29二元一次不等式組與平面區(qū)域

1、第1課時(shí)【教學(xué)目標(biāo)】1知識(shí)與技能：了解二元一次不等式的幾何意義，會(huì)用二元一次不等式組表示平面區(qū)域；2過程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組的過程，提高數(shù)學(xué)建模的能力；3情態(tài)與價(jià)值：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源與生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域；【教學(xué)過程】講授新課.探究二元一次不等式（組）的解集表示的圖形（1）回憶、思考回憶：初中一元一次不等式（組）的解集所表示的圖形數(shù)軸上的區(qū)間思考：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？（2）探究從特殊到一般：先研究具體的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的圖形。如圖：在平面直角坐

2、標(biāo)系內(nèi)，x-y=6表示一條直線。平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線分成三類：第一類：在直線x-y=6上的點(diǎn)；第二類：在直線x-y=6左上方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)；第三類：在直線x-y=6右下方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)是直線x-y=6上的點(diǎn)，選取點(diǎn)，使它的坐標(biāo)滿足不等式x-y<6，請(qǐng)同學(xué)們完成課本第93頁的表格，橫坐標(biāo)x-3-2-10123點(diǎn)P的縱坐標(biāo)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)并思考：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P有相同的橫坐標(biāo)時(shí)，它們的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？根據(jù)此說說，直線x-y=6左上方的坐標(biāo)與不等式x-y<6有什么關(guān)系？直線x-y=6右下方點(diǎn)的坐標(biāo)呢？學(xué)生思考、討論、交流，達(dá)成共識(shí)：在平面直角坐標(biāo)系中，以二元一次不等式x-y<6的解為坐

3、標(biāo)的點(diǎn)都在直線x-y=6的左上方；反過來，直線x-y=6左上方的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式x-y<6。因此，在平面直角坐標(biāo)系中，不等式x-y<6表示直線x-y=6左上方的平面區(qū)域；如圖。類似的：二元一次不等式x-y>6表示直線x-y=6右下方的區(qū)域；如圖。直線叫做這兩個(gè)區(qū)域的邊界由特殊例子推廣到一般情況：（3）結(jié)論：二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）4二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法由于對(duì)在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)()，把它的坐標(biāo)（)代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的

4、符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）【應(yīng)用舉例】例1 畫出不等式表示的平面區(qū)域。解：先畫直線（畫成虛線）.取原點(diǎn)（0，0），代入+4y-4,0+4×0-4=-40,原點(diǎn)在表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式表示的區(qū)域如圖：歸納：畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法。特殊地，當(dāng)時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)。變式1、畫出不等式所表示的平面區(qū)域。變式2、畫出不等式所表示的平面區(qū)域。例2畫出不等式2xy60表示的平面區(qū)域.解:先畫直線2

5、xy60(虛線)，把原點(diǎn)(0，0)代入2xy6，得060.因2xy60，說明原點(diǎn)不在要求的區(qū)域內(nèi)，不等式2xy60表示的平面區(qū)域與原點(diǎn)在直線2xy60的異側(cè)，即直線2xy60的右上部分的平面區(qū)域.學(xué)生課堂練習(xí).(1)xy10.(2)2x3y60.(3)2x5y100.(4)4x3y12.例3的解集。分析：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。解：不等式表示直線右下方的區(qū)域，表示直線右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。歸納：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式

6、所表示的平面區(qū)域的公共部分。變式1、畫出不等式表示的平面區(qū)域。變式2、由直線，和圍成的三角形區(qū)域（包括邊界）用不等式可表示為。例4畫出不等式組表示的平面區(qū)域.x3y60表示直線上及其右上方的點(diǎn)的集合.xy20表示直線左上方一側(cè)不包括邊界的點(diǎn)的集合.在確定這兩個(gè)點(diǎn)集的交集時(shí)，要特別注意其邊界線是實(shí)線還是虛線，還有兩直線的交點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是空點(diǎn).例5畫出不等式組表示的平面區(qū)域.不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.解：不等式x-y+50表示直線x-y+5=0右上方的平面區(qū)域，x+y0表示直線x+y=0右上方的平面區(qū)域，x3左上方的平面區(qū)

7、域，所以原不等式表示的平面區(qū)域如右圖中的陰影部分.課堂練習(xí)作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域.（1）x-y+10;（2）2x+3y-60;（3）2x+5y-100;（4）4x-3y-120;（5）如下圖：合作探究由上述討論及例題，可歸納出如何由二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的嗎？歸納如下：1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的所有點(diǎn)被直線l:x+y-1=0分成三類：（1）直線l上：(x,y)|x+y-1=0；（2）直線l的上方：(x,y)|x+y-10；（3）直線l的下方：(x,y)|x+y-10.對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo),代入x+y-1中，得到一個(gè)實(shí)數(shù)，此實(shí)數(shù)或等于0，

8、或大于0，或小于0.觀察到所有大于0的點(diǎn)都在直線l的右上方，所有小于0的點(diǎn)都在直線l的左下方，所有等于0的點(diǎn)在直線l上.2.一般地，二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的所有的點(diǎn)組成的平面區(qū)域.直線畫成虛線表示不包括邊界.二元一次不等式Ax+By+C0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的所有的點(diǎn)組成的平面區(qū)域.直線應(yīng)畫成實(shí)線.此時(shí)常常用“直線定界，特殊點(diǎn)定位”的方法.（當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，常常取原點(diǎn)；過原點(diǎn)時(shí)取坐標(biāo)軸上的點(diǎn)）方法引導(dǎo)上述過程分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進(jìn)行，目的是分散難點(diǎn)，層層遞進(jìn)，突出重點(diǎn)，只要學(xué)生對(duì)舊知識(shí)

9、掌握較好，完全可以由學(xué)生主動(dòng)去探求新知，得出結(jié)論.課堂小結(jié)1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的所有點(diǎn)被直線l分成三類：（1）直線l上；（2）直線l的上方；（3）直線l的下方.2.二元一次不等式ax+by+c0和ax+by+c0表示的平面區(qū)域.布置作業(yè)1.不等式x-2y+60表示的區(qū)域在x-2y+6=0的（）A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2.不等式3x+2y-60表示的平面區(qū)域是（）3.不等式組表示的平面區(qū)域是（）4.直線x+2y-1=0右上方的平面區(qū)域可用不等式_表示.5.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是_.6.畫出(x+2y-1)(x-y+3)0表示的區(qū)域.二元一次不等式（組）與平

10、面區(qū)域第2課時(shí)【教學(xué)目標(biāo)】1知識(shí)與技能：鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域；能根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，找出約束條件；2過程與方法：經(jīng)歷把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，體會(huì)集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；3情態(tài)與價(jià)值：結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】理解二元一次不等式表示平面區(qū)域并能把不等式（組）所表示的平面區(qū)域畫出來；【教學(xué)難點(diǎn)】把實(shí)際問題抽象化，用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域?！窘虒W(xué)過程】復(fù)習(xí)引入二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊

11、界直線）判斷方法：由于對(duì)在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y)，把它的坐標(biāo)（x,y)代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）。隨堂練習(xí)11、畫出不等式2+y-60表示的平面區(qū)域.2、畫出不等式組表示的平面區(qū)域。3畫出不等式x+4y4表示的平面區(qū)域.解：先畫直線x+4y-40(虛線)，把原點(diǎn)(0，0)代入x+4y-4040，因?yàn)閤+4y-40，說明原點(diǎn)在要求的區(qū)域內(nèi)，不等式x+4y-40表示的平面區(qū)域與原點(diǎn)在直線x+

12、4y-4=0的一側(cè)，即直線x+4y-4=0的左下部分的平面區(qū)域.師在確定這兩個(gè)點(diǎn)集的交集時(shí)，要特別注意其邊界線是實(shí)線還是虛線，還有兩直線的交點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是空點(diǎn).4用平面區(qū)域表示不等式組的解集.分析：由于所求平面區(qū)域的點(diǎn)的坐標(biāo)要同時(shí)滿足兩個(gè)不等式，因此二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的交集，即各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的公共部分.解：不等式y(tǒng)-3x+12表示直線y=-3x+12下方的區(qū)域；不等式x2y表示直線上方的區(qū)域.取兩個(gè)區(qū)域重疊的部分，下圖中的陰影部分就表示原不等式組的解集.例1某人準(zhǔn)備投資1 200萬元興辦一所完全中學(xué).對(duì)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后,他得到了下面的數(shù)據(jù)表格：

13、(以班級(jí)為單位)學(xué)段班級(jí)學(xué)生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)/萬元教師年薪/萬元初中45226/班2/人高中40354/班2/人分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件.若設(shè)開設(shè)初中班x個(gè),高中班y個(gè),根據(jù)題意,總共招生班數(shù)應(yīng)限制在2030之間,所以應(yīng)該有什么樣的限制?20x+y30.考慮到所投資金的限制,又應(yīng)該得到什么?26x+54y+2×2x+2×3y1 200,即x+2y40.另外,開設(shè)的班數(shù)不能為負(fù),則x0,y0.把上面四個(gè)不等式合在一起,得到用圖形表示這個(gè)限制條件,請(qǐng)同學(xué)完成.得到圖中的平面區(qū)域(陰影部分).例2一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷

14、酸鹽4噸，硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料的主要原料是磷酸鹽1噸，硝酸鹽15噸.現(xiàn)庫存磷酸鹽4噸，硝酸鹽66噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.若設(shè)x、y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù),則應(yīng)滿足什么樣的條件?滿足以下條件在直角坐標(biāo)系中完成不等式組(*)所表示的平面區(qū)域.課堂練習(xí)(1)(2)例3 某人準(zhǔn)備投資 1 200萬興辦一所完全中學(xué)，對(duì)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格（以班級(jí)為單位）：學(xué)段班級(jí)學(xué)生人數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)/萬元教師年薪/萬元初中45226/班2/人高中40354/班2/人分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述的限制

15、條件。解：設(shè)開設(shè)初中班x個(gè)，開設(shè)高中班y個(gè)，根據(jù)題意，總共招生班數(shù)應(yīng)限制在20-30之間，所以有考慮到所投資金的限制，得到即 另外，開設(shè)的班數(shù)不能為負(fù)，則把上面的四個(gè)不等式合在一起，得到：用圖形表示這個(gè)限制條件，得到如圖的平面區(qū)域（陰影部分）例4 一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t,硝酸鹽15t,現(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。解：設(shè)x,y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：在直角坐標(biāo)系中可表示成如圖的平面區(qū)域（陰影部分）。補(bǔ)充例題例1、畫出下列不等式表示的區(qū)域(1) ； (2) 分析：(1)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不等式組； (2)注意到不等式的傳遞性，由，得，又用代，不等式仍成立，區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱。解：(1)或矛盾無解，故點(diǎn)在一帶形區(qū)域內(nèi)（含邊界）。(2) 由，得；當(dāng)時(shí)，有點(diǎn)在一條形區(qū)域內(nèi)(邊界)；當(dāng)，由對(duì)稱性得出。指出：把非規(guī)范形式等價(jià)轉(zhuǎn)化為規(guī)范不等式組形式便于求解例2、利用區(qū)域求不等式組的整數(shù)解分析：不等式組的實(shí)數(shù)解集為三條直線，所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)。設(shè)，求得區(qū)域內(nèi)點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍，取出的所有整數(shù)值，再代回原不等式組轉(zhuǎn)化為的一元不等式組得出相應(yīng)的的整數(shù)值。解：設(shè)，。于是看