221直線的參數(shù)方程

1、2.2.1直線的參數(shù)方程(1)主備：馮宗明 喻浩 徐洪燕 審核：牟必繼有計劃就去做，不要總找借口一、教學目標一、教學目標：知識與技能：知識與技能：了解直線參數(shù)方程的條件及參數(shù)的意義 過程與方法過程與方法：能根據(jù)直線的幾何條件,寫出直線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義情感、態(tài)度與價值觀情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 二重難點：教學重點二重難點：教學重點：曲線參數(shù)方程的定義及方法教學難點：教學難點：選擇適當?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程. 三、教學方法：三、教學方法：啟發(fā)、誘導發(fā)現(xiàn)教學.（1）在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐）在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標

2、標x 、y都是某個變數(shù)都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即的函數(shù)，即并且對于并且對于t的每一個允許值，由上述方程組所確定的的每一個允許值，由上述方程組所確定的點點M（x,y）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫做這條曲線的做這條曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程 ，聯(lián)系，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)之間關(guān)系的變數(shù)叫做叫做參變數(shù)參變數(shù)，簡稱，簡稱參數(shù)參數(shù)。參數(shù)方程的參數(shù)可以是有。參數(shù)方程的參數(shù)可以是有物理、幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯意義的物理、幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯意義的變數(shù)。變數(shù)。( )( )xf tyg t（2） 相對于參數(shù)方程來說，前面學過的直接給出曲相對于參數(shù)方程來

3、說，前面學過的直接給出曲線上點的坐標關(guān)系的方程，叫做曲線的線上點的坐標關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程普通方程。1、參數(shù)方程的概念、參數(shù)方程的概念一、復習回顧一、復習回顧注意：注意：(1)、參數(shù)方程的特點是沒有直接體現(xiàn)曲線上點的橫、縱、參數(shù)方程的特點是沒有直接體現(xiàn)曲線上點的橫、縱坐標之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點的橫、縱坐標與參數(shù)坐標之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點的橫、縱坐標與參數(shù)之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。(2)、參數(shù)方程的應用往往是在、參數(shù)方程的應用往往是在x與與y直接關(guān)系很難或不可直接關(guān)系很難或不可能體現(xiàn)時，通過參數(shù)建立間接的聯(lián)系。能體現(xiàn)時，通過參數(shù)建立間接的聯(lián)系。(3)同一曲線選取參數(shù)不同同一曲

4、線選取參數(shù)不同, 曲線參數(shù)方程形式也不一樣曲線參數(shù)方程形式也不一樣;(4)在實際問題中要確定參數(shù)的取值范圍在實際問題中要確定參數(shù)的取值范圍.2、求曲線的參數(shù)方程一般步驟、求曲線的參數(shù)方程一般步驟: （1）建立直角坐標系）建立直角坐標系, 設(shè)曲線上任一點設(shè)曲線上任一點P坐標為坐標為 (x,y) ；（2）選取適當?shù)膮?shù)）選取適當?shù)膮?shù)t;（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì), 物理意義物理意義, 建立點建立點P坐標與參數(shù)的函數(shù)式坐標與參數(shù)的函數(shù)式;（4）證明這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程）證明這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程;請同學們回憶:我們學過的直線的普通方程

5、都有哪些?兩點式:112121yyxxyyxx點斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般式:0AxByCk 2121yyxxtan3、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？4、向量的數(shù)量是怎樣的？、向量的數(shù)量是怎樣的？2、直線的參數(shù)方程有許多形式，但我們主要學習、直線的參數(shù)方程有許多形式，但我們主要學習其中的兩種基本的形式：其中的兩種基本的形式：二、新課講解：二、新課講解：1、引出問題引出問題:直線的參數(shù)方程是怎樣的？今天我們直線的參數(shù)方程是怎樣的？今天我們來研究來研究直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程，t （1 1）一條直線）一條直線L L的傾斜角是的傾斜角

6、是30300 0，并且經(jīng)過點，并且經(jīng)過點P（2，3），如何描述直線），如何描述直線L上任意點的位置呢？上任意點的位置呢？3 3、教師引導學生推導直線的參數(shù)方程：、教師引導學生推導直線的參數(shù)方程：OxylP00 x=2+tcos30y=3+tsin30所求直線的參數(shù)方程為：所求直線的參數(shù)方程為：(t為參數(shù)為參數(shù))M(x,y)是直線上的是直線上的任意任意一點一點.其中其中參數(shù)參數(shù)t的幾何意義的幾何意義是是叢點叢點P到到M的位移的位移,可以用有向線段可以用有向線段PM=t的數(shù)量表示。的數(shù)量表示。 M設(shè)直線上的任意一點設(shè)直線上的任意一點M(x,y)QPM=t 3 3、教師引導學生推導直線的參數(shù)方程：、

7、教師引導學生推導直線的參數(shù)方程：所求直線的參數(shù)方程為：所求直線的參數(shù)方程為：如果已知直線如果已知直線L經(jīng)過兩個定點經(jīng)過兩個定點Q(1，1),P(4，3),那么又如何描述直線那么又如何描述直線L上任意點的位置呢？上任意點的位置呢？OxylPQ1+4x=1+1+3y=1+其中參數(shù)其中參數(shù) 的幾何意義是點的幾何意義是點M分有向線段分有向線段QP的數(shù)量比。的數(shù)量比。t( 為參數(shù)為參數(shù)) M設(shè)直線上的任意一點設(shè)直線上的任意一點M(x,y)BNAQMQM= =，MPMP令令0(1)(2)leeMM如何利用傾斜角寫出直線 的單位方向向量 ？如何用 和的坐標表示直線上任意一點的坐標？)sin,(cos)1(

8、e),(),(),()2(00000yyxxyxyxMM eMM/0又又etMMRt 0，使使得得存存在在惟惟一一實實數(shù)數(shù)抽象概括一般的直線的參數(shù)方程：抽象概括一般的直線的參數(shù)方程：23t注:(1)直線的參數(shù)方程中哪些是變量？哪些是常量？ （ ）參數(shù) 的取值范圍是什么？ （ ）該參數(shù)方程形式上有什么特點？00000.tttMMM MetM MetMMt 直線的參數(shù)方程中參數(shù) 的幾何意義是：表示參數(shù) 對應的點到定點的距離。當與 同向時， 取正數(shù)；當與 異向時， 取負數(shù)；當點與重合時，也即是從點也即是從點P到到M的位移，可以用有向線段的位移，可以用有向線段PM的的數(shù)量表示。數(shù)量表示。抽象概括一般的

9、直線的參數(shù)方程：抽象概括一般的直線的參數(shù)方程：如果已知直線如果已知直線L經(jīng)過兩個定點經(jīng)過兩個定點Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直線的參數(shù)方程為：直線的參數(shù)方程為：OxylPQ1212x +xx=1+y +yy=1+其中參數(shù)其中參數(shù) 的幾何意義是點的幾何意義是點M分有向線段分有向線段QP的數(shù)量比：的數(shù)量比：M設(shè)直線上的任意一點設(shè)直線上的任意一點M(x,y)QMMP o當當時，時，M M為內(nèi)分點；為內(nèi)分點； 當當 時，點時，點M M與與Q Q重合。重合。o1o 當當 且且 時，時，M M為外分點；為外分點；t( 為參數(shù)，為參數(shù)， )1 t (1)(1)一條直線一條直線L L的傾斜角是的傾斜

10、角是 ,并且經(jīng)過點并且經(jīng)過點P(x0,y0)的的直線的參數(shù)方程為：直線的參數(shù)方程為：OxylP00 x=x +tcosy=y +tsin所求直線的參數(shù)方程為：所求直線的參數(shù)方程為：(t為參數(shù)為參數(shù))M(x,y)是直線上的是直線上的任意任意一點一點.其中參數(shù)其中參數(shù)t的幾何意義是的幾何意義是叢點叢點P到到M的位移的位移,可以用有向線段可以用有向線段PM的數(shù)量表示。的數(shù)量表示。4 4、抽象概括一般的直線的參數(shù)方程：、抽象概括一般的直線的參數(shù)方程：M設(shè)直線上的任意一點設(shè)直線上的任意一點M(x,y)如果已知直線如果已知直線L經(jīng)過兩個定點經(jīng)過兩個定點Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直線的參數(shù)方程為

11、：直線的參數(shù)方程為：OxylPQ1212x +xx=1+y +yy=1+其中參數(shù)其中參數(shù) 的幾何意義是點的幾何意義是點M分有向線段分有向線段QP的數(shù)量比：的數(shù)量比：M設(shè)直線上的任意一點設(shè)直線上的任意一點M(x,y)QMMP o當當時，時，M M為內(nèi)分點；為內(nèi)分點； 當當 時，點時，點M M與與Q Q重合。重合。o1o 當當 且且 時，時，M M為外分點；為外分點；t( 為參數(shù)，為參數(shù)， )1 即即，QMMP ” 當點當點M在線段在線段QP上時上時,取取“+”;當當點點M在線段在線段QP的延長線或反向延長線上時的延長線或反向延長線上時,取取“-”號。號。 三、例題講解三、例題講解。的的一一個個參

12、參數(shù)數(shù)方方程程是是）直直線線（）為為參參數(shù)數(shù)）的的傾傾斜斜角角是是（）直直線線（012160.110.70.20.20cos20sin31000000 yxDCBAttytx練習：練習：B為為參參數(shù)數(shù)）（ttytx 222213、P32 練習練習1,2,3 如果在學習直線的參數(shù)方程之前,你會怎樣求解本題呢？(*)010122 xxxyyx得：得：解：由解：由112121 xxxx，由韋達定理得：由韋達定理得：10524)(1212212 xxxxkAB251251(*)21 xx，解得：解得：由由25325321 yy，)253,251()253,251( BA，坐標坐標記直線與拋物線的交點記

13、直線與拋物線的交點2222)2532()2511()2532()2511( MBMA則則245353 的參數(shù)方程？的參數(shù)方程？）如何寫出直線）如何寫出直線（l1?221ttBA，所所對對應應的的參參數(shù)數(shù)，）如如何何求求出出交交點點（有有什什么么關(guān)關(guān)系系？，與與、）（213ttMBMAAB 21211ttMM ）（2221ttt ）（2 四、課堂練習四、課堂練習0cos1.(sinttyytaA012x=x直線為參數(shù)）上有參數(shù)分別為t 和t 對應的兩點 和B,則A,B兩點的距離為2t1A.t12.B tt12.C tt12.D tt22cos2(4sin,xa ttbacyb tt 2。在參數(shù)方

14、程為參數(shù)）所表示的曲線上有B,C兩點，它們對應的參數(shù)值分別為t、 則線段BC的中點M對應的參數(shù)值是（ ）22t1tA.12.2ttB2|2t1|tC.12|.2ttD1123.(3520,xttyt 一條直線的參數(shù)方程是為參數(shù)），另一條直線的方程是x-y-2 3則兩直線的交點與點（1，-5）間的距離是4 3124:44022043120lxylxylxy。求直線與 ：及直線：所得兩交點間的距離。9 1714 四、課堂小結(jié)四、課堂小結(jié)知識點：知識點：學習后要把握以下幾個學習后要把握以下幾個及其簡單應用，及其簡單應用，直線的參數(shù)方程的推導直線的參數(shù)方程的推導本節(jié)課我們主要學習了本節(jié)課我們主要學習了

15、的聯(lián)系；的聯(lián)系；通方程通方程）直線的參數(shù)方程與普）直線的參數(shù)方程與普（)(tan100 xxyy 量量知知識識的的聯(lián)聯(lián)系系；）直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程與與向向（2的的幾幾何何意意義義；）參參數(shù)數(shù)（t3.4tt長長，與與中中點點對對應應的的參參數(shù)數(shù)線線被被曲曲線線所所截截得得的的弦弦的的兩兩點點間間的的距距離離、直直表表示示點點的的坐坐標標、直直線線上上）應應用用：用用參參數(shù)數(shù)（2.2.1直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程(2) (1)(1)一條直線一條直線L L的傾斜角是的傾斜角是 ,并且經(jīng)過點并且經(jīng)過點P(x0,y0)的的直線的參數(shù)方程為：直線的參數(shù)方程為：OxylP00 x=x +tcosy

16、=y +tsin|PM|=t.即(t為參數(shù)為參數(shù))tM(x,y)是直線上的是直線上的任意任意一點一點.其中參數(shù)其中參數(shù)t的幾何意義是叢點的幾何意義是叢點P到到M的位移的位移,可以用有向線段可以用有向線段PM的數(shù)量表示的數(shù)量表示1 1、復習回顧：直線的參數(shù)方程：、復習回顧：直線的參數(shù)方程：M(標準形式標準形式 )當點當點M(x，y)在點在點(x0，y0)的上方時，的上方時，t0；當點當點M(x，y)在點在點(x0，y0)的下方時，的下方時，t0；當點當點M(x，y)與點與點(x0，y0)重合時，重合時，t=0. 以上反之亦然以上反之亦然00 x=x tcosy=ytsi-n-注意： (t是參數(shù)是

17、參數(shù))，這雖然不是標準形式，但，這雖然不是標準形式，但仍表示過仍表示過P(x0,y0)且傾斜角且傾斜角 為的直線，參數(shù)為的直線，參數(shù)t與標準方程與標準方程的的t是互為相反數(shù)。是互為相反數(shù)。(2, - 1)110BD (2)直線的參數(shù)方程的直線的參數(shù)方程的一般形式一般形式： (t為參數(shù)為參數(shù))其中其中(x0，y0)表示該直線上的一點表示該直線上的一點, 表示直線的斜率當表示直線的斜率當a，b分別表示點分別表示點M(x，y)在在x軸正方向與軸正方向與y軸正方向的分速度軸正方向的分速度時時,t就具有物理意義就具有物理意義時間時間,相應的相應的at，bt則表示點則表示點M(x，y)在在x軸正方向、軸正

18、方向、y軸正方向上相對軸正方向上相對(x0，y0)的位移的位移00 xxatyybtba解：由題意知則直線解：由題意知則直線PQ的方程是的方程是 (時間時間t 是參數(shù)是參數(shù))將將t=3s代入得代入得Q（8，14）。）。1 324xtyt 例一個小蟲從例一個小蟲從P（1，2）出發(fā)）出發(fā),已知它在已知它在 x軸方向的分速軸方向的分速度是度是3,在在y軸方向的分速度是軸方向的分速度是4,問小蟲問小蟲3s后的位置后的位置Q。說明：說明：(1)標準形式是一般形式的特殊情況。標準形式是一般形式的特殊情況。一般式中當一般式中當a2+b2=1且且b0就是標準形式。就是標準形式。(2)當當a2+b21，可以把一

19、般形式轉(zhuǎn)化為可以把一般形式轉(zhuǎn)化為標準標準形式。過程形式。過程 如下：如下：22= ,ab t t令2202222022()()axxab tabbyyab tab0220(1)x xataby ybt一 般 形 式 ：022022axxtabbyytab022022axxtabbyytab一般仍一般仍寫成寫成轉(zhuǎn)化之后仍表示同一條曲線。轉(zhuǎn)化之后仍表示同一條曲線。如果已知直線如果已知直線L經(jīng)過兩個定點經(jīng)過兩個定點Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直線的參數(shù)方程為：直線的參數(shù)方程為：OxylPQ1212x +xx=1+y +yy=1+其中參數(shù)其中參數(shù) 的幾何意義是點的幾何意義是點M分有向線段分有

20、向線段QP的數(shù)量比：的數(shù)量比：M設(shè)直線上的任意一點設(shè)直線上的任意一點M(x,y)QMMP o當當時，時，M M為內(nèi)分點；為內(nèi)分點； 當當 時時, ,點點M M與與Q Q重合。重合。o1o 當當 且且 時，時，M M為外分點；為外分點；t( 為參數(shù)，為參數(shù)， )1 即即，QMMP ” 當點當點M在線段在線段QP上時上時,取取“+”;當當點點M在線段在線段QP的延長線或反向延長線上時的延長線或反向延長線上時,取取“-”號。號。當當 時時. .點點M M是線段是線段QPQP的中點。的中點。o1說明說明：1、由曲線的參數(shù)方程知道，每個參數(shù)值對、由曲線的參數(shù)方程知道，每個參數(shù)值對應曲線上的一個點，所以要

21、求曲線上的一個點，應曲線上的一個點，所以要求曲線上的一個點，可先求這個點對應的那個可先求這個點對應的那個 參數(shù)的值。參數(shù)的值。)t (sintyycostxx00為參數(shù)2、直線的、直線的參數(shù)方程的標準形式參數(shù)方程的標準形式的的應用應用： (1)參數(shù)參數(shù)t的幾何意義是定點的幾何意義是定點P(x0,y0) 到到M(x,y) 的有的有向線段的數(shù)量向線段的數(shù)量,1 1即即 P PA A = = t t1212AB = t -tAB = t -t.即即PMPMt (2)設(shè)直線上的三點設(shè)直線上的三點A,B,C對應的參數(shù)分別是對應的參數(shù)分別是t1,t2 t3,則有則有過定點過定點P(x0,y0)且傾斜角且傾

22、斜角 的直線的參數(shù)方程為：的直線的參數(shù)方程為：120.= =tt1212PA PB = t tPA PB = t t1232= =ttt如點如點C是線段是線段AB的中點，則有的中點，則有特殊地，點特殊地，點P是線段是線段AB的中點，則有的中點，則有例例 1 已已知知直直線線 L 過過點點 M0（ 4，0） ，傾傾斜斜角角為為 6 (3)若若 L 與與直直線線 y=x +34交交與與點點 M， 求求 M0M （3）解一 由34) 4(33xyxy 得交點 M（4(3+1),4） 82) 04(2) 4434(|0|MM 解二 將( 1 )代入y=x+43得: 8| 8434)2321( 3423

23、4210tMMtttt 例2 已知直線L過點P（1，2） ，傾斜角為450,橢圓C：x2+2y2=8 B o A y x C P 21.:10l xyyx 例 已知直線與拋物線交于A,B兩點，求線段AB的長度和點M(-1,2)到A,B兩點的距離之積。例1ABM(-1,2)xyO解:因為把點M的坐標代入直線方程后,符合直線方程,所以點M在直線上.(2sintyt3x=-1+tcos4為參數(shù)）34所以直線的參數(shù)方程可以寫成易知直線的傾斜角為34212(222xttyt 即為參數(shù)）把它代入拋物線y=x2的方程,得2220tt1221021022tt解得，t由參數(shù) 的幾何意義得1210ttAB121

24、22MAMBttt tABM(-1,2)xyO直線參數(shù)方程的應用（標準形式）直線參數(shù)方程的應用（標準形式）1） 求一端點是求一端點是M0(x0,y0)的線段長的線段長 3） 求一端點是求一端點是M0(x0,y0)的兩線段的兩線段 長長 的和與積的和與積2) 求弦長求弦長222()13xttxyyt 求直線為參數(shù)被雙曲線所截得的弦長例3 、2222212121221212122()-132- ( )12- 4- 3032-2-()- 43 2 2 - 4( -)1 0 .2xttxyytttttttttt tttttt t把為 參 數(shù)代 入，整 理 得， 即，設(shè) 其 兩 根 為， 則，從 而 弦

25、 長錯解：錯解：錯誤分析：錯誤分析：直線的參數(shù)方程必須先轉(zhuǎn)化為標準形式后才可直線的參數(shù)方程必須先轉(zhuǎn)化為標準形式后才可運用，即要理解直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義運用，即要理解直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義2222212121 2212121 2122()32131(2)()122460.46()4 424(6)40210.xttytxyttttttttt tttttt t 把 直 線 參 數(shù) 方 程 化 為 標 準 參 數(shù) 方 程為 參 數(shù) ，代 入， 即，整 理 ， 得設(shè) 其 兩 根 為， 則，從 而 弦 長 為正解：正解： 12222,111641112|PllxyABCDPA PBP

26、A PBPCPD4過且兩兩互相垂直的直線 ， 分別交橢圓于 、 與 、 ；求的最值；求證：為定值例 、 112222222222 2cos()1sin1164(cos4sin)(4cos8sin)808cos4sin88cos4sin13sin82.1A Bllxttytxyttt tPA PBPA PB 設(shè)直線 的傾斜角為 ，則 的參數(shù)方程為為參數(shù) ，代入橢圓的方程中，整理得，所以，所以，所以的最大值為 ，解最小值為析： 1212222222222cos()2 ()1sin()21164(sin4cos)4(2cossi2n )80llllllxttytxytt 證明：因為，不妨設(shè) 的傾斜角

27、小于 的傾斜角，則 的傾斜角為，因此直線 的參數(shù)方程為為參數(shù)，代入橢圓的方程中，整理得，222813 c o s11|13 s in13 c o s 885 8CDP CP DttP AP BP CP D所 以，所 以， 為 定 值 點評：點評：要求要求A、B兩點到兩點到P的距離之和或積，由參數(shù)的幾何的距離之和或積，由參數(shù)的幾何意義，即只要求意義，即只要求|tA|+|tB|或或|tAtB|，求，求|AB|即求出即求出|tA-tB|，運用，運用韋達定理和直線的參數(shù)方程中韋達定理和直線的參數(shù)方程中t的幾何意義即可，是解決的幾何意義即可，是解決直線和二次曲線問題常用的方法之一直線和二次曲線問題常用的

28、方法之一 練練習習與與作作業(yè)業(yè) 1. 直直線線tytx223222(t 為為參參數(shù)數(shù))上上到到點點 M(2, 3)距距離離為為2且且 在在點點 M 下下方方的的點點的的坐坐標標是是_ 2.直直線線tytx 3 2(t 為為參參數(shù)數(shù))被被雙雙曲曲線線 x2 y2=1 截截得得的的弦弦長長為為( ) (A) 10 (B) 102 (C) 210 (D) 310 3.過過點點 P（5， 3） ，且且傾傾斜斜角角 滿滿足足 cos = 53 的的直直線線與與 圓圓 x2+y2=25 交交于于 P1, P2兩兩點點,則則| PP1| | PP2| =_ , 弦弦 P1P2中中點點 M 的的坐坐標標是是_

29、 (3, 4)B9)2533,2544(直線的參數(shù)方程：直線的參數(shù)方程：經(jīng)過兩個定點經(jīng)過兩個定點 的直線的參數(shù)方程為：的直線的參數(shù)方程為：112212( ,), (,)()Q x yP xyxx121211xxxyyy（ 為參數(shù) ， ） 1 例例2求點求點A（1，2）關(guān)于直線）關(guān)于直線l：2x 3y +1 =0的的對稱點對稱點A 的坐標。的坐標。解：由條件，設(shè)直線解：由條件，設(shè)直線AA 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 (t是參數(shù)是參數(shù))，A到直線到直線l的距離的距離d = ， t = AA = ，代入直線的參數(shù)方程得代入直線的參數(shù)方程得A ( ， )。 21133213xtyt 5131013331

30、3413點評：求點關(guān)于直線的對稱點的基本方法是先作垂線，求出交點，點評：求點關(guān)于直線的對稱點的基本方法是先作垂線，求出交點，再用中點公式，而此處則是充分利用了參數(shù)再用中點公式，而此處則是充分利用了參數(shù) t 的幾何意義。的幾何意義。二、求解中點問題二、求解中點問題 例例3已知雙曲線已知雙曲線 ，過點，過點P（2，1）的）的直線交雙曲線于直線交雙曲線于P1，P2，求線段，求線段P1P2的中點的中點M的的軌跡方程。軌跡方程。 2212yx 分析：中點問題與弦長有關(guān)，考慮用直線的參分析：中點問題與弦長有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有數(shù)方程，并注意有t1+t2=0。 解：設(shè)解：設(shè)M(x0，y0)為軌

31、跡上任一點，則直線為軌跡上任一點，則直線P1P2的方程的方程是是 。(t是參數(shù)是參數(shù))，代入雙曲線方程得：，代入雙曲線方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由題意由題意t1+t2=0，即，即2x0cosy0sin =0，得，得 。又直線又直線P1P2的斜率的斜率 ，點點P（2，1）在直線）在直線P1P2上，上， ，即即2x2 y2 4x +y = 0為所求的軌跡的方程。為所求的軌跡的方程。00cossinxxtyyt002tanxy00tanyykxx0000122yxxy三、求定點到動點的距離三、求定點到動點的距離

32、例例4直線直線l過點過點P(1，2)，其參數(shù)方程為，其參數(shù)方程為(t是參數(shù)是參數(shù))，直線，直線l與直線與直線 2x +y 2 =0 交于點交于點Q，求求PQ。12xtyt 解：將直線解：將直線l的方程化為標準形式的方程化為標準形式 ，代入代入 2x +y 2 =0得得 t = ， PQ = | t| = 。3 223 22212222xtyt 點評：題目給出的直線的參數(shù)并不是位移，直接求解容易出錯，點評：題目給出的直線的參數(shù)并不是位移，直接求解容易出錯，一般要將方程改成以位移為參數(shù)的標準形式。一般要將方程改成以位移為參數(shù)的標準形式。解：直線解：直線l的方程可寫成的方程可寫成 ，代入圓的方程整，

33、代入圓的方程整理得：理得：t2 + t4=0，設(shè)點，設(shè)點A，B對應的參數(shù)分別是對應的參數(shù)分別是t1 ，t2，則，則t1 +t2 = ，t1 t2 = 4，由，由t1 與與t2的符號相反的符號相反知知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 t2| = ，PA PB =| t1 t2 | = 4。212222xtyt 222121 2()43 2tttt例例5經(jīng)過點經(jīng)過點P(1，2)，傾斜角為，傾斜角為 的直線的直線 l與圓與圓 x2 +y2 = 9相交于相交于A，B兩點，求兩點，求PA +PB和和PA PB的值。的值。4點評：解決本題的關(guān)鍵一是正確寫點評：解決本題的關(guān)鍵一是正確寫出

34、直線的參數(shù)，二是注意兩個點對出直線的參數(shù)，二是注意兩個點對應的參數(shù)的符號的異同。應的參數(shù)的符號的異同。解：由條件可設(shè)解：由條件可設(shè)AB的方程為的方程為 (t是參數(shù)是參數(shù))，代入拋物線方程得代入拋物線方程得t2sin22ptcos p2 = 0，由韋達定理：由韋達定理： ， AB = |t1 t2| = cos2sinpxtyt12221222 cossinsinpttpt t 2224224cos42sinsinsinppp四、求直線與曲線相交弦的長四、求直線與曲線相交弦的長例例6已知拋物線已知拋物線y2 = 2px，過焦點，過焦點F作傾斜角為作傾斜角為的直線交拋物線于的直線交拋物線于A，B兩點，求證：兩點，求證：22sinpAB分析：弦長分析：弦長AB = |t1 t2|。 例例7已知橢圓的中心在原點，焦點在已知橢圓的中心在