2017虹口高中三年級數學一模

1、2021年市虹口區(qū)高考數學一模試卷一、填空題16題每題4分，712題每題4分，本大題總分值54分1. 集合 A=1 , 2, 4, 6, 8 , B=x|x=2k , k A，那么 AH B=.2. 各i，那么復數z的虛部為.1 _ 13. 設函數 f x=s inx - cosx，且 fa =1,那么 sin2 a.4 .二元一次方程組門的增廣矩陣是L,那么此方程組的解是.5. 數列an是首項為1,公差為2的等差數列，Sn是它前n項和，那么1訕p =j-iaII6. 角A是KBC的角，那么 冷如寺是蟲亦字的條件填 充分非必要、 必要非充分、 充要條件、 既非充分又非必要之一.7. 假設雙曲線

2、X2-'=1的一個焦點到其漸近線的距離為 2 -:，那么該雙曲線b的焦距等于.8 .假設正項等比數列an滿足：a3+a5=4,那么a4的最大值為.9.一個底面半徑為2的圓柱被與其底面所成角是 60°勺平面所截，截面是一個橢圓，那么該橢圓的焦距等于.10.設函數f x=,那么當x <- 1時，那么ffx表達式的展開式中含x2項的系數是.11.點M20, 40，拋物線y2=2pxp>0的焦點為F,假設對于拋物線上的 任意點P, |PM|+|PF|的最小值為41,那么p的值等于.12 .當實數x, y滿足x2+y2=l時,|x+2y+a|+|3- x - 2y|的取值與

3、x, y均無關,那么實數a的取圍是.、選擇題每題5分，總分值20分13.在空間,a表示平面，m, n表示二條直線，那么以下命題中錯誤的選項是假設m /m、n不平行，那么a不平行B.假設m /m、C.假設m±n不垂直，那么n不平行，那么a不垂直a不垂直D.假設m、n不垂直，那么a不平行兀、亠 、在區(qū)間0，a的取值圍是14.函數 f)=sin(2x4其中a>0上單調遞增，那么實數 aB.宀丄D. 2k兀兀唏,丄只與圓A.B.既與圓C.只與弦C的半徑有關，又與弦AB的長度有關AB的長度有關D.是與圓C的半徑和弦AB的長度均無關的定值15. 如圖，在圓C中，點A、B在圓上，那么廠r啲值

4、C的半徑有關16. 定義fx=x其中x表示不小于x的最小整數為 取上整函數，例 如2.1=3，4=4 .以下關于 取上整函數性質的描述，正確的選項是 f 2x=2f x; 假設 fX1=fX2，那么 X1- X2V 1 ； 任意 X1，X2 R， fX1+X2WfX1+fX2; f(x)+f(xfy)-f(Sx).A B C D 三、解答題本大題總分值76分17在正三棱錐P- ABC中，底面等邊三角形的邊長為6,側棱長為4.1求證：PA丄BC ；2求此三棱錐的全面積和體積.18如圖，我海監(jiān)船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至 A處，此時測得 其北偏東30°方向與它相距20海里的B處

5、有一外國船只，且D島位于海監(jiān)船正 東18海里處.1求此時該外國船只與D島的距離；2觀測中發(fā)現，此外國船只正以每小時 4海里的速度沿正南方航行.為了將 該船攔截在離D島12海里的E處E在B的正南方向，不讓其進入D島12 海里的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值角度準確到 0.1 °,速 度準確到0.1海里/小時.19.二次函數 fx=ax2 - 4x+c 的值域為0， +g .1判斷此函數的奇偶性，并說明理由；2判斷此函數在號，+x的單調性，并用單調性的定義證明你的結論;3求出f x在1，+x上的最小值g a，并求g a的值域.2 220橢圓C：耳+寧13>b>Q

6、過點M2, 0，且右焦點為F1, 0，過F a2 b的直線I與橢圓C相交于A、B兩點設點P4, 3，記PA、PB的斜率分別為ki 和 k2.1求橢圓C的方程；2如果直線I的斜率等于-1,求出ki?h的值；3探討ki+k2是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出 ki+k2的取21.函數 fx=2|x+2| |x+1|，無窮數列an的首項 ai=a.1如果an=fnn N，寫出數列an的通項公式；2如果cb=fanin N*且n?2，要使得數列an是等差數列，求首項 a 的取值圍；3如果an=f an1n N*且n>2,求出數列an的前n項和Sn.2021年市虹口區(qū)高考數學一模試卷參

7、考答案與試題解析一、填空題16題每題4分，712題每題4分，本大題總分值54分1. 集合 A=1 , 2, 4, 6, 8 , B=x|x=2k , k A，那么 AH B= 2 , 4, 8【考點】交集與其運算.【分析】先分別求出集合A和B，由此能出AHB .【解答】解：集合A=1 , 2, 4, 6, 8, B=x|x=2k , k A=2 , 4, 8, 12, 19, AH B=2 , 4, 8.故答案為：2 , 4, 8.2. 二二戈,那么復數z的虛部為 1.1 _ 1 【考點】復數代數形式的乘除運算.【分析】由-p72+i,得匸巧1 - D|,利用復數復數代數形式的乘法運算 化簡，

8、求出z,那么答案可求.【解答】解：由-r-T-S+i,1 _ 1得. C. - ：2 - 2i+i - i2=3 - i,那么z=3+i.復數z的虛部為：1.故答案為：1.3. 設函數 f x=si nx - cosx，且 fa=1,那么 sin2 a=0 .【考點】二倍角的正弦.【分析】由可得sin a cos a =1兩邊平方，利用二倍角的正弦函數公式，同角三 角函數根本關系式即可得解.【解答】解：T f x=si nx-cosx，且 fa=1, I sin a cos a =1兩邊平方，可得：sin2 a +cosa- 2sin a cos a, =1 1 - sin2 a =1 可得：

9、sin2 a =0故答案為：0.4.二元一次方程組的增廣矩陣是1 -1 f1 13;那么此方程組的解【考點】系數矩陣的逆矩陣解方程組.【分析】先利用增廣矩陣，寫出相應的二元一次方程組，然后再求解即得.x 1【解答】解：由題意，方程組卄,故答案為5 數列an是首項為1,公差為2的等差數列，Sn是它前n項和，那么1詢p 丄 n亠co旦桂寸【考點】數列的極限.【分析】求出數列的和以與通項公式，然后求解數列的極限即可.【解答】解：數列an是首項為1，公差為2的等差數列，Sn_. "(_希+n-1X2_2n- 1,_； T(2n - 1 )2:一-r故答案為:土；6角A是MBC的角，那么 衍詁

10、誌是總二字的 充分不必要 條件填充分非必要、必要非充分、 充要條件、 既非充分又非必要之一【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】根據充分必要條件的定義以與三角函數值判斷即可.【解答】解：A為ABC的角，那么A 0，180°，1假設命題p： cosA_成立，那么A_60°，sinA_ .：;而命題q： sinA_號成立，又由A 0，180°，那么A_60°或120°因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可見p是q的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.7 假設雙曲線x=1的一個焦點到其漸近線的距離為 2 ：,那么該雙曲線的焦距等于

11、6.【考點】雙曲線的簡單性質.【分析】根據焦點到其漸近線的距離求出b的值即可得到結論.【解答】解：雙曲線的漸近線為y=±bx，不妨設為y= - bx，即bx+y=O , 焦點坐標為Fc, 0，be那么焦點到其漸近線的距離d=b=2 .,那么 c= : 二 i 一 - “i=3,那么雙曲線的焦距等于2c=6,故答案為：68 假設正項等比數列an滿足：a3+a5=4，那么a4的最大值為 2.【考點】等比數列的性質.【分析】利用數列an是各項均為正數的等比數列，可得a3a5=a42，再利用根本不等式，即可求得a4的最大值.【解答】解：數列an是各項均為正數的等比數列，asa5=a42，等比

12、數列an各項均為正數，當且僅當a3=a5=2時，取等號， a3=a5=2時，a4的最大值為2.故答案是：2.9.一個底面半徑為2的圓柱被與其底面所成角是 60°勺平面所截，截面是一個 橢圓，那么該橢圓的焦距等于業(yè)1【考點】橢圓的簡單性質.【分析】利用條件，求出題意的長半軸，短半軸，然后求出半焦距，即可.【解答】解：因為底面半徑為R的圓柱被與底面成30°的平面所截，其截口是 個橢圓，那么這個橢圓的短半軸為：R,長半軸為:，爲 =8， a2=b2+c2，A c=廠=2 .；，橢圓的焦距為:;故答案為：4. 10設函數fx=' ，那么當x<- 1時，那么ffx:表達

13、式_ 2k - 1) uSs - 1的展開式中含x2項的系數是 60.【考點】分段函數的應用.【分析】根據分段函數的解析式先求出ffx表達式，再根據利用二項展開式 的通項公式寫出第葉1項，整理成最簡形式，令x的指數為2求得r,再代入系 數求出結果【解答】解：由函數fx=K v1-2k - 1, rC - 1'當 x<- 1 時，fX= - 2x- 1， 此時 fxmin=f- 1=2 -仁1， ffx=- 2x- 16=2x+16+1心2匕當r=2時，系數為C62>22=60,故答案為：6011點M20, 40，拋物線y2=2pxp>0的焦點為F,假設對于拋物線上的任

14、意點P, |PM|+|PF|的最小值為41,那么p的值等于 42或22.【考點】拋物線的簡單性質.【分析】過P做拋物線的準線的垂線，垂足為D,那么|PF|=|PD,當M20, 40 位于拋物線，當M , P, D共線時，|PM|+|PF的距離最小，20+-=41,解得：p=42, 當M 20, 40位于拋物線外，由勾股定理可知： 亠 ； ' =41, p=22 或58,當p=58時，y2=116x，那么點M20, 40在拋物線，舍去，即可求得p 的值.【解答】解：由拋物線的定義可知：拋物線上的點到焦點距離=到準線的距離，過P做拋物線的準線的垂線，垂足為 D，那么|PF|=|PD,當M

15、20, 40位于拋物線， |PM|+|PF|=|PM|+|PD|當M, P, D共線時，|PM|+|PF的距離最小，由最小值為41，即201=41，解得：p=42,當M 20, 40位于拋物線外，當P, M , F共線時,|PM|+|PF取最小值，即.4：_ j =41，解得：p=22 或 58,由當p=58時，y2=116x，那么點M20, 40在拋物線，舍去，故答案為：42或22.D/Mn .O1、FV1 12 .當實數x, y滿足x2+y2=l時,|x+2y+a|+|3- x - 2y|的取值與x, y均無關， 那么實數a的取圍是口，+g .【考點】圓方程的綜合應用.【分析】根據實數x,

16、 y滿足x2+y2=1，設x=cos Q y=sin 0求出x+2y的取值圍, 再討論a的取值圍，求出|x+2y+a|+|3- x - 2y|的值與x, y均無關時a的取圍.【解答】解：實數x，y滿足x2+y2=1，可設 x=cos 0 y=sin 0那么 x+2y=cos 0 +2sin Q=sin0 +，其中 a =arctan2- . * x+2yW =，當 a> -時，|x+2y+a|+|3- x- 2y|=x+2y+a+3- x- 2y=a+3，其值與 x，y 均無關；實數a的取圍是卜孔|，+燈.故答案為：i .二、選擇題每題5分，總分值20分13. 在空間，a表示平面，m,

17、n表示二條直線，那么以下命題中錯誤的選項是 A .假設m / a, m、n不平行，那么n與a不平行B. 假設m/ a, m、n不垂直，那么n與a不垂直C. 假設m丄a m、n不平行，那么n與a不垂直D. 假設m丄a m、n不垂直，那么n與a不平行【考點】空間中直線與平面之間的位置關系；平面與平面之間的位置關系.【分析】對于A，假設m/ am、n不平行，那么n與a可能平行、相交或n? a, 即可得出結論.【解答】解：對于A，假設m/ a, m、n不平行，那么n與a可能平行、相交或 n? a,故不正確.應選A.14. 函數己in匹汁丁在區(qū)間0，a其中a> 0上單調遞增，那么實數 a的取值圍是

18、A.C.B. 0<a<y|jTITJT滬仰十一D. 2k兀<必池兀p kN【考點】正弦函數的單調性.【分析】由條件利用正弦函數的單調性，可得 2aL-，求得a的圍.【解答】解：函數汁丁在區(qū)間0， a其中a>0上單調遞增,兀 7T兀7T那么2a -，求得 aw廠，故有 0v ar應選：B.15. 如圖，在圓C中，點A、B在圓上，那么廠的值A .只與圓C的半徑有關B. 既與圓C的半徑有關，又與弦AB的長度有關C. 只與弦AB的長度有關D. 是與圓C的半徑和弦AB的長度均無關的定值【考點】平面向量數量積的運算.【分析】展開數量積，結合向量在向量方向上投影的概念可得 正寺I不I

19、?那么答案可求.【解答】解：如圖，過圓心C作CD丄AB，垂足為D，那么-=|J,|j|?cog CAB=". 一 的值只與弦AB的長度有關.應選：C.16定義fx=x其中x表示不小于x的最小整數為 取上整函數，例 如2.1=3，4=4 以下關于 取上整函數性質的描述，正確的選項是 f 2x=2f x； 假設 fXI=fX2，那么 xi - X2V 1 ； 任意 xi，X2 R， f X1+X2Wfxi+f X2；A B C D 【考點】函數與方程的綜合運用.【分析】充分理解取上整函數的定義如果選項不滿足題意，只需要舉例說 明即可【解答】解：對于，當x=1.4時，f2x=f2.8=3.

20、2，f 1.4=4 .所以f 2x工 2fx；錯.對于，假設f fX1=f fX2.當X1為整數時，f fX1=X1，此時X2>X1 - 1，即 X1 - X2V 1 .當X1不是整數時，f f X1=X1 + 1 . X1表示不大于X1的最大整數.X2 表示比X1的整數局部大1的整數或者是和X1保持一樣整數的數，此時-X1- X2 V 1.故正確.對于，當 X1， X2 Z，f f X1+X2=f f X1+f f X2，當 X1，X2?Z，f f X1+X2V fXI+fX2,故正確；對于，舉例 f 1.2 +f 1.2+0.5=4f 2.4=3.故錯誤. 應選：C.三、解答題本大題

21、總分值76分17在正三棱錐P-ABC中，底面等邊三角形的邊長為6,側棱長為4.1求證：PA丄BC ；2求此三棱錐的全面積和體積.【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；棱柱、棱錐、棱臺的側面積和外表積；直線 與平面垂直的性質.【分析】1取BC的中點M，連AM、BM.由ABC是等邊三角形，可得AM 丄BC.再由PB=PC，得PM丄BC.利用線面垂直的判定可得 BC丄平面PAM， 進一步得到PA丄BC ；2記0是等邊三角形的中心，那么 P0丄平面ABC .由求出高，可求三棱錐 的體積.求出各面的面積可得三棱錐的全面積.【解答】1證明：取BC的中點M，連AM、BM . ABC是等邊三角形， AM 丄 BC.

22、又 PB=PC， PM 丄 BC . AMP PM=M， BC丄平面PAM，那么PA丄BC ；2解：記O是等邊三角形的中心，那么 PO丄平面ABC . ABC是邊長為6的等邊三角形,二 A0-M=|-X6X-區(qū)-£=9五, W丄敬嶺血叩0=6詞;I： .Vi.18.如圖，我海監(jiān)船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至 A處，此時測得 其北偏東30°方向與它相距20海里的B處有一外國船只，且D島位于海監(jiān)船正 東18海里處.1求此時該外國船只與D島的距離；2觀測中發(fā)現，此外國船只正以每小時 4海里的速度沿正南方航行.為了將 該船攔截在離D島12海里的E處E在B的正南方向，不讓其進

23、入D島12 海里的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值角度準確到 0.1 °,速 度準確到0.1海里/小時.【考點】直線與圓的位置關系.【分析】1依題意，在ABD中，/ DAB=60，由余弦定理求得DB ;2法一、過點B作BH丄AD于點H，在RtMBH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，進一步得到sin/EAH，那么/ EAH可求，求出外國船只到達 E 處的時間t,由求得速度的最小值.法二、建立以點A為坐標原點，AD為x軸，過點A往正北作垂直的y軸.可 得A ,D ,B的坐標，設經過t小時外國船到達點b 1.:',結合ED=12, 得吒10, 4靈，列等式求得t ，

24、那么tanZ7 ，AH 105/EAD=arutar趕亙各41 81"，再由“A半求得速度的最小值.【解答】解：1依題意，在ABD中，/ DAB=60，由余弦定理得 DB2=AD2+AB2- 2AD?AB?cos60 =1$+202- 2X18X15>Cos60°364,. E '，即此時該外國船只與D島的距離為I海里；2法一、過點B作BH丄AD于點H，在 RtMBH 中, AH=10， HD=AD - AH=8，以D為圓心，12為半徑的圓交BH于點E,連結AE、DE,在RtADEH中，HE=JeM-HD亠4岳，二班刃0逅-皿,又AEM護廉,sin/Eah=-

25、1441.81.°，那么 Z'l-.-三二廠:.:-二外國船只到達點E的時間.一 J -''-.'.小時.海監(jiān)船的速度2V>T-24l海里/小時.又 90°- 41.81 °48.2 °故海監(jiān)船的航向為北偏東48.2 °速度的最小值為6.4海里/小時.法二、建立以點A為坐標原點,那么 A0, 0，D 18, 0，SC10, 10后 4t)|,AD為x軸，過點A往正北作垂直的y軸._ ，設經過t小時外國船到達點又ED=12,得"L - 一 . -；，此時t空二逅辺09小時.那么丄.丄y / - :_

26、10542肩ZEAD=arctan41. 81 °5監(jiān)測船的航向東偏北41.81 °海監(jiān)船的速度_海里/小時19.二次函數 fx=ax2- 4x+c 的值域為0, +B .1判斷此函數的奇偶性，并說明理由；2|2判斷此函數在二,+x的單調性，并用單調性的定義證明你的結論；3求出f x在1, +2 上的最小值g a，并求g a的值域.【考點】二次函數的性質.【分析】1由二次函數fx=ax2- 4x+c的值域，推出ac=4,判斷f- 1Mf1，f-1f 1，得到此函數是非奇非偶函數.2求出函數的單調遞增區(qū)間.設X1、X2是滿足二的任意兩個數，列 出不等式，推出f X2>

27、fX1，即可判斷函數是單調遞增.3fx=ax2 - 4x+c，當吒虧1=1，即卩Ov a<2時，當 財專<1，即卩a>2時 求出最小值即可.【解答】解：1由二次函數f x=ax2- 4x+c的值域為0，+x，得a>0且4ac - 16叨，解得ac=4./ f 1=a+c- 4，f- 1=a+c+4，a> 0 且 c> 0，從而 f- 1Mf1，f-1f f 1,此函數是非奇非偶函數.2函數的單調遞增區(qū)間是 4 , +X.設XI、X2是滿足“>二的任意兩個a£1 a數，從而有 窗#r 語二血八臺?巧鄂.又a>0，從而-4-，：-.- -

28、二p函數在一,+X上是即且遲_飪丈匕>0彳1 4巧+彳,從而f X2>fXI,單調遞增.3fx=ax2 - 4x+c，又 a>0, “，x 1, +x當 xn->l,即 0vaW2時，最小值 ga=fxo=0當KoVl,即a>2時，最小值昌G)二F二廿口- 4二且泄-m3L300<a<2綜上，最小值- 4宜>21己當0v aW2時，最小值g a=0當 a>2 時，最小值 s(a)=a+- 4E +8) a綜上y=g a的值域為0, +心2 220.橢圓C:篤+分1CQQQ)過點M2, 0，且右焦點為F1, 0，過Fa b的直線I與橢圓C相交

29、于A、B兩點.設點P4, 3，記PA、PB的斜率分別為 ki 和 k2.1求橢圓C的方程；2如果直線I的斜率等于-1,求出ki?k2的值；3探討ki+k2是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出ki+k2的取值圍.【分析】1利用條件求出b,即可求解橢圓方程.2直線I: y - x+1，設AB坐標，聯立 .利用韋達定理以與斜率公式求解即可.3當直線AB的斜率不存在時，不妨設 A, B,求出斜率，即可；當直線 AB 的斜率存在時，設其為k，求直線AB : y=kx -1，聯立直線與橢圓的方程組， 利用韋達定理以與斜率公式化簡求解即可. 2 2【解答】解：1：a=2,又c=1，匚。二麗，橢圓方

30、程為=1 42直線 I: y - x+1，設 Axi， yi Bx2，y2，3-2 那么廠1，故 k1+k2=2.X；消 y 得 7x2-8x-8=0，有沖泮，k"Xi -3 y2 - 31-r£i一 一 0耳盜2梶Hl+x2+4K JA AJ A 2冗1 _ 4七_ Q工1 _ q七_ qX 1 汶2 廠勺切23當直線AB的斜率不存在時，不妨設 A 1,寺，B 1,當直線AB的斜率存在時，設其為k，那么直線AB : y=kx- 1，設AX1, y1BX2, y2，由腫以消y得4k2+3FIx2- 8k2x+ 4k2- 12=0,4k J 12Vi - 3 ¥廠 3kx 廠上7 2k X 1 K n - C51?+3) (j；. + z ?)+8 (k+3)+ b h 丄X 王二丄土J二 丄=1 2盤_4 蓋2_4疋1_4冨2_4勺乜 - 4(巧+羅J+162kk- 12 - (5M3" Tg(k43)24!?煮4“43"(kSl) £2-12 “吐2飛6他咕廠7_ 4, + 164L/