第六章典型習(xí)題解答與提示

1、習(xí) 題 6-11A：；B：；C：；D：。2平面；平面；軸上；D：軸上。3（1）5；（2）。4（1）以為圓心，為半徑的圓；母線平行軸的圓柱面；（2）橢圓；橢圓柱面，母線平行于軸；（3）拋物線；拋物柱面，母線平行于軸。5（1）平行于坐標面的平面；（2）坐標面；（3）平行于坐標面的平面；（4）母線平行于軸的圓柱面；（5）母線平行于軸且過軸，開口向軸正向的拋物柱面。6（1）兩平面的交線；（2），是平面上的圓，圓心，半徑為1；（3），是平面上的圓，圓心，半徑。*習(xí) 題 6-21。2證明：，ABDEC即，也即，且同向，所以，且/，如圖6-2所示。圖 6-2 習(xí)題 2 示意3（1）在，軸的投影分別是3，1，

2、2；（2）；（3）；（4）。4，。5依題意知，則， 整理得。 當(dāng)，有； 當(dāng)，有。6（1）；（2）；（3）。7（1）；（2）；（3）。8提示：，。9因，故，構(gòu)成一個三角形，故而由余弦定理可知，即；故，即。10根據(jù)向量數(shù)乘定義，欲使/，有，代入方程，則得，故，故所求向量。11（1）；（2）。12（1）；（2）。13提示：設(shè)，記為，所求向量為，。14。15因，則，又，則，即。其幾何解釋為由，所構(gòu)成的三角形，其面積可表示為。習(xí) 題 6-31.2。3（1）為坐標面；（2）為平行于坐標面且過點的平面；（3）為平行于軸的平面，與坐標面的交線為；（4）為過軸的平面，且與坐標面的交線為。4提示：利用截距式方程：

3、所求平面方程為。5（1）；（2）。6（1）或；（2）或。7取 取直線上點，則點向式方程為， 參數(shù)方程為。8（1）提示，將直線參數(shù)方程代入平面方程， 求出，得交點為；（2）同樣方法可得交點為。9（1）；（2）；（3）10直線的方向向量為，所求平面方程為，即。11。12提示：設(shè)球面方程為，將A、B、C的坐標代入，可得，所求的球面方程為，即。故球心為，半徑。13（1）球心為，半徑為2；（2）球心為，半徑為。14（1）圓柱面；（2）雙曲柱面；（3）橢圓柱面；（4）拋物柱面。15（1）是旋轉(zhuǎn)橢球面，由坐標面中的橢圓曲線繞軸旋轉(zhuǎn)生成或由坐標面中的橢圓曲線繞軸旋轉(zhuǎn)生成；（2）是特殊的旋轉(zhuǎn)橢球面球面，旋轉(zhuǎn)方法

4、類似（1）；（3）不是旋轉(zhuǎn)曲面；（4）是旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面。由坐標面中的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)生成或由坐標面中的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)生成；（5）不是旋轉(zhuǎn)曲面；（6）是旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面，旋轉(zhuǎn)方法類似（4）。16（1）繞軸旋轉(zhuǎn)，是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面；繞軸旋轉(zhuǎn)，是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面； （2）繞軸，繞軸旋轉(zhuǎn)，其方程分別是與，兩者都是圓錐曲面； （3）繞軸旋轉(zhuǎn)，是旋轉(zhuǎn)拋物面。17（1）分別表示直線與平面；（2）分別表示直線與平面； （3）分別表示圓周與圓柱面；（4）分別表示雙曲線與雙曲柱面； （5）分別表示兩直線的交點與兩平面交線； （6）分別表示直線和橢圓的交點與橢圓柱面的平面的交線。18（1）橢球面；（2）橢圓拋物面；（3）單

5、葉雙曲面；（4）雙葉雙曲面； （5）雙曲拋物面； （6）圓錐面。（草圖略）19消去，過交線而母線平行于軸的柱面方程為即，為雙曲柱面。20，圖略。習(xí) 題 6-41（1）定義域為；（2）定義域為；（3）定義域為；（4）對，要求，即，對，要求，即，取公共部分，原函數(shù)定義域為。2（1）在原點處間斷；（2）在直線上間斷；（3）在拋物線上間斷。3（1）與（2）均在平面上連續(xù)。4（1）是初等函數(shù)定義域內(nèi)的點，直接代入得極限值為；（2）；（3）；（4）。5（1）否（提示，沿直線）；（2）否（提示，沿曲線）。習(xí) 題 6-51。2（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。3提示：可求出，代入驗證。4提示：，

6、代入驗證。5（1），；（2），；（3），同樣，；（4）。6（1）；（2）；（3）；（4）。7設(shè)，則，取，。8設(shè)，則， 取，則。9設(shè)，取，則對角線的變化近似為 也就是對角線近似縮短5 cm。習(xí) 題 6-61提示：利用公式，則。2提示：利用公式，可得； 由，可得。3提示：利用公式，可得。4提示：， 即。5 所以。6（1）設(shè)為1號中間變量，為2號中間變量， 則；（2）；（3）。7令，則， 即。8令，則即。9由于，因而，只是的函數(shù)，故。10（1）提示，設(shè)，求出，利用，可得； （2）提示，設(shè)，同（1）可得； （3）提示，設(shè)； （4）。11（1）由于，因而有，即，； （2）由于，因而有，所以。12（1）由

7、于，則，即； （2）由于，故，則，即； （3）由于，則，即。習(xí) 題 6-71（1）提示，先求駐點，利用定理2，判定處無極值，處有極小值；（2）提示，駐點為，利用定理2判定，為極小值；（3）， 由，得，在處，因此，為極小值；在處，因此它們都不是極值點，在處,，因此為極大值（提示：）；（4）提示：先求駐點，利用定理2， 在處不取極值，在處為極小值，均為零。2設(shè)體積為V而長方體的三條棱長為，則該問題就是在條件（1）下面求函數(shù)的最大值。作函數(shù)，求其對的偏導(dǎo)，并令其為零，得（2）再與（1）聯(lián)立求解，因都不等于零，所以由式（2）可得，則，代入（1）式可得故在體積為V的長方體中，以棱長為的正方體的表面積為最

8、小，最小表面積為。3設(shè)第一段，第二段各為，于是第三段為，所以要研究的函數(shù)是而，由，解得，因是惟一駐點，而實際問題的最值存在，因此線段必須三等分。4設(shè)倉庫的側(cè)墻長為，前墻長為，高為，則倉庫的造價為其中要滿足條件： 由拉格朗日乘數(shù)法，設(shè) 則由式（2）和式（3）得，即，又由式（3）和式（4）得，即。將代入式（1），解出，所以，當(dāng)倉庫的前墻的長度為100 dm，高為75 dm時，所需的造價最少。復(fù) 習(xí) 題 六*1不妨設(shè)任意點O為坐標原點，則，且，故，所以。*2因為，故。*3(1)欲使垂直，即，故； （2），即，整理得 （3）同向，??； （4）反向，無解。*4，即，反之亦然，故與共線的充要條件是共線。*5。*6設(shè)所求之點為，則依題意有，解得，因為原點到的距離為，而故舍去，則取，則所求的點為。 7，消去得圓，消去得圓，消去得直線。*8設(shè)橢球面為，將代入得故所求橢球面方程為。9（1）；（2）；（3）。10先說明在點處可微，則它在該點一定連續(xù)，因為在處可微，即，所以當(dāng)時，有，即在該點連續(xù)，若在處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，它在點卻未必可微，如二元函數(shù)在處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，但它在該點不連續(xù)，因而再由可知，該函數(shù)在該點一定不可微。11，左邊右邊。12。13（1）； （2）方程兩邊對求偏導(dǎo)，可得，故，同樣方法，可得； （3）利用全微分形式的不變性。14（1）；，所