厚積薄發(fā)-高考數(shù)學(xué)四十一講---第三十六講離散型隨機變量的分布列期望與方差

1、第三十六講 離散型隨機變量的分布列、期望與方差一、引言“離散型隨機變量的分步列，均值和方差”在“排列與組合”知識的延伸，在本講的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們將通過具體實例理解隨機變量及其分布列、均值和方差的概念，認識隨機變量及其分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性要求同學(xué)們會用隨機變量表達簡單的隨機事件，會用分布列來計算這類事件的概率，計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題在高考中，這部分知識通常有一道解答題，占1214分左右，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力，凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值二、考點梳理知識結(jié)構(gòu)：1.離散型隨機變量的分布列：設(shè)離散型隨機變量可能取的值為x1，x2，xi，每一個值xi（i=1

2、，2，）的概率P（=xi）=pi，則稱表為離散型隨機變量的概率分布（分布列）2.隨機變量的期望與方差：為隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望+為隨機變量的方差三、典型例題選講例1 某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目如果成功，一年后可獲利12%；一旦失敗，一年后將失去全部資金的50%下邊是過去200例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果：投資成功：192次；投資失?。?次.則該公司一年后估計可獲收益的期望是 （萬元）解析：獲得收益的概率分布為：E=××0.476（萬元）.歸納小結(jié)：收益的取值及相應(yīng)概率的確定是解決問題的基礎(chǔ)本題考查求數(shù)學(xué)期望的方法，按照確定隨機變量的取值求出相應(yīng)的概率再求數(shù)學(xué)期望的步驟

3、來求例2（2009年安徽卷）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū)B肯定是受A感染的對于C，因為難以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機變量寫出X的分布列（不要求寫出計算過程），并求X的均值（即數(shù)學(xué)期望）分析一：X的所有可能取值為1，2，3;.分析二：共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是：ABCDABCDABCDABDCACDBAB CD在情形和之下，A直接感染了一個人；在情形、之下，A直接感染了兩個人；在情形之下，A直接感染

4、了三個人解：隨機變量X的分布列是：X的均值為歸納小結(jié)：本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值例3 某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下：現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為（1）求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率；（2）求的分布列.解：（1）求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率為；（2）的可能取值為7、8、9、10；分布列為：的數(shù)學(xué)希望為歸納小結(jié)：在求最高環(huán)數(shù)為8環(huán)時，有一種可能是7環(huán)、8環(huán)，學(xué)生容易認為其概率值為0.2×0.3，沒有考慮

5、到兩次射擊依次為7環(huán)、8環(huán)和8環(huán)、7環(huán)，其概率值應(yīng)為2×0.2×0.3本題考查學(xué)生對于離散型隨機變量的概率及期望的求法的掌握，另一方面也考查學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想和運算求解的能力例4（2009山東卷理）在某校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次.某同學(xué)在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為（1）求q的值；（2）求隨機變量的數(shù)學(xué)期望E；（3）試比較該同學(xué)選擇都在B處投

6、籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小解:（1）設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A，在B處投中為事件B，則事件A，B相互獨立，且P(A)=0.25，P(B)= q，根據(jù)分布列知：=0時=0.03，所以，q=0.8（2）當(dāng)=2時，P1=0.75q()×2=1.5q()=0.24當(dāng)=3時，P2 =0.01，當(dāng)=4時，P3=0.48，當(dāng)=5時，P4=0.24所以隨機變量的分布列為：隨機變量的數(shù)學(xué)期望（3）該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為；該同學(xué)選擇（1）中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72由此看來該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大歸納小結(jié)：

7、本題主要考查了互斥事件的概率，相互獨立事件的概率和數(shù)學(xué)期望，以及運用概率知識解決問題的能力例5 某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)用表示，椐統(tǒng)計，隨機變量的概率分布如下：（）求a的值和的數(shù)學(xué)期望；（）假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率解：（）由概率分布的性質(zhì)知，則的分布列為：（）設(shè)事件表示“2個月內(nèi)共被投訴2次”，事件表示“2個月內(nèi)有一個月被投訴2次，另一個月被投訴0次”，事件表示“2個月內(nèi)每個月均被投訴1次”，則由事件的獨立性可得：；故該企業(yè)在這兩個月共被投訴2次的概率為0.17歸納小結(jié)：本題考查概率分布的性質(zhì)，互斥事件的概率加法公式

8、，相互獨立事件的概率乘法公式，對學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力有要求例6（2008年廣東卷）隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為（1）求的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即的數(shù)學(xué)期望）；（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1，一等品率提高為70如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？解：（1）的所有可能取值有6，2，1，2；，故的分布列為：（2）；（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為：依題意，E(x)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03所以三等品率最多為3例7（2008年湖北卷）袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n=1，2，3，4）現(xiàn)從袋中任取一球表示所取球的標號（）求的分布列，期望和方差；（）若=ab，E=1，D=11，試求a，b的值解：（）的分布列為：（）由，得a2×2.7511，即又所以當(dāng)a=2時，由12×1.5+b，得b=2；當(dāng)a=2時，由12×1.5+b，得b=4或即為所求歸納小結(jié)：本小題主要考查概率、隨機變量的分布列、期望和方差等概