人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-第十二章《全等三角形的綜合、角平分線》-講義-有答案

1、第7講 全等三角形的綜合、角平分線第一部分 知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形的綜合 平移全等型 對(duì)稱全等型 旋轉(zhuǎn)全等型 知識(shí)點(diǎn)二：角平分線的性質(zhì)、角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上它們具有互逆性角平分線是天然的、涉及對(duì)稱的模型，一般情況下，有下列三種作輔助線的方式：1 由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，2 過角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形，3 ，這種對(duì)稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍， 知識(shí)點(diǎn)三：角平分線的作法角平分線的作法（尺規(guī)作圖）以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA、OB于C、D兩點(diǎn)；分別以C、D為圓心，大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于

2、點(diǎn)P；過點(diǎn)P作射線OP，射線OP即為所求第二部分 考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、三角形全等綜合1、全等三角形實(shí)際應(yīng)用1、如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B間的距離，先在過B點(diǎn)的AB的垂線L上取兩點(diǎn)C、D，使CD=BC，再在過D點(diǎn)的垂線上取點(diǎn)E，使A、C、E在一條直線上，ED=AB這時(shí)，測(cè)ED的長就得AB得長，判定ACBECD的理由是（）A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS2、如圖，小強(qiáng)利用全等三角形的知識(shí)測(cè)量池塘兩端M、N的距離，如果PQONMO，則只需測(cè)出其長度的線段是（B）APO BPQ CMO DMQ （1） （2）3、如圖，工人師傅要在墻壁的O處用鉆打孔，要使孔口從墻壁對(duì)面的點(diǎn)

3、B處打開，墻壁厚是35cm，點(diǎn)B與點(diǎn)O的垂直距離AB長是20cm，在點(diǎn)O處作一直線平行于地面，在直線上截取OC=35cm，過C作OC的垂線，在垂線上截取CD=20cm，連接OD，然后，沿著D0的方向打孔，結(jié)果鉆頭正好從點(diǎn)B處打出這是什么道理？4、1805年，法軍在拿破侖的率領(lǐng)下與德軍在萊茵河畔激戰(zhàn)德軍在萊茵河北岸Q處，如圖所示，因不知河寬，法軍大炮很難瞄準(zhǔn)敵營聰明的拿破侖站在南岸的點(diǎn)O處，調(diào)整好自己的帽子，使視線恰好擦著帽舌邊緣看到對(duì)面德國軍營Q處，然后他一步一步后退，一直退到自己的視線恰好落在他剛剛站立的點(diǎn)0處，讓士兵丈量他所站立位置B與0點(diǎn)的距離，并下令按照這個(gè)距離炮轟德軍試問：法軍能命中

4、目標(biāo)嗎？請(qǐng)說明理由用帽舌邊緣視線法還可以怎樣測(cè)量，也能測(cè)出河岸兩邊的距離嗎？5、某校七年級(jí)學(xué)生到野外活動(dòng)，為測(cè)量一池塘兩端A，B的距離，甲、乙、丙三位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出如下幾種方案： 甲：如圖，先在平地取一個(gè)可直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，再連接AC，BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后測(cè)出DE的長即為A，B的距離乙：如圖，先過點(diǎn)B作AB的垂線BF，再在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC=CD，接著過點(diǎn)D作BD的垂線DE，交AC的延長線于點(diǎn)E，則測(cè)出DE的長即為A，B的距離丙：如圖，過點(diǎn)B作BDAB，再由點(diǎn)D觀測(cè)，在AB的延長線上取一點(diǎn)C，使BDC=BDA，這時(shí)只要測(cè)出BC的長即為A

5、，B的距離（1）以上三位同學(xué)所設(shè)計(jì)的方案，可行的有_；（2）請(qǐng)你選擇一可行的方案，說說它可行的理由2、證兩次全等相關(guān)問題1、已知: 如圖,AB=AE,BC=ED, B= E,AF CD,F 為垂足, 求證:CF=DF.2、已知：如圖，AB=CD，BC=DA，AE=CF求證：BF=DE3、如圖，AB=AD，BC=DE，且BAAC，DAAE，你能證明AM=AN嗎？3、探索兩線段的關(guān)系問題1、如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC. 求證：（1）EC=BF；（2）ECBF.2、已知：如圖，ABC中，ADBC于D，E是AD上一點(diǎn)，BE的延長線交AC于F，若BD=AD，DE=DC。求證

6、：BFAC。3、如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB求證：（1）AM=AN；（2）AMAN4、探索三線段的數(shù)量關(guān)系問題1、在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E。（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明。2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且B+D=180°，求證：AE=

7、AD+BE3、四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，ADC+B=180°，求證：2AE=AB+AD5、構(gòu)造全等三角形問題1、如圖，在ABC中，BD=DC，1=2，求證：AD平分BAC 2、如圖，已知ACBD，EA、EB分別平分CAB和DBA，CD過點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說明理由 3、已知：如圖，AD是ABC的中線，求證：AB+AC2AD4、如圖，RtABC中，BAC=90°，ADBC于D，BG平分ABC，EFBC，交AC于F，求證：AE=CF 考點(diǎn)2、角平分線的性質(zhì)例1、如圖，在RtABC中，A=90°，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=

8、3，BC=10，則BDC的面積是       例2、三角形ABC中，A=60°，則內(nèi)角B，C的角平分線相交所成的角為       。例3、如圖，在ABC中，A=45°，C=75°，BD是ABC的角平分線，則BDC的度數(shù)為（ ）A60°       B70°         C75°

9、;             D105°例4、根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”來觀察下圖：（1）已知OM是AOB的平分線，P是OM上的一點(diǎn)，且PEOA，PFOB垂足分別為EF，那么     =     這是根據(jù)“     ”可得POEPOF而得到的（2）如圖，ABC中，C=90°，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB，垂足為E，

10、AB=6cm，則DEB的周長為     cm例5、如圖，D、E、F分別是ABC的三條邊上的點(diǎn)，CE=BF，DCE和DBF的面積相等求證：AD平分BAC 例6、如圖，ABC中，A=60°，ACB的平分線CD和ABC的平分線BE交于點(diǎn)G求證：GE=GD舉一反三：1、到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（）A 三條中線的交點(diǎn)              B 三條高的交點(diǎn)C 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) 

11、0;  D 三條角平分線的交點(diǎn)2、如圖，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EFAB于F，則下列結(jié)論中不正確的是（   ）ACH=HD    BACD=B     CCH=CE=EF    DAC=AF3、已知：如圖，ABCD，O為BAC、ACD的平分線的交點(diǎn)，OEAC于點(diǎn)E，若兩平行線間的距離為6，則OE=      （2） （3）4、已知：在等腰RtABC中，AC=BCC=90°，AD平分BAC，D

12、EAB于點(diǎn)E，AB=15cm，（1）求證：BD+DE=AC（2）求DBE的周長5、如圖，已知ABC的周長是22，OB、OC分別平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，ABC的面積是多少？ 6、如圖，ABC中，ACB=90°，AD平分BAC，DEAB交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)DC=CAB求證：CF=BE；第三部分 課堂小測(cè)1、如圖：工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法是：如圖在AOB的邊OA，OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，得到AOB的平分線OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL2、

13、如圖所示，DEAB，DFAC，AEAF，則下列結(jié)論成立的是（  ）ABDCD     BDEDF    CBC    DABAC3、如圖，在ABC中，C=90°，BD平分ABC，交AC于點(diǎn)D；若DC=3，AB=8，則ABD的面積是（ ） A3 B10 C12 D16 （1） （2） （3）4、如圖，OP是AOB的平分線，PCOA于點(diǎn)C，PC=2，點(diǎn)D是邊OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PD長度最小為     5、已知AD平分BAC，DEAB，AB=60，AC=5

14、0，ABC的面積是330，則DE=     6、如圖BD是ABC的一條角平分線，AB=8，BC=4，且SABC=24，則DBC的面積是      （4） （5） （6）7、小明用三角板按如圖所示的方法畫角平分線，在AOB的兩邊分別取OC=OD，再分別以C、D為垂足，用三角板作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P，作射線OP，則OP就是AOB的角平分線，你認(rèn)為小明的做法有道理嗎？請(qǐng)你給出合理的解釋8、已知：如圖，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DB=DC，求證：ABC是等腰三角形9、已知：如圖所示，AQ，BM，CN是ABC

15、的三條角平分線試說明AQ，BM，CN交于一點(diǎn)10、小明和小亮在學(xué)習(xí)探索三角形全等時(shí)，碰到如下一題：如圖1，若AC=AD，BC=BD，則ACB與ADB有怎樣的關(guān)系？（1）請(qǐng)你幫他們解答，并說明理由（2）細(xì)心的小明在解答的過程中，發(fā)現(xiàn)如果在AB上任取一點(diǎn)E，連接CE、DE，則有CE=DE，你知道為什么嗎？（如圖2）（3）小亮在小明說出理由后，提出如果在AB的延長線上任取一點(diǎn)P，也有第2題類似的結(jié)論請(qǐng)你幫他畫出圖形，并寫出結(jié)論，不要求說明理由（如圖3）第四部分 提高訓(xùn)練1、如圖AB=AE，ABAE，AD=ACADAC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE=2AM2、如圖，AC平分BAD，CMAB，且AB+A

16、D=2AM，證明：ADC+ABC90° 。第五部分 課后作業(yè)1、如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶（ ）去玻璃店A、帶去， B、帶去 C、帶去 D、都帶去2、如圖，ABC的外角CBD和BCE的平分線相交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上          B點(diǎn)F在BAC的平分線上CBCF是等腰三角形         &#

17、160;      DBCF是直角三角形3、如圖，在ABC中，C=90°，AD平分BAC，DEAB于E,DE=5，BD=2CD,則BC=（ ）A.20          B.15          C.10           D.5 （1） （2） （3）4

18、、如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（ ）AAB=AD       BAC平分BCD CAB=BD      DBECDEC5、如圖，點(diǎn)O是ABC的兩條角平分線的交點(diǎn)，若BOC118°，則A的大小是 。6、如圖，在ABC中，C是直角，AD平分BAC，交BC于點(diǎn)D。如果AB8，CD2，那么ABD的面積等于。 （4） （5） （6） 7、如圖ABC中，C=90°，AD平分BAC，DEAB于E，給出下列結(jié)論：DC=DE；D

19、A平分CDE；DE平分ADB；BE+AC=AB；BAC=BDE其中正確的是      （寫序號(hào)）8、如圖，等邊ABC中，在頂點(diǎn)A、C處各有一只螞蟻，他們同時(shí)出發(fā)，分別以同樣速度由A向B和由C向A爬行，經(jīng)過t秒后，他們分別到達(dá)D、E處請(qǐng)問兩只螞蟻在爬行過程中，（1）BE與CD有何數(shù)量關(guān)系，為什么？（2）DC與BE所成的BFC的大小是否發(fā)生變化？若有變化，請(qǐng)說明理由；若沒有變化，求出BFC9、如圖，OC是AOB的角平分線，P是OC上一點(diǎn)PDOA交OA于D，PEOB交OB于E，F(xiàn)是OC上的另一點(diǎn)，連接DF，EF求證：DF=EF10、如圖，已知點(diǎn) D

20、為等腰直角ABC 內(nèi)一點(diǎn)，CAD = CBD = 15°，E 為AD 延長線上的一點(diǎn). 且 CE=CA. (1)、求證：DE平分BDC；(2)、若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM. 求證：ME=BD.第7講 全等三角形的綜合、角平分線第二部分 考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、三角形全等綜合1、全等三角形實(shí)際應(yīng)用1、B 2、B3、 4、 因此，按照BO的距離炮轟德軍時(shí)，炮彈恰好落入德軍Q處；如果拿破侖站在O處，只需轉(zhuǎn)過身來仍可用帽舌邊緣視線法測(cè)出河岸兩邊的距離5、2、證兩次全等相關(guān)問題1、 2、證明：ABC和CDA中，AB=CD，BC=DA，AC=CA，ABCCDA，ACB=CAD在BCF和DAE中，B

21、C=DA，ACB=CAD，CF=AE，BCFDAE，BF=DE3、 3、探索兩線段的關(guān)系問題1、 2、 3、 4、探索三線段的數(shù)量關(guān)系問題1、證明：（1）ADC=ACB=90°， 1+2=3+2=90°， 1=3又AC=BC，ADC=CEB=90°，ADCCEB；ADCCEB，CE=AD，CD=BE， DE=CE+CD=AD+BE（2）ACB=CEB=90°，1+2=CBE+2=90°，1=CBE又AC=BC，ADC=CEB=90°， ACDCBE， CE=AD，CD=BE，DE=CE

22、-CD=AD-BE；（3）當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，AD、DE、BE所滿足的等量關(guān)系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）ACB=CEB=90°， ACD+BCE=CBE+BCE=90°， ACD=CBE，又AC=BC，ADC=CEB=90°，ACDCBE， AD=CE，CD=BE，DE=CD-CE=BE-AD。2、B+D=180°，3+4=180°，4=B，CM=CB，CEAB，ME=EB（等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線重合），AE=AM+ME，AE=AD+BE3、證明：過C作CFAD

23、于F，AC平分BAD，F(xiàn)AC=EAC，CEAB，CFAD，DFC=CEB=90°，AFCAEC，AF=AE，CF=CE，ADC+B=180°FDC=EBC，F(xiàn)DCEBCDF=EB，AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE2AE=AB+AD5、構(gòu)造全等三角形問題1、 2、 3、證明：如圖延長AD到P使DP=AD,連接BP,PCAP=2AD.1)D為ABC的BC邊中線BD=DCAD=DP，BDP=ADC(對(duì)頂角）BDPADC(SAS)AC=BP.2)在ABP中，AB+BP>AP（兩邊之和大于第三邊）由1）、2）得到 AB+AC>2AD4、

24、考點(diǎn)2、角平分線的性質(zhì)例1、   15   例2、   60°和120°   。例3、C 例4、 例5、例6、 舉一反三：1、D2、A 3、   3  4、解：（1）AD平分BAC，DEAB，C=90°，CD=DE，BC=BD+CD=BD+DE， AC=BC，AC=BD+DE；（2）CD=DE，AD=AD，C=AED=90°，ACDAED，AC=AE，AC=BD+DE，BD+DE=AE，BDE周長=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm5、 6、第三部分 課堂小測(cè)1、A 2、B  3、C 4、  2  5、   6   6、   8   7、