全國大學生數(shù)學建模C題月上柳梢頭

1、承諾書我們仔細閱讀了全國大學生數(shù)學建模競賽章程和全國大學生數(shù)學建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權(quán)全

2、國大學生數(shù)學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：我們的報名參賽隊號（12位數(shù)字全國統(tǒng)一編號）：參賽學校（完整的學校全稱，不含院系名）：參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3.指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期：年月日（此承諾書打印簽名后作為紙質(zhì)論文的封面，注意電子版論文中不得出現(xiàn)此頁。以上內(nèi)容請仔細核對，特別是參賽隊號，如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。）賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會填寫）：2015高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁

3、賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人備注送全國評獎統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會填寫）：全國評閱統(tǒng)一編號（由全國組委會填寫）：此編號專用頁僅供賽區(qū)和全國評閱使用，參賽隊打印后裝訂到紙質(zhì)論文的第二頁上。注意電子版論文中不得出現(xiàn)此頁，即電子版論文的第一頁為標題和摘要頁。月上柳梢頭摘要北宋歐陽修膾炙人口的詩句“月上柳梢頭，人約黃昏后”描寫了詩人與佳人相約的情景，同時又隱含了相關天文學的知識，情景交融又富含哲理，被世人廣為流傳。本文首先從天文學的角度對該詩句進行賞析，然后從詩人描寫的情景出發(fā)利用相關的基本天文學、物理學、知識在適當簡化的基礎上建立了數(shù)學模型。一年當中同一地點每天日落月出的時間均不同，而且

4、同一時間不同地點日落月出的時間也不同，我們把一年當中日期的變化轉(zhuǎn)換成太陽直射點高度的變化（-23.26至23.26），把地理位置的不同用經(jīng)緯度來描述，這樣不同日期不同地點日落月出的時間就可以寫成一個關于緯度、經(jīng)度、太陽直射高度的多元函數(shù)Tsun（，）和Tmoon（，）。由于月上柳梢和黃昏同時發(fā)生，所以Tsun（，）與Tmoon（，）時間差在一個很小的范圍之間。而且，經(jīng)過人們長時間的觀察結(jié)果顯示，日落月出同時發(fā)生，也就是說地球太陽月球三者共線的時間只能在農(nóng)歷的每月15號，再利用Maple數(shù)學計算軟件編寫相應的程序就可以計算出地球上任意一位置在農(nóng)歷每月15號能否發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場

5、景。本文根據(jù)相關的天文學資料驗證了我們所建的模型在一定的誤差范圍內(nèi)是合理的，并且預測2016年農(nóng)歷8月15號可以發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景，根據(jù)模型判斷出2016年哈爾濱、上海、昆明、成都可以發(fā)生這一場景，烏魯木齊不能發(fā)生這一場景。最后對所建模型及求解方法的優(yōu)缺點進行客觀評價，并提出了相應的改進方法。關鍵詞：Maple、經(jīng)緯度、日落時間函數(shù)、月出時間函數(shù)、線性規(guī)劃一、問題的重述“月上柳梢頭，人約黃昏后”是北宋學者歐陽修的名句，寫的是與佳人相約的情景。請用天文學的觀點賞析該名句，并進行如下的討論：1. 定義“月上柳梢頭”時月亮在空中的角度和什么時間稱為“黃昏后”。根據(jù)天文學的基本知識

6、，在適當簡化的基礎上，建立數(shù)學模型，分別確定“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間。并根據(jù)已有的天文資料（如太陽和月亮在天空中的位置、日出日沒時刻、月出月沒時刻）驗證所建模型的合理性。2. 根據(jù)所建立的模型，分析2016年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間。根據(jù)模型判斷2016年在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊是否能發(fā)生這一情景？如果能，請給出相應的日期與時間；如果不能，請給出原因。二、基本假設1.不考慮月食的形成。2.假設天氣晴朗，便于觀察。3.假設地面平整，不考慮高山、建筑物對觀察的影響。一個質(zhì)點。5.不考慮太陽落山時云層對太陽光線的散射效應。三、符號約定

7、1. 緯度2. 經(jīng)度3.sun1 一二季度太陽直射點高度函數(shù) (-23.2623.26)2 三四季度太陽直射點的高度函數(shù) (-23.2623.26)5.moon1前半個月月亮直射的高度函數(shù)(-5.15.1)2后半個月月亮直射點的高度函數(shù) (-5.15.1)7.Tsun日落時間函數(shù)8.Tmoon 月出時間函數(shù)9.n1該天在前兩個季度或后兩個季度中天的序數(shù)（譬如5月5日，它是第二季度中的第五天，n1=105）10.n2前半個月或者后半個月天的序數(shù)（譬如5月17號，n2=2）11. 月球每小時相對于地球轉(zhuǎn)過的弧度12.DT 日落月出時間差的絕對值四、問題分析生查子元夕歐陽修去年元夜時，花市燈如晝。月

8、上柳梢頭，人約黃昏后。今年元夜時，月與燈依舊。不見去年人，淚濕春衫袖。圖一“月上柳梢頭，人約黃昏后”意境圖這首詞是一首相思詞，寫去年與情人相會的甜蜜與今日不見情人的痛苦，明白如話，饒有韻味，也寫出了情人的美麗和當日相戀時的溫馨甜蜜，又寫出了今日伊人不見的悵惘和憂傷。其中這句“月上柳梢頭，人約黃昏后”隱含天文學的相關知識，間接的告訴了我們詩人與佳人約會的時間，此時正好是農(nóng)歷正月十五日太陽剛落山月亮剛升起的黃昏佳時?！霸律狭翌^，人約黃昏后”二句言有盡而意無窮。柔情密意溢于言表。假設柳樹高度為5m，人距柳樹的距離20米,m,根據(jù)三角函數(shù)和相似三角形基本數(shù)學知識求出月亮在空中的角度為9.36.根據(jù)天

9、文學知識和日常觀察經(jīng)驗定義黃昏后時間為日落到月出的時間差或者月出到日落的時間差，不超過10分鐘。3. 日落時間的計算以地球中心為原點O,赤道所在平面為XY平面,東經(jīng)120度指向西經(jīng)60度為Y軸正方向.球心指向北極為Z軸正方向.有了Y軸與Z軸就可定X軸的方向(從東經(jīng)30度指向西經(jīng)150度)。球面方程:X2 + Y2 + Z2 = 1 (設地球直徑為1) 由于地球繞太陽運轉(zhuǎn)時地軸與黃道平面存在一夾角（23o26、），所以會導致太陽直射點在北回歸線與南回歸線之間變化。這時晨昏線與經(jīng)線就會存在一定的偏差，因此我們對這一偏差做坐標變換進行修訂如下：日出日落時刻圈方程:Y2 + Z2 = 1 (Z以Z軸作

10、坐標變換) Z=Z*sin(+90)其中，sun1=23.26*n188.8-23.26*P1801,2季度太陽直射點高度的變化函數(shù)sun2=(23.26-23.26*n188.8)*P180 3,4季度太陽直射點高度的變化函數(shù)求緯度為度時日落時刻與同經(jīng)度下赤道上點的日落時間的差值.先解出緯度為度時對應的X,Y坐標. x=sin*sin+2*cos(+2)cos*cosy=-(1-x2-sin*sin)0.5所以，日落時間我們可以寫成如下形式，下式中的常數(shù)14代表經(jīng)緯度都為0時日落的時間，第二項的含義是由經(jīng)度引起的時間修正，第三項代表同一經(jīng)度上由維度的變化引起的時間修正4.月出時間的計算類比日

11、落時間的計算方法，我們就可以寫月出時間關于經(jīng)緯度及號數(shù)的函數(shù)，但是，在計算月初時間時由于地球在自轉(zhuǎn)的同時月球還在繞地球轉(zhuǎn)動，所以月亮相對于地球公轉(zhuǎn)的角速度速度為地球自傳角速度減月球繞地球公轉(zhuǎn)的角速度，如此，我們就可計算出每小時內(nèi)月亮相對于地球轉(zhuǎn)過的角度為：同樣的方法我們就可以求解出緯度為度時對應的X,Y坐標其中，moon1= 5.129.6*n2-5.1*P180 1-15日月亮直射點高度的變化moon1=5.1-5.129.6*n2*P180 16-30日月亮直射點高度的變化所以，月出時間我們可以寫成如下形式，下式中的常數(shù)2代表經(jīng)緯度都為0時1號月出的時間，第二項代表每月號數(shù)不同引起的時間變

12、化修正，第三項的含義是由經(jīng)度引起的時間修正，第四項代表同一經(jīng)度上由維度的變化引起的時間修正5.月出日落時間差根據(jù)3，4中得出的日落和月出的時間函數(shù)式，我們將其作差，取絕對值。如果該差值的差值的變化范圍恰好小于等于我們剛開始定義的“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景的時間段，則，可以發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一現(xiàn)象。經(jīng)過人們長時間的觀察結(jié)果顯示，日落月出同時發(fā)生，也就是說地球太陽月球三者共線的時間只能在農(nóng)歷的每月15號，再利用Maple數(shù)學計算軟件編寫相應的程序以計算出北京在農(nóng)歷每月15號日落月出的時間差，并畫出了直觀的點狀圖，如下：根據(jù)前面“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景的時間段的定義及

13、上圖可知，北京地區(qū)在2016年農(nóng)歷4月15日和9月15日可發(fā)生上述現(xiàn)象。根據(jù)相關的文學資料，詩人寫此詩的地點為今湖北宜昌附近，時間為農(nóng)歷正月15日，根據(jù)宜昌的經(jīng)緯度我們計算出詩人寫詩那一天的日落時間為17:58，月出時間為18:07，時間差為9分鐘，在一定的誤差范圍內(nèi)可以發(fā)生詩人所描繪的場景，所以我們所建的模型基本正確。并預測出了題目第二問中列舉的六個城市在農(nóng)歷每月15號日落月出的時間差，見下圖：根據(jù)圖形可以預測出上海、哈爾濱、烏魯木齊三地區(qū)地區(qū)在農(nóng)歷4月15和9月15可發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景，廣州、成都、昆明可在農(nóng)歷4月15，5月15,8月15日，9月15可發(fā)生“月上柳梢頭，

14、人約黃昏后”這一場景。五、模型評價及改進本文圍繞“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景在不同地點發(fā)生的時間的計算展開。本文利用Maple計算軟件編程求解是該模型的一大優(yōu)點，大大簡化了計算過程并提高了計算精度，另外本模型的思路較清晰，從基本的建立直角坐標系開始，到推導日落月出時間的過程都詳細的給出了具體的計算方法和思考過程，而且，我們在計算時考慮到了白道平面與赤道平面的夾角及地軸的偏轉(zhuǎn)對日落月出時間造成的影響。所應用的方法簡單、易懂其實用性也很高。不足之處在于模型理想化，沒有全面的考慮太陽落山時云層對太陽光線的散射效應以及期間可能發(fā)生的月食形成過程，只是具體的計算出了一些特殊的城市發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景的時間。我們計劃后續(xù)會繼