高等數(shù)學(xué)A卓越班 教學(xué)大綱

1、高等數(shù)學(xué)A課程教學(xué)大綱Advanced Mathematics A 課程代碼：03100A01, 03100A02 課程性質(zhì)：公共基礎(chǔ)理論課(必修)適用專業(yè)：各工科專業(yè) 總學(xué)分?jǐn)?shù)：11 總學(xué)時(shí)數(shù)：176 修訂年月：2016年1月編寫年月：2016年1月 執(zhí) 筆：張麗麗，韓曉卓課程簡(jiǎn)介(中文)：高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校工科各專業(yè)學(xué)生的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課，其思想、方法和技術(shù)已經(jīng)廣泛深入到自然科學(xué)、工程技術(shù)、管理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)及社會(huì)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。高等數(shù)學(xué)A是工科專業(yè)課程的基礎(chǔ)和工具，也是一種現(xiàn)代科學(xué)語(yǔ)言，它的內(nèi)容包括：函數(shù)、極限、連續(xù)；一元和多元函數(shù)微積分；常微分方程；空間解析幾何和向量代數(shù)；無(wú)窮級(jí)數(shù)

2、。課程簡(jiǎn)介(英文)：Advanced mathematics is a compulsory public basic theory course for all majors of science and engineering. Its idea, methodology and technique have made wide effect on various fields such as natural science, engineering, management science, economics and social science. Advanced Mathematic

3、s A is not only the basis and a tool for engineering courses, but also a modern scientific language. Its content includes: functions, limits and continuity, calculus of unary and multivariate functions, ordinary differential equations, the geometry of space and vector algebra, infinite series, etc.一

4、、課程目的高等數(shù)學(xué)是為培養(yǎng)我國(guó)社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)所需要的高質(zhì)量專門人才服務(wù)的,通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得：1 函數(shù)、極限、連續(xù),2 一元函數(shù)微積分學(xué),3 常微分方程，4 向量代數(shù)和空間解析幾何，5 多元函數(shù)微積分學(xué)，6 無(wú)窮級(jí)數(shù)（包括傅里葉級(jí)數(shù)），等方面的基本概念、基本理論、基本思想、基本方法和基本運(yùn)算技能，為后繼課程的學(xué)習(xí)和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在傳授知識(shí)的同時(shí)，要通過(guò)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析和解決問(wèn)題的能力、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確邏輯表達(dá)的能力以及比較熟練的運(yùn)算能力。 2、 課程教學(xué)

5、內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配(一) 教學(xué)內(nèi)容1函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)：映射的概念，函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的四種特性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)，函數(shù)的運(yùn)算，初等函數(shù)；極限：數(shù)列極限的定義，收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一性，有界性，保號(hào)性，收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）；函數(shù)極限及單側(cè)極限的定義，函數(shù)極限的性質(zhì)（唯一性，局部有界性，局部保號(hào)性，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）；無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念及其關(guān)系；極限的運(yùn)算法則；兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則），兩個(gè)重要極限；無(wú)窮小的比較。函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)連續(xù)及左右連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)及其分類；連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性與最大值最小值定理，零點(diǎn)定

6、理和介值定理）。2一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，平面曲線的切線和法線，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系；函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則，反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；高階導(dǎo)數(shù)的概念與求解，幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，萊布尼茲公式；隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法，相關(guān)變化率；微分的定義，微分的幾何意義，微分的運(yùn)算法則（含微分形式的不變性），微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必達(dá)法則；泰勒公式；函數(shù)的單調(diào)性，曲線的凹凸性與拐點(diǎn)；函數(shù)極值的概念及其求法，簡(jiǎn)單的最大值最小值應(yīng)用問(wèn)題；函數(shù)圖

7、形的描繪；弧微分，曲率的定義及其計(jì)算，曲率圓與曲率半徑。3一元函數(shù)積分學(xué)不定積分：原函數(shù)與不定積分的定義，基本積分表，不定積分的性質(zhì)；換元積分法；分部積分法；有理函數(shù)的積分，可化為有理函數(shù)的積分（包括三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分）。定積分及其應(yīng)用：定積分的概念與性質(zhì)；積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓萊布尼茨公式；定積分的換元法和分部積分法；無(wú)窮限的反常積分，無(wú)界函數(shù)的反常積分；定積分的元素法；定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用（平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積、平面曲線的弧長(zhǎng)）；定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用(變力沿直線所作的功，水壓力，引力)。4常微分方程微分方程的基本概念；可分離

8、變量的微分方程；齊次方程，可化為齊次的方程；一階線性微分方程，伯努利方程；三類可降階的高階微分方程；高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，常數(shù)變易法；常系數(shù)齊次線性微分方程；常系數(shù)非齊次線性微分方程；用微分方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。5向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)：向量概念，向量的線性運(yùn)算，空間直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算，向量的模、方向角、方向余弦和投影；向量的數(shù)量積和向量積，兩向量的夾角，向量平行與垂直的條件，向量的混合積?？臻g解析幾何：曲面方程與空間曲線方程的概念，平面方程(點(diǎn)法式、一般式、截距式)，兩平面的夾角，點(diǎn)到平面的距離；空間直線的方程(一般式,對(duì)稱式、參數(shù)式)，兩直線的夾角

9、，直線與平面的夾角,點(diǎn)到直線的距離；平面與平面、平面與直線、直線與直線平行與垂直的條件，平面束；曲面研究的基本問(wèn)題，球面，以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面，錐面，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面，常用的二次曲面的方程及其圖形；空間曲線的方程(一般方程、參數(shù)方程)，空間曲線、曲面和立體在坐標(biāo)面上的投影。6多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)的基本概念：平面點(diǎn)集與n維空間，多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的表示與圖形，二元函數(shù)的極限與連續(xù)性，有界閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最值定理、介值定理)。偏導(dǎo)數(shù)與全微分：多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法，高階偏導(dǎo)數(shù)的概念與求解；全微分的定義，二元函數(shù)可微的必要條件和充分條件，全微分在近似

10、計(jì)算中的應(yīng)用；多元函數(shù)可偏導(dǎo)、可微和連續(xù)的關(guān)系；多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與高階偏導(dǎo)數(shù)，全微分形式的不變性；隱函數(shù)的求偏導(dǎo)公式；方向?qū)?shù)和梯度。多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用：一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；多元函數(shù)的極值及其求法，最大值、最小值問(wèn)題及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，條件極值，拉格朗日乘數(shù)法。7多元函數(shù)積分學(xué)重積分：二重積分的概念與性質(zhì)；二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；三重積分的概念與性質(zhì)；三重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）；重積分的應(yīng)用（立體體積、平面薄片的質(zhì)量、曲面的面積、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力）。曲線積分：兩類曲線積分的概念與性質(zhì)，兩類曲線積分的計(jì)算法，兩

11、類曲線積分的關(guān)系；格林公式，平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，二元函數(shù)的全微分求積。曲面積分：兩類曲面積分的概念與性質(zhì)，兩類曲面積分的計(jì)算法，兩類曲面積分的關(guān)系；高斯公式，通量與散度，斯托克斯公式，環(huán)流量與旋度。8無(wú)窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，收斂數(shù)列的基本性質(zhì)，幾何級(jí)數(shù)的斂散性；正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與審斂法(收斂的充要條件、比較審斂法、比較審斂法的極限形式、極限審斂法、比值審斂法、根值審斂法)，P級(jí)數(shù)的斂散性；交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念與萊布尼茲定理；絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其關(guān)系，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。冪級(jí)數(shù)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)的概念及其收斂性(阿貝爾定理，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法），冪級(jí)數(shù)

12、的四則運(yùn)算，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的基本性質(zhì)與求解；函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)(泰勒級(jí)數(shù)，麥克勞林級(jí)數(shù)），幾個(gè)常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)：三角級(jí)數(shù)概念與三角函數(shù)系的正交性，周期為和周期為的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，狄利克雷充分條件，函數(shù)展開(kāi)為正弦或余弦級(jí)數(shù)。(二）課程內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)1函數(shù)、極限、連續(xù)重點(diǎn)：函數(shù)概念，復(fù)合函數(shù)概念，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，極限概念，極限運(yùn)算法則，連續(xù)概念，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。難點(diǎn)：極限的N、定義，求極限，函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)。2一元函數(shù)微分學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

13、，初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法，羅爾定理和拉格朗日定理，函數(shù)極值、曲線凹凸性和拐點(diǎn)的概念，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性，求極值和拐點(diǎn)的方法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，泰勒公式。3一元函數(shù)積分學(xué)重點(diǎn)：不定積分和定積分的概念及性質(zhì)，定積分的定義及其思想，不定積分的基本公式，不定積分、定積分的換元積分法與分部積分法，積分上限函數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓萊布尼茲公式，用定積分表達(dá)一些幾何量（如面積、體積、弧長(zhǎng)）。難點(diǎn)：積分上限函數(shù)的求導(dǎo)，換元積分法，廣義積分，用定積分求功、引力等。4微分方程重點(diǎn)：可分離變量的微分方程、齊次方程及一階線性微分方程的解法，可降

14、階的微分方程的解法，二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程的解法。難點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解，列微分方程解應(yīng)用問(wèn)題。5向量代數(shù)與空間解析幾何重點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系，向量的概念及其表示，向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積），向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)進(jìn)行向量運(yùn)算的方法，兩向量的夾角，向量平行和垂直的充要條件，向量的方向角和方向余弦，平面方程和直線方程及其求法，點(diǎn)到平面與點(diǎn)到直線的距離公式，常見(jiàn)二次曲面的方程及其圖形。難點(diǎn)：向量的向量積，利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題，曲線、曲面的投影，平面束。6多元函數(shù)微分學(xué)重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念和連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)和全微分的

15、概念及求解，多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法，曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線，方向?qū)?shù)和梯度，多元函數(shù)極值和條件極值的概念，拉格朗日乘數(shù)法。難點(diǎn)：求抽象復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。7多元函數(shù)積分學(xué)重點(diǎn)：二重積分、三重積分的概念和思想，二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），兩類曲線和曲面積分的概念及計(jì)算方法，格林公式，高斯公式。難點(diǎn)：三重積分的計(jì)算方法，格林公式，高斯公式。8無(wú)窮級(jí)數(shù)重點(diǎn)：無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，幾何級(jí)數(shù)和P級(jí)數(shù)的收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值和根值審斂法，萊布尼茲判別法，比較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)的收斂域和和函數(shù)的求法，用間接法展開(kāi)函數(shù)為冪級(jí)數(shù)。難

16、點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)，函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。(三) 學(xué)時(shí)分配本課程的教學(xué)時(shí)數(shù)為176學(xué)時(shí)，分上、下兩學(xué)期，各學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)分配如下表：（課內(nèi)外學(xué)時(shí)比例均為1:2）教學(xué)環(huán)節(jié)課程內(nèi)容講 課習(xí) 題 課小 計(jì)高等數(shù)學(xué)A（1）函數(shù)、極限、連續(xù)16218導(dǎo)數(shù)與微分10212中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用10212不定積分10212定積分及其應(yīng)用14216微分方程12214其他044合 計(jì)721688高等數(shù)學(xué)A（2）向量代數(shù)與空間解析14216多元函數(shù)微分學(xué)18220重積分14216曲線積分與曲面積分14216無(wú)窮級(jí)數(shù)14216其他044合

17、 計(jì)741488總 計(jì)14630176三、課程教學(xué)的基本要求通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握掌握如下內(nèi)容：1) 正確理解下列基本概念和它們之間的內(nèi)在聯(lián)系：函數(shù)，極限，無(wú)窮小，連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，微分，極值，最值，不定積分，定積分，微分方程，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，條件極值，重積分，曲線積分，曲面積分，無(wú)窮級(jí)數(shù)。2) 正確理解下列基本定理和公式并能正確運(yùn)用：極限的主要定理，羅爾定理和拉格朗日中值定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式，積分上限函數(shù)的求導(dǎo)定理，牛頓萊布尼茲公式，線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，格林公式，高斯公式。3) 牢固掌握下列公式：兩個(gè)重要極限，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，基本積分公式，函數(shù)、及的麥克勞林公式。4) 熟練運(yùn)

18、用下列法則和方法：極限的求解方法，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法，換元積分法和分部積分法，各類簡(jiǎn)單微分方程的求解法，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求解法，重積分的計(jì)算法，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法。5) 會(huì)綜合運(yùn)用微積分和常微分方程的方法解一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題具體各部分的重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容請(qǐng)見(jiàn)附件。本課程的教學(xué)，包括以下主要工作：1.課堂講授本課程是工科各專業(yè)本科學(xué)生重要的公共基礎(chǔ)理論必修課，本課程教學(xué)質(zhì)量的優(yōu)劣從一定程度上標(biāo)志著本科教學(xué)水平的高低。在本課程的教學(xué)過(guò)程中，要突出基本概念、基本思想、基本理論、基本方法和基本應(yīng)用，教師應(yīng)盡量結(jié)合學(xué)生的專業(yè)情況，講授一些與學(xué)生專業(yè)相關(guān)的實(shí)際例子；把握并保證教學(xué)模塊中重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容的教學(xué)效果；在教學(xué)中采用板書(shū)和多媒體教學(xué)相結(jié)合的手段，充分運(yùn)用精品課程錄像、微課程錄像、網(wǎng)絡(luò)等資源，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和高等數(shù)學(xué)課程的趣味性；引入和采用翻轉(zhuǎn)課堂等與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)改革模式，以培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力。2.課堂討論課堂討論主要以分組討論為主，目的是培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)合作能力、語(yǔ)言表達(dá)能力和主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性等，活躍課堂學(xué)習(xí)氣氛，讓學(xué)生真正做學(xué)習(xí)的主人。教師應(yīng)認(rèn)真組織，安排討論內(nèi)容，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，及時(shí)有效地指導(dǎo)學(xué)生，以達(dá)到上述目的并做好總結(jié)。3.課外作業(yè)課外作業(yè)