分布函數(shù)及其基本性質(zhì)

1、二、分布函數(shù)及其基本性質(zhì)二、分布函數(shù)及其基本性質(zhì) 為了對(duì)離散型的和連續(xù)型的隨機(jī)變量為了對(duì)離散型的和連續(xù)型的隨機(jī)變量以及更廣泛類(lèi)型以及更廣泛類(lèi)型的隨機(jī)變量給出一種統(tǒng)一的隨機(jī)變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，引進(jìn)了的描述方法，引進(jìn)了分布函數(shù)分布函數(shù)的概念的概念. f (x)xo0.10.30.6kPK012 |Xxx定義：定義：設(shè)設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，稱(chēng)是一個(gè)隨機(jī)變量，稱(chēng))()(xXPxF)(x為為 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 記作記作 X F(x) 或或 FX(x). 如果將如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)

2、間落在區(qū)間(, x的概率的概率.說(shuō)明說(shuō)明 X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, x是參變量。是參變量。 F(x) 是隨機(jī)是隨機(jī)變量變量X取值不大于取值不大于 x 的概率。的概率。 由定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)由定義，對(duì)任意實(shí)數(shù) x1x2，隨機(jī)點(diǎn)落，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間（在區(qū)間（ x1 , x2 的概率為：的概率為：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算設(shè)離散型隨機(jī)變量分布律為設(shè)離散型隨機(jī)變量分布律為PX=PX=x xk k=p pk k, ,k k=1,2,=1,2,由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得X X的分布函數(shù)為

3、的分布函數(shù)為F(F(x x)= PX)= PXx x=PX=PXx xk k=p pk k這里和式是對(duì)于所有滿(mǎn)足這里和式是對(duì)于所有滿(mǎn)足x xk kx x的的k k求和求和. .當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)， X x = ， 故故 F(x) =0例例1212613110X，求，求 F(x).當(dāng)當(dāng) 0 x 1 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X x) = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解:當(dāng)當(dāng) 1 x 2 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 12, 121,2110,310, 0)(xxxxxF 不難看出，不難看出，F(xiàn)(x) 的圖形是階梯狀的圖形，的圖

4、形是階梯狀的圖形，在在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).3121120 x612161OOO1)(xF已知已知 X X 的分布律為的分布律為XP10121111231212求求X X的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，并畫(huà)出它的圖形。并畫(huà)出它的圖形。0 (1)1 2 ( 10)( )5 6 (01)11 12 (12)1 (2)xxF xP Xxxxx -11230.250.51xF(x)F(x)的示意圖 n P（Xb）=F(b)n P（aXb）=F(b)-F(a)n P（Xb）=1-P（Xb）=1 - F(b)P P（a

5、 aX Xb b）=P(X =P(X b)-P(Xa)= F(b)- F(a) b)-P(Xa)= F(b)- F(a)X-123P1/41/21/43, 4/12/14/132, 2/14/121, 4/11, 0)(xxxxxF3, 132, 4/321, 4/11, 0)(xxxxxF例:設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求X的分布函數(shù),并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.解:由概率的有限可加性得即 PX1/2=F(1/2)=1/4 P3/2X 5/2 =F(5/2)-F(3/2) =3/4 -1/4=1/2 P2 X 3 = F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4

6、解解 (1) 7 . 0)3()3(FXP)321( XP5 . 02 . 07 . 0)21()3(FF)2(1)2(XPXP)02()02()2(1FFF8 . 05 . 07 . 01(2) , 2 . 002 . 0) 1(XPX-124Pk0.20.50.3)2()2(1XPXP, 5 . 02 . 07 . 0)2(XP3 . 07 . 01)4(XP分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì) 試說(shuō)明試說(shuō)明F(x)能否是某個(gè)能否是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù).例例 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) F(x)其它00sin)(xxxF解：解： 注意到函數(shù)注意到函數(shù) F(x)在在 上下降，上下降，不滿(mǎn)足

7、性質(zhì)不滿(mǎn)足性質(zhì)(1)，故，故F(x)不能是分布函數(shù)不能是分布函數(shù).2, 不滿(mǎn)足性質(zhì)不滿(mǎn)足性質(zhì)(2)， 可見(jiàn)可見(jiàn)F(x)也不也不能是能是隨機(jī)變量的隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù).或者或者()lim( )0 xFF x 例例 在區(qū)間在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以 X 表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo). 設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在 0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，試求長(zhǎng)度成正比，試求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 解：解：設(shè)設(shè) F(x) 為為 X 的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，當(dāng)當(dāng) x a 時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(x) =1當(dāng)當(dāng) 0 x a 時(shí)，時(shí)， P(0 X x) = kx (k為常數(shù)為常數(shù) ) 由于由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / aaxaxaxx