啟示啟示 cos|baba (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)實(shí)例實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.定義定義一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的

2、乘積乘積. .A: 關(guān)于數(shù)量積的說明：關(guān)于數(shù)量積的說明：均均為為非非零零向向量量其其中中ba,0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 此時(shí)向量此時(shí)向量a與本身平行與本身平行,所所以夾角為以夾角為0B: 數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(

3、baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式C: 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為D: 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式

4、解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 證證cacbbca )()()()(cacbcbca ()b c a ca c 0 cacbbca )()(此時(shí)此時(shí)(a .c)是是個(gè)數(shù)個(gè)數(shù),所以運(yùn)所以運(yùn)算時(shí)可以當(dāng)算時(shí)可以當(dāng)常數(shù)提出來常數(shù)提出來|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP與與F所所決決定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.實(shí)例實(shí)例二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積LFPQO 這從圖形這從圖形上反應(yīng)的上反應(yīng)的結(jié)果就

5、是結(jié)果就是:若此時(shí)的若此時(shí)的力矩力矩M是是垂直于垂直于OPF平面平面的的向向量量a與與b的的向向量量積積為為 bac sin|bac 定義定義關(guān)于向量積的說明：關(guān)于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.abbac A: 向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa )2(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )1(0sin . 0sin| baba證證ba/

6、ba/或或0 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式B: 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式C: 向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示*zyxzyxbbbaaakjiba 三階行列數(shù)運(yùn)算法則三階行列數(shù)運(yùn)算法則*111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133

7、112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa例例 3 3 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kjABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD這里省略了一這里省略了一步步,請(qǐng)自

8、己演請(qǐng)自己演算算AC與與AB的的向量積向量積例例 5 5 設(shè)向量設(shè)向量pnm,兩兩垂直，符合右手規(guī)則，且兩兩垂直，符合右手規(guī)則，且4| m，2| n，3| p，計(jì)算，計(jì)算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向，向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)向量）小結(jié)小結(jié)思考題思考題已已知知向向量量0 a，0 b，證證明明2222)(|bababa .思考題解答思考題解答)(sin|,2222bababa )(c

9、os1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 第四節(jié)第四節(jié):平面及方程平面及方程1: 在空間解析幾何中在空間解析幾何中,將任何的曲面及曲線都看將任何的曲面及曲線都看作是點(diǎn)的幾何軌跡作是點(diǎn)的幾何軌跡那么對(duì)應(yīng)一個(gè)曲面那么對(duì)應(yīng)一個(gè)曲面S,若可若可以建立一個(gè)的三元方程以建立一個(gè)的三元方程2. 那么對(duì)應(yīng)曲面上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程那么對(duì)應(yīng)曲面上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程;)1(0),( zyxFA:曲面方程曲面方程一、點(diǎn)的軌跡一、點(diǎn)的軌跡,方程的概念方程的概念3. 不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不能滿足方程不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不能滿足方程;若滿足以上條件若滿足以上條件,

10、則稱則稱(1)是曲面是曲面S的方程的方程,對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的S稱作稱作(1)的圖形的圖形1: 對(duì)于于空間的兩個(gè)曲面方程對(duì)于于空間的兩個(gè)曲面方程空間的曲線方程通常可以看作是兩個(gè)曲面的交線空間的曲線方程通?？梢钥醋魇莾蓚€(gè)曲面的交線,那么也就是說那么也就是說,空間的曲線方程可以用兩個(gè)平面的空間的曲線方程可以用兩個(gè)平面的交線來表示交線來表示0),(;0),( zyxGzyxF及及所確立的幾何圖形所確立的幾何圖形,我們稱作是一條空間我們稱作是一條空間中的曲線中的曲線;(2)被稱作是空間曲線的方程被稱作是空間曲線的方程.當(dāng)同時(shí)滿足當(dāng)同時(shí)滿足;B: 曲線方程曲線方程)2(.0),(;0),( zyxGzyxFxy

11、zo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM二、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的點(diǎn)法式方程n,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，點(diǎn)都不滿足上方程，上方

12、程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 已知點(diǎn)已知點(diǎn)).,(000zyx例例 1 1 求過三點(diǎn)求過三點(diǎn))4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx例例 2 2 求過點(diǎn)求過點(diǎn))1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1, 1, 11 n12, 2, 32

13、 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解由前文的推導(dǎo)由前文的推導(dǎo),請(qǐng)注意看看這請(qǐng)注意看看這里里x,y,z的系數(shù)的系數(shù)可以看作什么可以看作什么?由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 三、平面的一般方程三、平面的一般方程因此因此,若是給定一個(gè)若是給定一個(gè)平面方程平面方程,那么我們那么我們可以分別由可以分別由x,y,z的的系數(shù)推斷出該平

14、面系數(shù)推斷出該平面法向量的方向法向量的方向A: 平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.0ByCZ 0ByCZD 0CZD此時(shí)法向此時(shí)法向量為量為n=(0,B,C)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):對(duì)于兩個(gè)向量對(duì)于兩個(gè)向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若若a,b平平行則對(duì)應(yīng)

15、分量應(yīng)該成比行則對(duì)應(yīng)分量應(yīng)該成比例例.例例 3 3 設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn)設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn))2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知, 0 D由由平平面面過過點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方

16、程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距B: 平面的截距式方程平面的截距式方程例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個(gè)個(gè)單單位位的的平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已

17、知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 四、兩平面的夾角四、兩平面的夾角

18、按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式A: 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA B: 兩平面位置特征兩平面位置特征例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩

19、平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.例例7 7 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一點(diǎn)點(diǎn)，求求0P到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解平行于法平行于法向向

20、n n的單位的單位向量向量 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 點(diǎn)到平面距離公式點(diǎn)到平面距離公式平面的方程平面的方程（記住平面的幾種特殊位置的方程）（記住平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程.一般方程一般方程.截距式方程

21、截距式方程. （注意兩平面的（注意兩平面的位置位置特征）特征）小結(jié)小結(jié)思考題思考題 若若平平面面02 zkyx與與平平面面032 zyx的的夾夾角角為為4 ，求求? k思考題解答思考題解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k第五節(jié)第五節(jié): : 空間直線及其方程空間直線及其方程xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程xyzo方向向量的定

22、義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程這個(gè)是向量這個(gè)是向量s s的方向的方向, ,也稱也稱做直線的方向做直線的方向數(shù)數(shù)pzznyymxx000 直線的點(diǎn)向式直線的點(diǎn)向式(對(duì)稱對(duì)稱式式)方程方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱為方向向量的余弦稱為直線的直線的方向余弦方

23、向余弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程例例1 1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn)),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)),2, 0 , 1( 因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx解解因因?yàn)闉橹敝本€線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所

24、求直線方程所求直線方程.440322 zyx請(qǐng)注意:這里的0在分母上,不能按照我們通常的除法理解,這里只是代表向量方向定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11

25、s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 3 3 求過點(diǎn)求過點(diǎn))5, 2, 3( 且與兩平面且與兩平面34 zx和和152 zyx的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程.解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為,pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程例例 4 4 求過點(diǎn)求過點(diǎn))3 , 1 , 2(M且與直線且與直線12131 zyx垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程.解解先作一過點(diǎn)先作一過點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直