磁場(chǎng)——旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)圓

1、旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)圓1（05全國(guó)）如圖，在一水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過(guò)的區(qū)域，其中。哪個(gè)圖是正確的？（ ）圖152.（2010全國(guó)理綜T26）(21分)如下圖15，在區(qū)域內(nèi)存在與xy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.在t=0時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0180范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在

2、時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)。求：(1)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷qm;(2)此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；(3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間?！疽?guī)范解答】初速度與y軸正方向平行的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖16中的弧OP所示,其圓心為C.由題給條件可以得出 OCP= (2分)此粒子飛出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為 t0= (2分)式中T為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期.設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)速度的大小為v,半徑為R,由幾何關(guān)系可得圖17 R= a (2分)由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有qvB =m (1分)T= (1分)解以上聯(lián)立方程,可得= (3分)(2)依題意,同

3、一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子到O的距離相同(2分)，在t0時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以O(shè)點(diǎn)為圓心、OP為半徑的弧MN上,如圖16所示.設(shè)此時(shí)位于P、M、N三點(diǎn)的粒子的初速度分別為vp、vM、vN.由對(duì)稱性可知vp與OP、vM與OM、vN.與ON的夾角均為/3.設(shè)vM、vN.與y軸正向的夾角分別為M、N,由幾何關(guān)系有圖16M= (1分)N= (1分)對(duì)于所有此時(shí)仍在磁場(chǎng)中的粒子,其初速度與y軸正方向所成的夾角應(yīng)滿足 (2分)(3)在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與磁場(chǎng)右邊界相切,其軌跡如圖17所示.由幾何關(guān)系可知, 弧長(zhǎng)OM等于弧長(zhǎng)OP (1分)由對(duì)稱性可知，弧長(zhǎng)等于弧長(zhǎng) (1分)所以從粒子發(fā)射

4、到全部粒子飛出磁場(chǎng)所用的時(shí)間=2 t0 (2分)【答案】 R = a ，= 速度與y軸的正方向的夾角范圍是 從粒子發(fā)射到全部離開(kāi)所用 時(shí)間 為2 t03.（2010新課標(biāo)全國(guó)卷T25）（18分）如圖所示，在0 x a、0 y 范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在090范圍內(nèi)。己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子從粒

5、子源射出時(shí)的（1）速度的大??；（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦?！舅悸伏c(diǎn)撥】解答本題可按以下思路分析：畫(huà)出沿y方向以a/2為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡增大半徑將運(yùn)動(dòng)圓弧以O(shè)為圓心旋轉(zhuǎn)圓弧軌跡與磁場(chǎng)上邊界相切時(shí)為臨界軌跡再將臨界軌跡旋轉(zhuǎn)比較得到最長(zhǎng)時(shí)間【規(guī)范解答】（1）設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式，得：， （2分）由解得： （1分）畫(huà)出沿y方向以a/2為半徑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，再畫(huà)出從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿與y軸正方向以半徑R0（a/2R0a）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且圓弧軌跡與磁場(chǎng)上邊界相切時(shí)的臨界軌跡，然后將臨界軌跡以O(shè)為圓心順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)在磁場(chǎng)

6、中的軌跡線的長(zhǎng)度即可判斷運(yùn)動(dòng)時(shí)間的長(zhǎng)短，如下圖所示。從圖不難看出臨界軌跡對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)。 當(dāng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場(chǎng)的上邊界相切，如圖所示，設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，依題意，得：。 （4分） 設(shè)最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射速度方向與y軸正方向的夾角為，由幾何關(guān)系可得： （2分）BxyO （2分）又 （1分）由式解得： （2分）由式得： （2分）（2）由式得： （2分）【答案】（1）（2）【類題拓展】巧解有界磁場(chǎng)中部分圓弧運(yùn)動(dòng)問(wèn)題（1）分析思路三步走：1.確定圓心，畫(huà)出軌跡； 2.找?guī)缀侮P(guān)系，定物理量； 3.畫(huà)動(dòng)態(tài)圖，定臨界狀態(tài)。（2）分析方法四優(yōu)

7、法1.幾何對(duì)稱法：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的中垂線對(duì)稱。2.動(dòng)態(tài)放縮法：速度越大半徑越大，但速度方向不變的粒子圓心在垂直速度方向的直線上。3.旋轉(zhuǎn)平移法：定點(diǎn)離子源發(fā)射速度大小相等、方向不同的所有粒子的軌跡圓圓心在以入射點(diǎn)為圓心，半徑R=mv0/(qB)的圓上，相當(dāng)于將一個(gè)定圓以入射點(diǎn)為圓心旋轉(zhuǎn)。4.數(shù)學(xué)解析法：寫(xiě)出軌跡圓和圓形邊界的解析方程，應(yīng)用物理和數(shù)學(xué)知識(shí)求解。本題巧妙地應(yīng)用動(dòng)態(tài)放縮法和旋轉(zhuǎn)平移法能夠很快得出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的臨界軌跡，問(wèn)題也就迎刃而解了。練習(xí)：1、（18分）（2012湖北省八校第一次聯(lián)考）pabcdO 如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面

8、向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在t=0時(shí)刻，一位于ad邊中點(diǎn)o的粒子源在abcd平面內(nèi)發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與od邊的夾角分布在0180范圍內(nèi)。已知沿od方向發(fā)射的粒子在時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界cd上的p點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑恰好等于正方形邊長(zhǎng)L，粒子重力不計(jì)，求：（1）粒子的比荷qm；（2）假設(shè)粒子源發(fā)射的粒子在0180范圍內(nèi)均勻分布，此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比；（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間。解：（1）初速度沿od方向發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，其園心為n，由幾何關(guān)系有： , （2分）粒子做圓周運(yùn)

9、動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得， （2分）得 （2分）(2)依題意，同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子到o點(diǎn)距離相等。在t0時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以o為圓心，op為半徑的弧pw上。 （2分）由圖知 （2分）此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比為5/6 （2分）（3）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場(chǎng)邊界b點(diǎn)相交，（2分）設(shè)此粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為，則 （2分）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間 所以從粒子發(fā)射到全部離開(kāi)所用時(shí)間為。 （2分）練習(xí)2：S為電子源，它只在下圖所示的紙面上360范圍內(nèi)發(fā)射速率相同、質(zhì)量為m、電荷量為e的電子，MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離OS=L。擋板左側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，求：(1)要使S發(fā)射的電子能夠到達(dá)擋板，則發(fā)射電子的速度至少為多大？ (2)若電子發(fā)射的速度為eBL/m，則擋板被擊中的范圍有多大？解：(1)從