分支限界法求旅行售貨員問題_物聯(lián)1301班_劉悅_201308080112

1、算法分析與設計實驗報告第 X 次實驗姓名劉悅學號201308080112班級物聯(lián)1301班時間12.26上午地點工訓樓C棟309 實驗名稱分支限界法求旅行售貨員問題實驗目的 通過上機實驗，掌握分支限界算法的思想，利用Dijkstra 算法求解最短路徑并實現(xiàn)。實驗原理使用一個優(yōu)先隊列來存儲活結點。優(yōu)先隊列中的每個活結點都存儲從根到該活結點的相應路徑。算法開始創(chuàng)建一個最小堆，表示活結點優(yōu)先隊列。堆中每個結點的lcost值是優(yōu)先隊列的優(yōu)先級。接著計算出圖中每個頂點的最小費用出邊并用Minout記錄。如果所給的有向圖中某個頂點沒有出邊，則該圖不可能有回路,算法結束。如果每個頂點都有出邊，則根據(jù)計算出的

2、Minout作算法初始化。算法第一個擴展結點是排列樹中根結點唯一的兒子結點。在該結點處，已確定的回路中的唯一頂點為頂點1.初始時有s=0,x0=1,x1:n-1=(2,3,n),cc=0，且rcost為Minouti的和，算法bestc記錄當前最優(yōu)值。 算法的終止條件是排列樹的葉結點成為擴展結點。 當s=n-2時,當前擴展結點是排列樹中某個葉結點的父結點。如果該葉結點相應的一條可行回路且費用小于當前最小費用,則將該葉結點插入到優(yōu)先隊列中,否則去掉該葉結點。 當sn-2時,算法依次產(chǎn)生當前擴展結點的所有兒子結點。當前擴展結點所對應的路徑是x0:s，其可行兒子結點是從剩余頂點xs+1:n-1中選取

3、的頂點xi,且(xs,xi)是有向圖G的一條邊。對于當前擴展結點的每一個可行兒子結點,計算出其前綴(x0:s,xi)的費用cc和相應的下界lcost。當lcostbestc時,將這個可行兒子結點插入到活結點優(yōu)先隊列中。 算法結束時返回找到的最小費用，相應的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。實驗步驟 算法開始創(chuàng)建一個最小堆，表示活結點優(yōu)先隊列。 如果所給的有向圖中某個頂點沒有出邊，則該圖不可能有回路,算法結束。如果每個頂點都有出邊，則根據(jù)計算出的Minout作算法初始化。 算法第一個擴展結點是排列樹中根結點唯一的兒子結點。 算法的終止條件是排列樹的葉結點成為擴展結點。 當s=n-2時,當前擴展結點是排列樹中某

4、個葉結點的父結點。如果該葉結點相應的一條可行回路且費用小于當前最小費用,則將該葉結點插入到優(yōu)先隊列中,否則去掉該葉結點。 當sn-2時,算法依次產(chǎn)生當前擴展結點的所有兒子結點。關鍵代碼/定義圖的頂點數(shù) const int N = 4; /*=定義Traveling類來存儲的信息。=*/ template class Traveling public: Type BBTSP(int v); int n; /圖G的頂點數(shù) Type *a, /圖G的鄰接矩陣 / NoEdge, /圖G的無邊標識 cc, /當前費用 bestc; /當前最小費用 ; /*= 定義MinHeapNode類來存儲最小堆中

5、頂點的信息。* lcost表示子樹費用的下界。 cc表示當前費用。 rcost表示xs:n-1中頂點最小出邊費用和。 s表示根節(jié)點到當前節(jié)點的路徑為x0:s。 x表示需要進一步搜索的頂點是xs+1,n-1。 =*/ template class MinHeapNode friend Traveling; public: operator Type() const return lcost; private: Type lcost, /子樹費用的下界 cc, /當前費用 rcost; /xs:n-1中頂點最小出邊費用和 int s, /根節(jié)點到當前節(jié)點的路徑為x0:s *x; /需要進一步搜索的

6、頂點是xs+1,n-1; /*=BBTSP函數(shù)為使用優(yōu)先隊列求最小費用。 這里是使用一個優(yōu)先隊列來存儲活結點。優(yōu)先隊列中的每個活結點都存儲從根到該活結點的相應路徑。算法開始創(chuàng)建一個最小堆，表示活結點優(yōu)先隊列。堆中每個結點的lcost值是優(yōu)先隊列的優(yōu)先級。接著計算出圖中每個頂點的最小費用出邊并用Minout記錄。如果所給的有向圖中某個頂點沒有出邊，則該圖不可能有回路,算法結束。如果每個頂點都有出邊，則根據(jù)計算出的Minout作算法初始化。算法第一個擴展結點是排列樹中根結點唯一的兒子結點。在該結點處，已確定的回路中的唯一頂點為頂點1.初始時有s=0,x0=1,x1:n-1=(2,3,n),cc=0

7、，且rcost為Minouti的和，算法bestc記錄當前最優(yōu)值。 算法的終止條件是排列樹的葉結點成為擴展結點。 當s=n-2時,當前擴展結點是排列樹中某個葉結點的父結點。如果該葉結點相應的一條可行回路且費用小于當前最小費用,則將該葉結點插入到優(yōu)先隊列中,否則去掉該葉結點。 當sn-2時,算法依次產(chǎn)生當前擴展結點的所有兒子結點。當前擴展結點所對應的路徑是x0:s，其可行兒子結點是從剩余頂點xs+1:n-1中選取的頂點xi,且(xs,xi)是有向圖G的一條邊。對于當前擴展結點的每一個可行兒子結點,計算出其前綴(x0:s,xi)的費用cc和相應的下界lcost。當lcostbestc時,將這個可行

8、兒子結點插入到活結點優(yōu)先隊列中。 算法結束時返回找到的最小費用，相應的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。 =*/ template Type Traveling:BBTSP(int v) /定義有1000個結點的最小堆 MinHeapMinHeapNode H(1000); /動態(tài)分配內(nèi)存 Type * MinOut = new Typen+1; /計算MinOuti = 頂點i的最小出邊費用 Type MinSum = 0; /最小出邊費用和 for(int i=1; i=n; i+) Type Min = NoEdge; for(int j=1; j=n; j+) if(aij!=NoEdge & (a

9、ijMin|Min=NoEdge) Min = aij; /如果某個頂點沒有出邊,則該圖不可能有回路,算法結束 if(Min = NoEdge) return NoEdge; MinOuti = Min; MinSum += Min; /初始化 MinHeapNode E;/動態(tài)內(nèi)存分配 E.x = new intn; /初始化 for(int i=0; in; i+) E.xi = i+1; E.s = 0; /根節(jié)點到當前節(jié)點路徑為x0:s E.cc = 0; /當前費用 E.rcost = MinSum;/最小出邊費用和 Type bestc = NoEdge; /搜索排列空間樹 whi

10、le(E.sn-1)/非葉結點 if(E.s = n-2)/當前擴展節(jié)點是葉節(jié)點的父節(jié)點 /再加2條邊構成回路 /所構成回路是否優(yōu)于當前最優(yōu)解 if(aE.xn-2E.xn-1!=NoEdge & aE.xn-11!=NoEdge & (E.cc+aE.xn-2E.xn-1+aE.xn-11bestc | bestc = NoEdge) /費用更小的回路/記錄最小費用 bestc = E.cc + aE.xn-2E.xn-1+aE.xn-11; /記錄結點的信息 E.cc = bestc; E.lcost = bestc; E.s+;/將結點放入最小堆中 H.Insert(E); else d

11、elete E.x;/舍棄擴展節(jié)點 else/當前擴展節(jié)點是葉節(jié)點的父節(jié)點 for(int i=E.s+1;in;i+) if(aE.xE.sE.xi!=NoEdge) /可行兒子節(jié)點 Type cc = E.cc + aE.xE.sE.xi; Type rcost = E.rcost - MinOutE.xE.s; Type b = cc + rcost;/下界 if(bbestc | bestc = NoEdge) /子樹可能含有最優(yōu)解 /節(jié)點插入最小堆 MinHeapNode N; N.x = new intn;/保存結點信息 for(int j=0; jn; j+) N.xj = E.

12、xj; N.xE.s+1 = E.xi; N.xi = E.xE.s+1; N.cc = cc; N.s = E.s + 1; N.lcost = b; N.rcost = rcost; /將結點插入最小堆 H.Insert(N); delete E.x;/完成節(jié)點擴展 /最小堆空了就結束 if(H.Size() = 0) break; H.DeleteMin(E);/取下一擴展節(jié)點 /如果最小費用為NoEdge,則圖中無回路 if(bestc = NoEdge) return NoEdge;/無回路 /將最優(yōu)解復制到v1:n for(int i=0; i2 -3 -4-1M661 -2 -4

13、 -3-1N251 -3 -2 -4-1O661 -3 -4-2-1P251 -4 -2 -3-1Q591 -4 -3 -2-14. 由上表可以知道最短的為至葉結點Q的路徑1 -3 -2 -4-1，長度為25。這里可能會有疑問，至結點P的距離也為25，為什么不選擇路徑1 -4 -2 -3-1。這是因為只有當求得的路徑比當前最優(yōu)值小的時候才會記錄，這里一樣大，所以不會記錄，也就不會輸出這條路徑。5. 算法輸出結果如下：輸出圖的頂點個數(shù)。輸出最短路徑。輸出最短路徑的長度。輸出時間。6. 可以看到輸出的結果與分析的結果一樣，所以算法實現(xiàn)正確。并且可以看到分支限界法在實現(xiàn)我們給的這個圖的時候，時間性能

14、很好。實驗心得說實話，個人覺得旅行售貨員問題的實現(xiàn)算法不好寫，因為旅行售貨員問題的解空間是一棵排列樹，個人覺得排列樹較子集樹來說，更加難以理解。這個算法的實現(xiàn)中，有一個地方卡了很久，雖然可以通過嘗試數(shù)值的方法來確定到底是哪個，但是還是覺得自己理解了比較好，畢竟不是什么東西都可以挨個值試出來的，如果有一個問題有很多可能的數(shù)值如果要試的話會很費時間?？撕芫玫牡胤骄褪钱斍皵U展結點是葉結點的父結點的時候s（層數(shù)）的數(shù)值是什么。這個算法中是子集樹的第二層的時候s為0。拿我們給的這個圖的例子來說，就是B那一層s=0。所以當前擴展結點是葉結點的父結點的時候s應該等于n-2，而不是n-1。這里是因為算法的第

15、1個擴展結點是排列樹中唯一兒子結點。在該結點處，已經(jīng)確定的回路中唯一頂點為頂點1。像我剛剛說的，如果不知道到底是哪個值的話，可以依次嘗試一下n、n-1和n-2這三個值，看為哪個值的時候輸出正確的最短路徑。這里的這個代碼的編寫主要是用來與前面的回溯法進行比較?；厮莘ㄖ饕鞘褂玫纳疃葍?yōu)先的探索，就是從一個子結點向下擴展，一直擴展到葉子結點或者不能繼續(xù)向下擴展。而這里的分支限界法是寬度優(yōu)先的擴展策略，這里使用的是優(yōu)先隊列來實現(xiàn)的話，就是每次擴展優(yōu)先級最小的結點。因為給定的這個圖的結點比較少，所以兩個算法輸出的時間都為0，無法通過這一組測試數(shù)據(jù)給出兩種算法的時間比較分析。通過這次實驗，編寫了分支限界法

16、求旅行售貨員問題，掌握了分支限界法求解問題的基本步驟，掌握了旅行售貨員問題的問題描述，求解過程。相信在以后的學習工作中可以熟練使用分支限界法求解問題，也可以使用多種方法求解旅行售貨員問題。實驗得分助教簽名附錄：完整代碼#include MinHeap.h #include #include#include#include#include#define NoEdge -1 using namespace std; /定義圖的頂點數(shù) const int N = 4; /*=定義Traveling類來存儲的信息。=*/ template class Traveling public: Type BB

17、TSP(int v); int n; /圖G的頂點數(shù) Type *a, /圖G的鄰接矩陣 / NoEdge, /圖G的無邊標識 cc, /當前費用 bestc; /當前最小費用 ; /*= 定義MinHeapNode類來存儲最小堆中頂點的信息。* lcost表示子樹費用的下界。 cc表示當前費用。 rcost表示xs:n-1中頂點最小出邊費用和。 s表示根節(jié)點到當前節(jié)點的路徑為x0:s。 x表示需要進一步搜索的頂點是xs+1,n-1。 =*/ template class MinHeapNode friend Traveling; public: operator Type() const r

18、eturn lcost; private: Type lcost, /子樹費用的下界 cc, /當前費用 rcost; /xs:n-1中頂點最小出邊費用和 int s, /根節(jié)點到當前節(jié)點的路徑為x0:s *x; /需要進一步搜索的頂點是xs+1,n-1; /*=BBTSP函數(shù)為使用優(yōu)先隊列求最小費用。 這里是使用一個優(yōu)先隊列來存儲活結點。優(yōu)先隊列中的每個活結點都存儲從根到該活結點的相應路徑。算法開始創(chuàng)建一個最小堆，表示活結點優(yōu)先隊列。堆中每個結點的lcost值是優(yōu)先隊列的優(yōu)先級。接著計算出圖中每個頂點的最小費用出邊并用Minout記錄。如果所給的有向圖中某個頂點沒有出邊，則該圖不可能有回路,

19、算法結束。如果每個頂點都有出邊，則根據(jù)計算出的Minout作算法初始化。算法第一個擴展結點是排列樹中根結點唯一的兒子結點。在該結點處，已確定的回路中的唯一頂點為頂點1.初始時有s=0,x0=1,x1:n-1=(2,3,n),cc=0，且rcost為Minouti的和，算法bestc記錄當前最優(yōu)值。 算法的終止條件是排列樹的葉結點成為擴展結點。 當s=n-2時,當前擴展結點是排列樹中某個葉結點的父結點。如果該葉結點相應的一條可行回路且費用小于當前最小費用,則將該葉結點插入到優(yōu)先隊列中,否則去掉該葉結點。 當sn-2時,算法依次產(chǎn)生當前擴展結點的所有兒子結點。當前擴展結點所對應的路徑是x0:s，其

20、可行兒子結點是從剩余頂點xs+1:n-1中選取的頂點xi,且(xs,xi)是有向圖G的一條邊。對于當前擴展結點的每一個可行兒子結點,計算出其前綴(x0:s,xi)的費用cc和相應的下界lcost。當lcostbestc時,將這個可行兒子結點插入到活結點優(yōu)先隊列中。 算法結束時返回找到的最小費用，相應的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。 =*/ template Type Traveling:BBTSP(int v) /定義有1000個結點的最小堆 MinHeapMinHeapNode H(1000); /動態(tài)分配內(nèi)存 Type * MinOut = new Typen+1; /計算MinOuti = 頂點i

21、的最小出邊費用 Type MinSum = 0; /最小出邊費用和 for(int i=1; i=n; i+) Type Min = NoEdge; for(int j=1; j=n; j+) if(aij!=NoEdge & (aijMin|Min=NoEdge) Min = aij; /如果某個頂點沒有出邊,則該圖不可能有回路,算法結束 if(Min = NoEdge) return NoEdge; MinOuti = Min; MinSum += Min; /初始化 MinHeapNode E;/動態(tài)內(nèi)存分配 E.x = new intn; /初始化 for(int i=0; in; i

22、+) E.xi = i+1; E.s = 0; /根節(jié)點到當前節(jié)點路徑為x0:s E.cc = 0; /當前費用 E.rcost = MinSum;/最小出邊費用和 Type bestc = NoEdge; /搜索排列空間樹 while(E.sn-1)/非葉結點 if(E.s = n-2)/當前擴展節(jié)點是葉節(jié)點的父節(jié)點 /再加2條邊構成回路 /所構成回路是否優(yōu)于當前最優(yōu)解 if(aE.xn-2E.xn-1!=NoEdge & aE.xn-11!=NoEdge & (E.cc+aE.xn-2E.xn-1+aE.xn-11bestc | bestc = NoEdge) /費用更小的回路/記錄最小費

23、用 bestc = E.cc + aE.xn-2E.xn-1+aE.xn-11; /記錄結點的信息 E.cc = bestc; E.lcost = bestc; E.s+;/將結點放入最小堆中 H.Insert(E); else delete E.x;/舍棄擴展節(jié)點 else/當前擴展節(jié)點是葉節(jié)點的父節(jié)點 for(int i=E.s+1;in;i+) if(aE.xE.sE.xi!=NoEdge) /可行兒子節(jié)點 Type cc = E.cc + aE.xE.sE.xi; Type rcost = E.rcost - MinOutE.xE.s; Type b = cc + rcost;/下界

24、if(bbestc | bestc = NoEdge) /子樹可能含有最優(yōu)解 /節(jié)點插入最小堆 MinHeapNode N; N.x = new intn;/保存結點信息 for(int j=0; jn; j+) N.xj = E.xj; N.xE.s+1 = E.xi; N.xi = E.xE.s+1; N.cc = cc; N.s = E.s + 1; N.lcost = b; N.rcost = rcost; /將結點插入最小堆 H.Insert(N); delete E.x;/完成節(jié)點擴展 /最小堆空了就結束 if(H.Size() = 0) break; H.DeleteMin(E)

25、;/取下一擴展節(jié)點 /如果最小費用為NoEdge,則圖中無回路 if(bestc = NoEdge) return NoEdge;/無回路 /將最優(yōu)解復制到v1:n for(int i=0; in; i+) vi+1 = E.xi; while(true)/釋放最小堆中所有節(jié)點 delete E.x; if(H.Size() = 0) break; H.DeleteMin(E);/取下一擴展節(jié)點 return bestc; /*=main函數(shù)是主函數(shù)。實現(xiàn)輸入輸出，調(diào)用之前的分支限界法函數(shù)BBTSP求得最優(yōu)值,并且通過數(shù)組v得到最優(yōu)解。輸出最短路徑和最短路徑的長度。 =*/ int main(

26、) cout=endl;cout=分支限界法求TSP問題=endl;cout=endl; int bestxN+1;int bestlength; /輸出圖的頂點個數(shù) cout圖的頂點個數(shù)為：Nendl; /動態(tài)內(nèi)存分配 int *a=new int*N+1; for(int i=0;i=N;i+) ai=new intN+1;/初始化 for(int i=0;i=N;i+)for(int j=0;jN;j+) aij=NoEdge; a12=30;a13=6;a14=4; a21=30;a23=5;a24=10; a31=6;a32=5;a34=20; a41=4;a42=10;a43=20; /定義Traveling類型的變量t Traveling t; /給變量t賦初值 t.a = a; t.n = N; /開始計時 clock_t start,end,over;start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();/調(diào)用函數(shù) bestlength=t.BBTSP(bestx); /結束計時 end=clock();/輸出最短回路 cout最短回路為：endl; for(int i=1;i=N;i+) cou