磁場——旋轉動態(tài)圓

1、旋轉動態(tài)圓1（05全國）如圖，在一水平放置的平板MN的上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里。許多質量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內的各個方向，由小孔O射入磁場區(qū)域。不計重力，不計粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經過的區(qū)域，其中。哪個圖是正確的？（ ）圖152.（2010全國理綜T26）(21分)如下圖15，在區(qū)域內存在與xy平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B.在t=0時刻，一位于坐標原點的粒子源在xy平面內發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0180范圍內。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在

2、時刻剛好從磁場邊界上點離開磁場。求：(1)粒子在磁場中做圓周運動的半徑R及粒子的比荷qm;(2)此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；(3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間。【規(guī)范解答】初速度與y軸正方向平行的粒子在磁場中的運動軌跡如圖16中的弧OP所示,其圓心為C.由題給條件可以得出 OCP= (2分)此粒子飛出磁場所用的時間為 t0= (2分)式中T為粒子做圓周運動的周期.設粒子運動速度的大小為v,半徑為R,由幾何關系可得圖17 R= a (2分)由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有qvB =m (1分)T= (1分)解以上聯立方程,可得= (3分)(2)依題意,同

3、一時刻仍在磁場內的粒子到O的距離相同(2分)，在t0時刻仍在磁場中的粒子應位于以O點為圓心、OP為半徑的弧MN上,如圖16所示.設此時位于P、M、N三點的粒子的初速度分別為vp、vM、vN.由對稱性可知vp與OP、vM與OM、vN.與ON的夾角均為/3.設vM、vN.與y軸正向的夾角分別為M、N,由幾何關系有圖16M= (1分)N= (1分)對于所有此時仍在磁場中的粒子,其初速度與y軸正方向所成的夾角應滿足 (2分)(3)在磁場中飛行時間最長的粒子的運動軌跡應與磁場右邊界相切,其軌跡如圖17所示.由幾何關系可知, 弧長OM等于弧長OP (1分)由對稱性可知，弧長等于弧長 (1分)所以從粒子發(fā)射

4、到全部粒子飛出磁場所用的時間=2 t0 (2分)【答案】 R = a ，= 速度與y軸的正方向的夾角范圍是 從粒子發(fā)射到全部離開所用 時間 為2 t03.（2010新課標全國卷T25）（18分）如圖所示，在0 x a、0 y 范圍內有垂直于xy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內，與y軸正方向的夾角分布在090范圍內。己知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒

5、子源射出時的（1）速度的大?。唬?）速度方向與y軸正方向夾角的正弦。【思路點撥】解答本題可按以下思路分析：畫出沿y方向以a/2為半徑做圓周運動軌跡增大半徑將運動圓弧以O為圓心旋轉圓弧軌跡與磁場上邊界相切時為臨界軌跡再將臨界軌跡旋轉比較得到最長時間【規(guī)范解答】（1）設粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運動的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式，得：， （2分）由解得： （1分）畫出沿y方向以a/2為半徑做勻速圓周運動軌跡如圖所示，再畫出從坐標原點O沿與y軸正方向以半徑R0（a/2R0a）做勻速圓周運動且圓弧軌跡與磁場上邊界相切時的臨界軌跡，然后將臨界軌跡以O為圓心順時針或逆時針旋轉，根據在磁場

6、中的軌跡線的長度即可判斷運動時間的長短，如下圖所示。從圖不難看出臨界軌跡對應的運動時間最長。 當時，在磁場中運動時間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的上邊界相切，如圖所示，設該粒子在磁場中運動的時間為t，依題意，得：。 （4分） 設最后離開磁場的粒子的發(fā)射速度方向與y軸正方向的夾角為，由幾何關系可得： （2分）BxyO （2分）又 （1分）由式解得： （2分）由式得： （2分）（2）由式得： （2分）【答案】（1）（2）【類題拓展】巧解有界磁場中部分圓弧運動問題（1）分析思路三步走：1.確定圓心，畫出軌跡； 2.找?guī)缀侮P系，定物理量； 3.畫動態(tài)圖，定臨界狀態(tài)。（2）分析方法四優(yōu)

7、法1.幾何對稱法：粒子的運動軌跡關于入射點和出射點的中垂線對稱。2.動態(tài)放縮法：速度越大半徑越大，但速度方向不變的粒子圓心在垂直速度方向的直線上。3.旋轉平移法：定點離子源發(fā)射速度大小相等、方向不同的所有粒子的軌跡圓圓心在以入射點為圓心，半徑R=mv0/(qB)的圓上，相當于將一個定圓以入射點為圓心旋轉。4.數學解析法：寫出軌跡圓和圓形邊界的解析方程，應用物理和數學知識求解。本題巧妙地應用動態(tài)放縮法和旋轉平移法能夠很快得出帶電粒子在磁場中運動時間最長的臨界軌跡，問題也就迎刃而解了。練習：1、（18分）（2012湖北省八校第一次聯考）pabcdO 如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內充滿方向垂直紙面

8、向里的、磁感應強度為B的勻強磁場。在t=0時刻，一位于ad邊中點o的粒子源在abcd平面內發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與od邊的夾角分布在0180范圍內。已知沿od方向發(fā)射的粒子在時刻剛好從磁場邊界cd上的p點離開磁場，粒子在磁場中做圓周運動的半徑恰好等于正方形邊長L，粒子重力不計，求：（1）粒子的比荷qm；（2）假設粒子源發(fā)射的粒子在0180范圍內均勻分布，此時刻仍在磁場中的粒子數與粒子源發(fā)射的總粒子數之比；（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間。解：（1）初速度沿od方向發(fā)射的粒子在磁場中運動的軌跡如圖，其園心為n，由幾何關系有： , （2分）粒子做圓周運

9、動的向心力由洛侖茲力提供，根據牛頓第二定律得， （2分）得 （2分）(2)依題意，同一時刻仍在磁場中的粒子到o點距離相等。在t0時刻仍在磁場中的粒子應位于以o為圓心，op為半徑的弧pw上。 （2分）由圖知 （2分）此時刻仍在磁場中的粒子數與總粒子數之比為5/6 （2分）（3）在磁場中運動時間最長的粒子的軌跡應該與磁場邊界b點相交，（2分）設此粒子運動軌跡對應的圓心角為，則 （2分）在磁場中運動的最長時間 所以從粒子發(fā)射到全部離開所用時間為。 （2分）練習2：S為電子源，它只在下圖所示的紙面上360范圍內發(fā)射速率相同、質量為m、電荷量為e的電子，MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離OS=L。擋板左側有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，求：(1)要使S發(fā)射的電子能夠到達擋板，則發(fā)射電子的速度至少為多大？ (2)若電子發(fā)射的速度為eBL/m，則擋板被擊中的范圍有多大？解：(1)從