超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)的確定

1、第5章 力 法5.1 超靜定結(jié)構(gòu)的概念和超靜定次數(shù)的確定1. 超靜定結(jié)構(gòu)的概念前面討論的是靜定結(jié)構(gòu)，從本章開始我們討論超靜定結(jié)構(gòu)的受力情況。關(guān)于結(jié)構(gòu)的靜定性可以從兩個方面來定義從幾何組成的角度來定義靜定結(jié)構(gòu)就是沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系；從受力的角度來定義，靜定結(jié)構(gòu)就是只用靜力平衡方程就能求出全部反力和內(nèi)力的結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)在，我們要討論的是超靜定結(jié)構(gòu)。它同樣可以從以上兩個方面來定義，從幾何組成的角度來定義，超靜定結(jié)構(gòu)就是具有多余聯(lián)系的幾何不變體系；從受力的角度來定義，超靜定結(jié)構(gòu)就是只用靜力平衡方程不能求出全部的反力或內(nèi)力的結(jié)構(gòu)。如圖5.1(a)所示的簡支梁是靜定的，當跨度增加時，其內(nèi)力和變形都將迅速

2、增加。為減少梁的內(nèi)力和變形，在梁的中部增加一個支座，如圖5.1(b)所示，從幾何組成的角度分析，它就變成具有一個多余聯(lián)系的結(jié)構(gòu)。也正是由于這個多余聯(lián)系的存在，使我們只用靜力平衡方程就不能求出全部4個約束反力Fax、Fay、Fby、Fcy和全部內(nèi)力。具有多余約束、僅用靜力平衡條件不能求出全部支座反力或內(nèi)力的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。圖5.1(b)和圖5.2所示的連續(xù)梁和剛架都是超靜定結(jié)構(gòu)。圖5.3給出了工程中常見的幾種超靜定梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)和排架。本章討論如何用力法計算這種類型的結(jié)構(gòu)。 圖5.1 圖5.2 圖5.32. 超靜定次數(shù)的確定力法是解超靜定結(jié)構(gòu)最基本的方法。用力法求解時，首先要確

3、定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。通常將多余聯(lián)系的數(shù)目或多余未知力的數(shù)目稱為超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。如果一個超靜定結(jié)構(gòu)在去掉n個聯(lián)系后變成靜定結(jié)構(gòu)，那么，這個結(jié)構(gòu)就是n次超靜定。顯然，我們可用去掉多余聯(lián)系使原來的超靜定結(jié)構(gòu)(以后稱原結(jié)構(gòu))變成靜定結(jié)構(gòu)的方法來確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。去掉多余聯(lián)系的方式，通常有以下幾種：(1)去掉支座處的一根支桿或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個聯(lián)系。如圖5.4所示結(jié)構(gòu)就是一次超靜定結(jié)構(gòu)。圖中原結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系去掉后用未知力x1代替。圖5.4(2)去掉一個單鉸，相當于去掉兩個聯(lián)系(圖5.5)圖5.5(3)把剛性聯(lián)結(jié)改成單鉸聯(lián)結(jié)，相當于去掉一個聯(lián)系(圖5.6)。圖5.6(4)在剛性聯(lián)結(jié)處

4、切斷，相當于去掉三個聯(lián)系(圖5.7)。應用上述去掉多余聯(lián)系的基本方式，可以確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。應該指出，同一個超靜定結(jié)構(gòu)，可以采用不同方式去掉多余聯(lián)系，如圖5.8(a)可以有三種不同的去約束方法，分別如圖5.8(b)、(c)、(d)所示。無論采用何種方式，原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)都是相同的。所以說去約束的方式不是惟一的。這里面所說的去掉“多余聯(lián)系”(或“多余約束”)，是以保證結(jié)構(gòu)是幾何不變體系為前提的。如圖5.9(a)所示中的水平約束就不能去掉，因為它是使這個結(jié)構(gòu)保持幾何不變的“必要約束”(或“必要聯(lián)系”)。如果去掉水平鏈桿(圖5.9b)，則原體系就變成幾何可變了。圖5.7圖5.8圖5.9如圖5.

5、10(a)所示的多跨多層剛架，在將每一個封閉框格的橫梁切斷，共去掉3×4=12個多余聯(lián)系后，變成為如圖5.10(b)所示的靜定結(jié)構(gòu)，所以它是12次超靜定的結(jié)構(gòu)。如圖5.10(c)所示剛架，在將頂部的復鉸(相當于兩個單鉸)去掉后，變成為如圖5.10(d)所示的靜定結(jié)構(gòu)，所以它是4次超靜定的結(jié)構(gòu)。圖5.105.2 力法原理和力法方程1. 力法基本原理力法是計算超靜定結(jié)構(gòu)最基本的方法。下面通過一個簡單的例子來說明力法的基本 原理。如圖5.11(a)所示為一單跨超靜定梁，它是具有一個多余聯(lián)系的超靜定結(jié)構(gòu)。如果把支座B去掉，在去掉多余聯(lián)系B支座處加上多余未知力X1，原結(jié)構(gòu)就變成靜定結(jié)構(gòu)，說明它

6、是一次超靜定結(jié)構(gòu)。此時梁上(圖5.11b)作用有均布荷載q和集中力X1，這種在去掉多余聯(lián)系后所得到的靜定結(jié)構(gòu)，稱為原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)，代替多余聯(lián)系的未知力X1稱為多余未知力，如果能設法求出符合實際受力情況的X1，也就是支座B處的真實反力，那么，基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余力X1共同作用下的內(nèi)力和變形就與原結(jié)構(gòu)在荷載作用下的情況完全一樣，從而將超靜定結(jié)構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)問題。如圖5.11(b)所示的基本結(jié)構(gòu)上的B點，其位移應與原結(jié)構(gòu)相同，即B=0。這就是原結(jié)構(gòu)與基本結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移相同的位移條件?；窘Y(jié)構(gòu)上同時作用有荷載和多余未知力X1，稱其為基本體系。我們可以把基本體系分解成分別由荷載和多余未知力單獨作

7、用在基本結(jié)構(gòu)上的這兩種情況的疊加(圖5.11(c)和(e)的疊加)。用表示基本結(jié)構(gòu)在X1單獨作用下B點沿X1方向的位移(圖5.11(c)，用表示當X1=1時B點沿X1方向的位移，所以有11=。這里時物理意義為：基本結(jié)構(gòu)上，由于=1的作用，在X1的作用點，沿X1方向產(chǎn)生的位移。用1p表示基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下B點沿X1方向的位移。根據(jù)迭加原理，B點的位移可視為基本結(jié)構(gòu)上，上述兩種位移之和，即 有    (5-1)上式是含有多余未知為X1的位移方程，稱為力法方程。式中，稱作系數(shù)；稱為自由項，它們都表示靜定結(jié)構(gòu)在已知荷載作用下的位移。利用力法方程求出X1后就完成了把超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成

8、靜定結(jié)構(gòu)來計算的過程。上述計算超靜定結(jié)構(gòu)的方法稱為力法。它的基本特點就是以多余未知力作為基本未知量，根據(jù)所去掉的多余聯(lián)系處相應的位移條件，建立關(guān)于多余未知力的方程或方程組，我們稱這樣的方程(或方程組)為力法典型方程，簡稱力法方程。解此方程或方程組即可求出多余未知力。下面計算系數(shù)和自由項把和代入5-1式得 ()計算結(jié)果X1為正值，表示開始時假設的X1方向是正確的(向上)。多余未知力X1求出后，其內(nèi)力可按靜定結(jié)構(gòu)的方法進行分析，也可利用迭加法計算。即將X1=1單獨作用下的彎矩圖M1乘以X1后與荷載單獨作用下的彎矩圖MP迭加。用公式可表示為通過這個例子，可以看出力法的基本思路是：去掉多余約束，以多余

9、未知力代替，再根據(jù)原結(jié)構(gòu)的位移條件建立力法方程，并解出多余未知力。這樣就把超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題了。由于去掉多余聯(lián)系的方式不同，同一個超靜定問題可能選擇幾個不同的基本結(jié)構(gòu)。 圖5.12(a)就是圖5.11(a)所示的單跨超靜定梁的又一基本結(jié)構(gòu)，其多余未知力X1是原結(jié)構(gòu)固定端支座的反力偶。讀者可根據(jù)位移條件列出力法方程，并按圖5.12所示的圖和Mp圖，求出系數(shù)和自由項，解出X1并作出M圖，如圖5.12(f)所示。應該指出的是：不論選用哪種基本結(jié)構(gòu)，力法方程的形式都是不變的，但是力法方程中的系數(shù)和自由項的物理意義與數(shù)值的大小可能不同。 圖5.11 圖5.122. 力法典型方程以上我們以一次超靜定

10、梁為例，說明了力法原理，下面我們討論多次超靜定的情況。如圖5.13(a)所示的剛架為二次超靜定結(jié)構(gòu)。下面以B點支座的水平和豎直方向反力X1、X2為多余未知力，確定基本結(jié)構(gòu)，如圖5.13(b)所示。按上述力法原理，基本結(jié)構(gòu)在給定荷載和多余未知力X1、X2共同作用下，其內(nèi)力和變形應等同于原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。原結(jié)構(gòu)在鉸支座B點處沿多余力X1和X2方向的位移(或稱為基本結(jié)構(gòu)上與X1和X2相應的位移)都應為零，即 (5-2)式(5-2)就是求解多余未知力X1和X2的位移條件。圖5.13如圖5.14所示，表示基本結(jié)構(gòu)上多余未知力X1的作用點沿其作用方向，由于荷載單獨作用時所產(chǎn)生的位移；表示基本結(jié)構(gòu)上多余未

11、知力X2的作用點沿其作用方向，由于荷載單獨作用時所產(chǎn)生的位移；表示基本結(jié)構(gòu)上Xi的作用點沿其作用方向，由于=1單獨作用時所產(chǎn)生的位移。根據(jù)迭加原理，式(5-2)可寫成以下形式 (5-3)圖5.14式(5-3)就是為求解多余未知力X1和X2所需要建立的力法方程。其物理意義是：在基本結(jié)構(gòu)上，由于全部的多余未知力和已知荷載的共同作用，在去掉多余聯(lián)系處的位移應與原結(jié)構(gòu)中相應的位移相等。在本例中等于零。在計算時，我們首先要求得式(5-3中的系數(shù)和自由項，然后代入式(5-3)，即可求出X1和X2，剩下的問題就是靜定結(jié)構(gòu)的計算問題了。如圖5.15(a)所示為一3次超靜定剛架，我們將原結(jié)構(gòu)的橫梁在中間處切開，

12、取這樣切為兩半的結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，如圖5.15(b)所示。由于原結(jié)構(gòu)的實際變形是處處連續(xù)的，顯然，同一截面的兩側(cè)不可能有相對轉(zhuǎn)動或移動。因此，在荷載和各多余力的共同作用下，基本結(jié)構(gòu)切口兩側(cè)的截面，沿各多余力指向的相對位移都應為零，即： (5-4)圖5.15式(5-4)就是求解多余未知力X1、X2和X3的位移條件。根據(jù)迭加原理，式(5-4)可改 寫成這就是求解多余未知力X1、X2和X3所需要建立的力法方程。因為X1、X2和X3都是成對的未知力(或力偶)，所以式(5-5)中與它們相應的及應理解為相對位移(相對移動或相對轉(zhuǎn)動)。3. 力法一般方程的建立用同樣的分析方法，我們可以建立力法的一般方程。對

13、于n次超靜定的結(jié)構(gòu)，用力法計算時，可去掉n個多余聯(lián)系，得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，在去掉的多余聯(lián)系處代以n個多余未知力。相應地也就有n個已知的位移條件。據(jù)此可以建立n個關(guān)于多余未知力的方程 (5-6)當與多余力相應的位移都等于零，即時，則式(5-6)即變?yōu)?(5-7)式(5-6)或(5-7)就是力法方程的一般形式。通常稱為力法典型方程。在以上的方程組中，位于從左上方至右下方的一條主對角線上的系數(shù)稱為主系數(shù)，主對角線兩側(cè)的其他系數(shù)稱為副系數(shù)，最后一項稱為自由項。所有系數(shù)和自由項都是基本結(jié)構(gòu)上與某一多余未知力相應的位移，并規(guī)定以與所設多余未知力方向一致為正。由于主系數(shù)代表由于單位力的作用，在其本身方向所引

14、起的位移，它總是與該單位力的方向一致，故總是正的。而副系數(shù)則可能為正、為負或為零。根據(jù)位移互等定理，有，它表明，力法方程中位于對角線兩側(cè)對稱位置的兩個副系數(shù)是相等的。力法方程在組成上具有一定的規(guī)律，其副系數(shù)具有互等的關(guān)系。無論是哪種n次超靜定結(jié)構(gòu)，也無論其靜定的基本結(jié)構(gòu)如何選取，只要超靜定次數(shù)是一樣的，則方程的形式和組成就完全相同。因為基本結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)，所以力法方程和式(5-6)及(5-7)中的系數(shù)和自由項都可按靜定結(jié)構(gòu)求位移的方法求得。對于梁和剛架，可按下列公式或圖乘法計算. (5-8)式中，、和MP分別代表在Xi=1、Xj=1和荷載單獨作用下基本結(jié)構(gòu)中的彎矩。從力法方程中解出多余力Xi(

15、i=1,2,n)后，即可按照靜定結(jié)構(gòu)的分析方法求原結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力。或按下述疊加公式求出彎矩 (5-9)再根據(jù)平衡條件即可求其剪力和軸力。根據(jù)以上所述，用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟可歸納如下：(1)去掉結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系得靜定的基本結(jié)構(gòu)，并以多余未知力代替相應的多余聯(lián)系的作用。在選取基本結(jié)構(gòu)的形式時，以使計算盡可能簡單為原則。(2)根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余力和荷載共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處的位移應與原結(jié)構(gòu)相應的位移相同的條件，建立力法方程。(3)作出基本結(jié)構(gòu)的單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖(或?qū)懗鰞?nèi)力表達式)，按照求位移的方法計算方程中的系數(shù)和自由項。(4)將計算所得的系數(shù)和自由項代入力法方程，求解各多余未知力

16、。(5)求出多余未知力后，按分析靜定結(jié)構(gòu)的方法，繪出原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖，即最后內(nèi)力圖。最后內(nèi)力圖也可以利用已作出的基本結(jié)構(gòu)的單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖按公式(5-9) 求得。5.5.3 用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)1. 梁和剛架【例5-1】試分析如圖5.16，(a)所示單跨超靜定梁。設EI為常數(shù)。解：此梁具有3個多余聯(lián)系，為3次超靜定。取基本結(jié)構(gòu)及3個多余力，如圖5.16(b)所示。根據(jù)支座B處位移為零的條件，可以建立以下力法方程其中，X1和X3分別代表支座B處的豎向反力和水平反力，X2代表支座B處的反力偶。作基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖和荷載彎矩圖，如圖5.16(c)、(d)、(e)、(f)所示。利用圖乘法求得力法

17、方程的各系數(shù)和自由項為圖5.16 關(guān)于的計算分兩種情況：不考慮軸力對變形的影響時，；考慮軸力對變形的影響時，。將以上各值代入力法方程，而在前兩式中消去后，得 解以上方程組求得 由力法方程的第三式求解X3時，可以看出，按不同的假設有不同的結(jié)果。若不考慮軸力對變形的影響(33=0)，則第三式變?yōu)樗訶3為不定值。按此假設，不能利用位移條件求出軸力。如考慮軸力對變形的影響，則，而仍為零，所以X3的值為零。用迭加公式計算出兩端的最后彎矩，畫出最后彎矩圖，如圖5.16(g)所示?！纠?-2】試作如圖5.17(a)所示梁的彎矩圖。設B端彈簧支座的剛度為k，EI為常數(shù)。解：此梁是一次超靜定，去掉支座B的彈簧

18、聯(lián)系，代以多余力X1。得圖5.17(b)所示的基本結(jié)構(gòu)。由于B處為彈簧支座，在荷載作用下彈簧被壓縮，B處向下移動 (負號表示移動方向與多余力X1的方向相反)，據(jù)此建立如下力法方程。 或改寫成 圖5.17作基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖和荷載彎矩圖，利用圖乘法可求得 將以上各值代入力法方程解得: 由上式可以看出，由于B端為彈簧支座，多余力X1的值不僅與彈簧剛度k值有關(guān)，而且與梁AB的彎曲剛度EI有關(guān)。當k=時，相當于B端為剛性支承情形，此時。當k=0時，相當B端為完全柔性支承(即自由端)情形，此時故實際上B端多余力(即B支座處豎向反力)在和之間。求得X1后，根據(jù)作出最后彎矩圖，如圖5.17，c所示。 【例

19、5-3】用力法計算如圖5.18(a)所示剛架。解：剛架是二次超靜定結(jié)構(gòu)，基本結(jié)構(gòu)如圖5.18(b)所示。力法方程為圖5.18作、和MP圖，用圖乘法計算系數(shù)和自由項，得 ； 代入力法方程，解得 ；M圖如圖5.18(f)所示，讀者按M圖作出Fs圖。【例5-4】試作如圖5.19(a)所示剛架的彎矩圖。設EI為常數(shù)。解：此剛架是三次超靜定，去掉支座B處的三個多余聯(lián)系代以多余力X1、X2和X3，得如圖5.19(b)所示的基本結(jié)構(gòu)。根據(jù)原結(jié)構(gòu)在支座B處不可能產(chǎn)生位移的條件，建立力法方程如下。分別繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖和荷載彎矩圖，如圖5.19(c)、(d)、(e)和(f)所示。用圖乘法求得各系數(shù)和自由項

20、如下圖5.19 將系數(shù)和自由項代入力法方程，化簡后得解此方程組得：X1=9 kN；X2=6.3 kN；X3=30.6 kN·m按迭加公式計算得最后彎矩圖如圖5.20。從以上例子可以看出，在荷載作用下，多余力和內(nèi)力的大小都只與各桿彎曲剛度的相對值有關(guān)，而與其絕對值無關(guān)。對于同一材料構(gòu)成的結(jié)構(gòu)(即梁、柱的E值相同)，材料的彈性模量E對多余力和內(nèi)力的大小也無影響。圖5.202. 超靜定桁架和排架用力法計算超靜定桁架，在只承受結(jié)點荷載時，由于在桁架的桿件中只產(chǎn)生軸力，故力法方程中的系數(shù)和自由項的計算公式為 (5-10)桁架各桿的最后內(nèi)力可按下式計算 【例5-5】試分析如圖5.21(a)所示桁

21、架。設各桿EA為常數(shù)。解：此桁架是一次超靜定。切斷BC桿代以多余力X1，得如圖5.21(b)所示的基本結(jié)構(gòu)。根據(jù)原結(jié)構(gòu)切口兩側(cè)截面沿桿軸方向的相對線位移為零的條件，建立力法方程圖5.21分別求出基本結(jié)構(gòu)在單位力和荷載單獨作用下各桿的內(nèi)力和FNp(圖5.21(c)、(d)，即可按式(5-10)求得系數(shù)和自由項代入力法方程求得 各桿軸力按下式計算 最后結(jié)果示于圖5.21(e)中?！纠?-6】用力法計算如圖5.22(a)所示桁架各桿軸力。設各桿EA為常數(shù)。分析：(1)本題桁架和荷載都是對稱的，宜取對稱的基本體系。取對稱基本體系時，可計算半個桁架的桿件。(2)計算和時，只考慮軸向變形的影響。計算半個桁

22、架的變形時，EF桿長度可取其一半長度。最后結(jié)果為半個桁架桿件變形總和的兩倍。因取基本體系時作為多余約束的鏈桿已切斷，基本結(jié)構(gòu)在X1=1作用下，中應包含切斷桿的變形影響；在荷載作用下切斷桿軸力為零，中切斷桿的變形影響為零。解：(1)切斷對稱軸上的CD鏈桿，代以多余未知力X1，得到基本體系和基本未知量，如圖5.22(b)所示。(2)列力法方程：。(3)計算，并求、。，圖如圖5.22(c)、(d)所示。(4)解方程： (5)利用疊加公式計算機軸力。各桿軸力結(jié)果見表5.1及圖5.22(e) 所示。具體計算可列表進行，見表5.1。桿件EAl (m)FNP(kN)ACEA4.24-56.5700

23、0-56.57AEEA3.00+40.00000+40.00CEEA3.00+70.003/4157.501.69+35CFEA5.00-50.00312.507.81+8.34EFEA2.00+80.0011602+33.33CDEA2.0001 2-46.67 63013.5 圖5.22【例5-7】如圖5.23所示為兩跨廠房排架的計算簡圖。求在圖示吊車荷載作用下的內(nèi)力。計算數(shù)據(jù)如下。1)截面慣性矩 左柱：上段IS1=10.1×104 cm4，下段IX1=28.6×104cm4 右柱及中柱：上段IS2=16.1×104 cm4，下段

24、IX2=81.8×104cm4圖5.23(2)右跨吊車荷載豎向荷載PH=108kN，PE=43.9kN。由于PH、PE與下柱軸線有偏心距e=0.4m，因此在H、E點的力偶荷載為MH=PHe=43.2kN · m；ME=PEe=17.6kN · m。解：橫梁FG和DE是兩端鉸接的桿件，在吊車荷載作用下橫梁起鏈桿作用，只受軸力。此排架是兩次超靜定結(jié)構(gòu)。取鏈桿FG和DE的軸力X1和X2為多余未知力。截斷兩個鏈桿的軸向約束，在切口處加上軸力X1和X2，得出基本體系如圖5.24(b)所示。圖5.24這里需要說明兩點：第一，多余未知力X

25、1和X2都是廣義力，每個廣義力是由數(shù)值相等、方向相反的一對力組成的。第二，通常說的切斷一根桿件，是指在切口處把與軸力、剪力和彎矩相應的三個約束全部切斷。這里說的切斷桿件中的軸向約束，即指切斷與軸力相應的那一個約束，另外兩個約束仍然保留。如圖5.24(b)所示為桿FG在切口處的詳細情形。力法基本方程為這里和分別表示與軸力X1和X2相對應的廣義位移，即切口處兩個截面的軸向相對位移。因此，這里力法基本方程所表示的變形條件為：切口處的兩個截面沿軸向保持接觸，即沿軸向的相對位移為零。作基本結(jié)構(gòu)的MP、圖(圖5.25(a)、(b)、(c)，由此求得自由項和系數(shù)如下(圖5.24(a)中小圓圈內(nèi)的數(shù)字是各桿E

26、I的相對值)力法方程為解方程得在排架計算中，柱是階梯形變成面桿件，柱底為固定端，柱頂與屋架為鉸接。通常忽略屋架軸向變形的影響。利用迭加公式作M圖，如圖5.25(d)所示。圖5.253. 超靜定組合結(jié)構(gòu)桁架是鏈桿體系，計算其位移時只考慮軸向力的影響。組合結(jié)構(gòu)中既有鏈桿又有梁式桿，計算位移時，對鏈桿只考慮軸力的影響，而對梁式桿通常可忽略軸力和剪力的影響，只考慮彎矩的影響?！纠?-8】如圖5.26(a)所示為一次超靜定的組合結(jié)構(gòu)，求在圖示荷載作用下的內(nèi)力。各桿的剛度給定如下。桿AD為梁式桿： EI=1.4×104kN · m2 EA=1.99×106

27、kN桿AC和CD為鏈桿： EA=2.56×105kN桿BC為鏈桿： EA=2.20×105kN解：(1)求基本體系和力法方程切斷多余鏈桿BC，在切口處代以未知軸力X1，得到如圖5.26(b)所示基本體系?；倔w系由于荷載和未知力在X1方向的位移應當為零，亦即切口處兩截面的相對位移應為零。由此得力法方程：圖5.26(2)求系數(shù)和自由項。在基本結(jié)構(gòu)切口處加單位力X1=1。各桿軸力可由結(jié)點法求得，如圖5.27(a)所示。桿AD還有彎矩，M1圖如圖5.27(b)所示。基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下，各桿沒有軸力，只有桿AD有彎矩，由集中荷載和均布荷載產(chǎn)生的兩個MP圖分別如圖5.27(c)和(

28、d)所示。(3)求多余未知力(4)求內(nèi)力內(nèi)力疊加公式為各桿軸力及橫梁AD彎矩圖見圖5.28(a)、(b)所示。圖5.27(5)討論由圖5.28(b)可以看出，橫梁AD在中點B 受到下部桁架的支承反力為104.5kN，這時橫梁最大彎矩為79.9kN如果沒有下部桁架的支承，則橫梁AD為一簡支梁，其彎矩圖如圖5.29(a)所示，其最大彎矩為148.3kN·m?？梢娪捎阼旒艿闹С?，橫梁的最大彎矩減少了46%。還需指出，這個超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布與橫梁和桁架的相對剛度有關(guān)。如果下部鏈桿的截面很小，則橫梁的M圖接近于簡支梁的M圖(圖5.29(a)。如果下部鏈桿的截面很大，則橫梁的M圖接近兩跨連續(xù)梁

29、的M圖(圖5.29(b)。 圖5.28 圖5.29【例5-9】用力法計算如圖5.30(a)所示組合結(jié)構(gòu)的鏈桿軸力，作M圖，其中。并討論當EA0和EA時鏈桿軸力及M圖的變化。說明：(1)組合結(jié)構(gòu)是由梁式桿和鏈桿組成的，用力法計算時，通常切斷鏈桿作為基本體系，以鏈桿軸力為基本未知量。(2)計算系數(shù)和自由項時，注意系數(shù)中應包含切斷鏈桿的軸向變形影響，因鏈桿已切斷，自由項中的鏈桿軸向變形為零。解：這是一次超靜定組合結(jié)構(gòu)，取基本體系及相應的基本未知量，如圖5.30(b)所示。力法方程為 計算，如圖5.30(c)、(d)；計算。圖5.30解方程當時，。(5)作M圖，如圖5.30(e)所示。(6)校核。校核

30、公式： (請同學自己完成。注意：1的計算公式中應含有鏈桿的軸向變形項)。(7)討論。由可以看出。當，由得到M圖，如圖5.30(f)所示。這時鏈桿AB相當于一剛性桿，結(jié)構(gòu)可以看成是B端為固定鉸支座的剛架，如圖5.30(h)所示。5.4 對稱性的利用對于超靜定結(jié)構(gòu)來說，對稱結(jié)構(gòu)是幾何形狀和剛度分布都對稱的結(jié)構(gòu)。而對于靜定結(jié)構(gòu)來說，不論剛度分布是否對稱，只要幾何形狀對稱就是對稱結(jié)構(gòu)。我們用力法分析超靜定結(jié)構(gòu)時，力法方程是多余未知力的線性代數(shù)方程組，需要計算方程的系數(shù)和解聯(lián)立方程。其結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)越高，方程數(shù)量越多，計算工作量就越大。而主要工作量的大小取決于典型方程，并且需要計算大量的系數(shù)和自由項并

31、求解該線性方程組。我們利用對稱性來計算超靜定結(jié)構(gòu)，其目的就是要簡化計算過程。要簡化計算必須從簡化典型方程著手。在典型方程中若能使一些系數(shù)和自由項等于零，則計算可得到一定程度的簡化。通過對典型方程中系數(shù)的物理意義的分析我們知道，主系數(shù)是恒為正數(shù)，因此只能從副系數(shù)、自由項和基本未知量這三個方面考慮。力法簡化的原則是：使盡可能多的副系數(shù)和自由項等于零。這樣不僅簡化了系數(shù)的計算工作，也簡化了聯(lián)立方程的求解工作。為達到這一目的，本節(jié)我們討論利用結(jié)構(gòu)的對稱、荷載的對稱和反對稱，來簡化計算。實際工程中很多結(jié)構(gòu)是對稱的，利用它的對稱性可簡化計算過程。1. 選取對稱的基本結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)如圖5.31(a)所示，它有

32、一個對稱軸。對稱包含兩方面的含義。(1)結(jié)構(gòu)的軸線形狀對稱，幾何形狀和支承情況對稱。(2)各桿的剛度(EI和EA等)對稱。取對稱的基本結(jié)構(gòu)如圖5.31(b)所示，此時，多余未知力有3對，它們是一對彎矩X1和一對軸力X2是正對稱的，還有一對剪力X3是反對稱的。所謂正對稱是指繞對稱軸折疊后其兩個力的大小、方向和作用線均重合；所謂反對稱是指繞對稱軸折疊后兩個力的大小、作用點相同，而方向相反，作用線重疊。圖5.31繪出基本結(jié)構(gòu)在各多余未知力單位力作用下的彎矩圖，如圖5.32所示?？梢钥闯?， 圖和圖是正對稱的，而圖是反對稱的。由于正對稱和反對稱的圖形圖乘時恰 好正圖5.32負抵消，使結(jié)果為零，所以可得典

33、型方程中的副系數(shù)。于是，典型方程便簡化為由此可見，典型方程已分為兩組，一組只含正對稱的多余未知力X1和X2，而另一組只含反對稱的多余未知力X3。2選擇對稱或反對稱的荷載(荷載分組)如果作用在對稱結(jié)構(gòu)上的荷載也是正對稱的(圖5.33(a)，則MP圖也是正對稱的 (圖5.33b)，于是有。由典型方程的第3式可知反對稱的多余未知力X3=0，因此只須計算正對稱的多余未知力X1和X2。最后的彎矩圖為，它也將是正對稱的，其形狀如圖5.33(c)所示。由此可推知：對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)上所有的反力、內(nèi)力及位移(圖5.33(a)中虛線所示)都是正對稱的。同時必須注意，此時剪力圖是反對稱的，這是由于剪

34、力的正負號規(guī)定所致，而剪力的實際方向則是正對稱的。  (a) (b) (c)圖5.33如果作用在結(jié)構(gòu)上的荷載是反對稱的，如圖5.34(a)所示，作出MP圖如圖5.34(b)所示，則同理可證，此時正對稱的多余未知力X1=X2=0，只剩下反對稱的多余未知力X3。最后彎矩圖為，它也是反對稱的，如圖5.34(c)所示，且此時，結(jié)構(gòu)上所有反力、內(nèi)力和位移都是反對稱的。但必須注意，剪力圖是正對稱的，剪力的實際方向則是反對稱的。圖5.34通過前面的分析可得出如下結(jié)論：(1)對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，其內(nèi)力和位移都是正對稱的。(2)對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，其內(nèi)力和位移都是反對稱的。也就是說，對

35、稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，反對稱多余未知力必等于零；在反對稱荷載作用下，正對稱的多余未知力必等于零，只需計算反對稱多余未知力。【例5-10】求作如圖5.35(a)所示剛架在水平力P作用下的彎矩圖。解：荷載P可分解為正對稱荷載(圖5.35(b)和反對稱荷載(圖5.35(c)。圖5.35在正對稱荷載作用下(圖5.35b)，可以得出只有橫梁承受壓力P/2，而其他桿無內(nèi)力的結(jié)論。這是因為在計算剛架時通常忽略軸力對變形的影響，也就是忽略橫梁的壓縮變形。在這個條件下，上述內(nèi)力狀態(tài)不僅滿足了平衡條件，也同時滿足了變形條件，所以它就是真正的內(nèi)力狀態(tài)。因此，為了求如圖5.35(a)所示剛架的彎矩圖，只須求作如圖

36、5.35(c)所示中剛架在反對稱荷載作用下的彎矩圖即可。圖5.36在反對稱荷載作用下，基本體系如圖5.36(a)所示。切口截面的彎矩、軸力都是對稱的未知力，應為零；只有反對稱未知力X1存在?；窘Y(jié)構(gòu)在荷載和未知力方向的單位力作用下的彎矩圖，如圖5.36(b)、(c)所示。由此得代入力法方程，并設，得：剛架的彎矩圖如圖5.37(a)所示。圖5.37結(jié)合上例討論如下：彎矩圖隨橫梁與立柱剛度比值k而改變。(1)當橫梁剛度比立柱剛度小很多時，即k很小時，彎矩圖如圖5.37(b)所示，此時柱頂彎矩為零。(2)當橫梁剛度比立柱剛度大很多時，即k很大時，彎矩圖如圖5.37(d)所示，此時柱的彎矩零點趨于柱的

37、中點。(3)一般情況下，柱的彎矩圖有零點，此彎矩零點在柱上半部范圍內(nèi)變動，當k=3 時零點位置與柱中點已很接近(圖5.37(c)?！纠?-11】如圖5.38(a)所示為一對稱結(jié)構(gòu)，試討論怎樣選取對稱的基本體系進行簡化？在正對稱荷載和反對稱荷載分別作用下，討論怎樣選取半結(jié)構(gòu)計算。解：(1)選取對稱的基本體系如圖5.38(a)所示結(jié)構(gòu)，是三次超靜定的對稱結(jié)構(gòu)。在對稱軸上截斷中間鉸E和鏈桿CD，在鉸E上加上對稱的水平未知力X1和反對稱的豎向未知力X2，在CD切口F處加一對稱的水平未知力X3，得到一對稱基本體系和相應的基本未知量，如圖5.38(b)所示。圖5.38(a)原結(jié)構(gòu) (b)基本體系一 (c)

38、基本體系二；(d) 對稱荷載的半邊結(jié)構(gòu)；(e) 反反對稱荷載的半邊結(jié)構(gòu)也可以將固定支座A、B改成鉸支座，再截斷鏈桿CD，在鉸支座A、B上作用有對稱的未知力偶X1和反對稱的未知力偶X2，在鏈桿CD的切口上，加上一對稱的未知水平力X3，得到另一個對稱的基本體系和相應的基本未知量，如圖5.38(c)所示。(2)選取半邊結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、變形對稱的性質(zhì)，分析對稱軸上E點和F點的變形和內(nèi)力特點，如圖5.38(a)所示。剛架在對稱軸上鉸結(jié)點E可以有豎向位移和轉(zhuǎn)角，水平位移為零；相應的內(nèi)力情形為E點的豎向力、彎矩為零，水平力XE(X1)不等于零。鏈桿CD在對稱軸上的F點，可以有豎向位

39、移水平位移和轉(zhuǎn)角為零；相應的內(nèi)力情形為F點的豎向力為零，水平力XF(X3)和彎矩MF(X2)不等于零。注意，此時的彎矩X2是靜定的量，如鏈桿CD上無橫向荷載作用，則彎矩X2為零。因此，根據(jù)上述變形、內(nèi)力特點，在對稱軸上切開后，E點保留鉸結(jié)點，加一水平支桿；在F點為兩個平行水平支桿，得到對稱荷載作用下的半邊結(jié)構(gòu)，如圖5.38(d)所示。在反對稱荷載作用下，根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、變形反對稱的性質(zhì)，如圖5.38(a)所示剛架在對稱軸上E點和F點可以有水平位移和轉(zhuǎn)角，豎向位移為零；相應的內(nèi)力情形為E點和F點的水平力、彎矩為零，豎向力X1、X2不等于零。因此，在對稱軸上切開后，E點分別保留鉸結(jié)點，加一豎直

40、支桿，得到在反對稱荷載作用下的半邊結(jié)構(gòu)，如 圖5.38(e)所示。注意，此時的X2是靜定的量，如鏈桿CD上無橫向荷載作用時，在F點的豎向力X2為零。5.5 溫度變化和支座移動時超靜定結(jié)構(gòu)的計算超靜定結(jié)構(gòu)由于多余聯(lián)系的存在，在溫度改變、支座移動時，通常將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力，這是超靜定結(jié)構(gòu)的特性之一。用力法計算溫度變化和支座移動的超靜定結(jié)構(gòu)時，根據(jù)前述的力法原理，也需要用位移條件來建立力法典型方程，確定多余未知力。位移條件是指基本結(jié)構(gòu)在外在因素和多余未知力的共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處的位移應與原結(jié)構(gòu)的實際位移相同。顯然，這對于荷載以外的其他因素，如溫度變化、支座移動等也是適用的。下面分別介紹超靜定結(jié)

41、構(gòu)溫度變化和支座移動時的內(nèi)力計算方法。1. 溫度變化時超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算旭圖5.39(a)所示為三次超靜定結(jié)構(gòu)，設各桿外側(cè)溫度升高t1，內(nèi)側(cè)溫度升高t2，現(xiàn)在用力法計算其內(nèi)力。圖5.39去掉支座C處的3個多余聯(lián)系，代以多余力X1、X2和X3，得基本結(jié)構(gòu)如圖5.39(b)所示。設基本結(jié)構(gòu)的C點，由于溫度改變，沿X1、X2、和X3方向所產(chǎn)生的位移分別為 1t、2t和，3t它們可按下式計算(i=1,2,3) (a)若每一桿件沿其全長溫度改變相同，且截面尺寸不變，則上式可改寫為  (b)根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余力X1、X2和X3以及溫度改變的共同作用下，C點位移應與原結(jié)構(gòu)相同的條件，可以列出如下

42、的力法方程： (c)其中各系數(shù)的計算仍與以前所述相同，自由項則按式(a)或式(b)計算。由于基本結(jié)構(gòu)是靜定的，溫度的改變并不使其產(chǎn)生內(nèi)力。因此，由式(c)解出多余力X1、X2和X3后，按下式計算原結(jié)構(gòu)的彎矩 (d)再根據(jù)平衡條件即可求其剪力和軸力。【例5-12】試計算如圖5.40(a)所示剛架的內(nèi)力。設剛架各桿內(nèi)側(cè)溫度升高10，外側(cè)溫度無變化；各桿線膨脹系數(shù)為；EI和截面高度h均為常數(shù)。解：此剛架為一次超靜定結(jié)構(gòu)，取基本結(jié)構(gòu)如圖5.40(b)所示。力法方程為圖5.40繪出FN1和圖，分別如圖5.40(c)、(d)所示。求得系數(shù)和自由項如下代入力法方程，求得根據(jù)M=X1 即可作出最后彎矩圖，如圖

43、5.40，e所示。得出M圖后，則不難據(jù)此求出相應的FS圖和FN圖，在此不再贅述。由以上計算結(jié)果可以看出，超靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的內(nèi)力與各彎曲剛度EI的絕對值有關(guān)，這是與荷載作用下的情況有所不同的。2. 支座移動時超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動情況下的內(nèi)力計算，原則上與前述情況溫度變化的并無不同，惟一的區(qū)別在于力法方程中自由項的計算。如圖5.41(a)所示為三次超靜定剛架，設其支座A向右移動C1，向下移動C2，并按順時針方向轉(zhuǎn)動了角度。計算此剛架時，設取基本結(jié)構(gòu)如圖5.41(b)或圖5.41(c)所示，則力法方程為圖5.41對于如圖5.41(c)所示的基本結(jié)構(gòu)，方程中各系數(shù)的計算與

44、前述荷載作用的情況完全相同。自由項代表基本結(jié)構(gòu)由于支座A發(fā)生移動時在B端沿多余力Xi方向所產(chǎn)生的位移。按計算公式，得分別令Xi=1作用于基本結(jié)構(gòu)，求出反力如圖5.41(d)、(e)、(f)所示。代入上式得 將系數(shù)和自由項代入力法方程，可解得X1、X2和X3。圖5.42如果取如圖5.42所示的基本結(jié)構(gòu)，則力法方程為其中： 也就是說此時的基本結(jié)構(gòu)沒有支座移動?！纠?-13】如圖5.43(a)所示為單跨超靜定梁，設固定支座A處發(fā)生轉(zhuǎn)角，試求梁的支座反力和內(nèi)力。圖5.43解：設取基本結(jié)構(gòu)如圖5.43(b)所示的懸臂梁。根據(jù)原結(jié)構(gòu)支座B處豎向位移等于零的條件，列出力法方程繪出圖，如圖5.43(c)所示(

45、相應的反力也標在圖中)，由此可求得代入力法方程可求得所得結(jié)果為正值，表明多余力的作用方向與圖5.43(b)中所設的方向相同。根據(jù)作出最后彎矩圖如圖5.43(d)所示。梁的支座反力分別為( )如果我們選取基本結(jié)構(gòu)如圖5.43 e所示的簡支梁，則相應的力法方程就成為繪出圖并求出相應的反力(圖5.43(f)。由此可求得代入上述力法方程即得故據(jù)此作出的M圖仍如圖5.43(d)所示。由此可以看出，選取的基本結(jié)構(gòu)不同，相應的力法方程形式也不同，但最后內(nèi)力圖是相同的。5.6 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算和最后內(nèi)力圖的校核1. 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算在靜定結(jié)構(gòu)的位移計算中，根據(jù)虛功原理推導出計算位移的一般公式為對于超靜

46、定結(jié)構(gòu)，只要求出多余未知力，將多余未知力也當作荷載同時加在基本結(jié)構(gòu)上，則該靜定基本結(jié)構(gòu)在已知荷載、溫度變化、支座移動以及各多余力共同作用下的位移也就是原超靜定結(jié)構(gòu)的位移。這樣，計算超定結(jié)構(gòu)的位移問題通過基本結(jié)構(gòu)即轉(zhuǎn)化成計算靜定結(jié)構(gòu)的位移問題，而上式仍可應用。此時，即是基本結(jié)構(gòu)由于虛擬狀態(tài)的單位力P=1的作用所引起的內(nèi)力和支座反力；則是由原荷載和全部多余力產(chǎn)生的基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力；仍代表結(jié)構(gòu)的溫度變化和支座移動。由于超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力并不因所取基本結(jié)構(gòu)的不同而有所改變，因此可以將其內(nèi)力看作是按任一基本結(jié)構(gòu)而求得的。這樣，在計算超靜定結(jié)構(gòu)的位移時，也就可以將所設單位力P=1施加于任一基本結(jié)構(gòu)作為虛力狀態(tài)。為了使計算簡化，我們應當選取單位內(nèi)力圖比較簡單的基本結(jié)構(gòu)。下面舉例說明超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算。【例5-14】試求如圖5.44(a)所示剛架D點的水平位移和橫梁中點F的豎向移。設EI為常數(shù)。解：此剛架同【例5-4】。在計算內(nèi)力時，選取去掉支座B處的多余聯(lián)系而得到的懸臂剛架作為基本結(jié)構(gòu)。最后彎矩圖如圖5.44(b)所示。求D點的水平位移時，可選取如圖5.44(c)所示的基本