示范111柱錐臺球的結構特征

1、第一章 空間幾何體本章教材分析 柱體、錐體、臺體和球體是簡單的幾何體，復雜的幾何體大都是由這些簡單的幾何體組合而成的.有關柱體、錐體、臺體和球體的研究是研究比較復雜的幾何體的基礎.本章研究空間幾何體的結構特征、三視圖和直觀圖、表面積和體積等.運用直觀感知、操作確認、度量計算等方法,認識和探索空間幾何圖形及其性質. 本章中的有關概念，主要采用分析具體實例的共同特點，再抽象其本質屬性空間圖形而得到.教學中應充分使用直觀模型，必要時要求學生自己制作模型，引導學生直觀感知模型，然后再抽象出有關空間幾何體的本質屬性，從而形成概念. 本章內容是在義務教育階段學習的基礎上展開的.例如，對于棱柱，在義務教育階

2、段直觀認識正方體、長方體等的基礎上，進一步研究了棱柱的結構特征及其體積、表面積.因此，在教材內容安排中，特別注意了與義務教育階段“空間與圖形”相關內容的銜接. 值得注意的是在教學中，要堅持循序漸進，逐步滲透空間想象能力面的訓練.由于受有關線面位置關系知識的限制，在講解空間幾何體的結構時，少問為什么，多強調感性認識.要準確把握這方面的要求，防止拔高教學.重視函數(shù)與信息技術整合的要求，通過電腦繪制簡單幾何體的模型,使學生初步感受到信息技術在學習中的重要作用.為了體現(xiàn)教材的選擇性,在練習題安排上加大了彈性,教師應根據(jù)學生的實際,合理地進行取舍. 本章教學時間約需7課時，具體分配如下（僅供參考）：柱、

3、錐、臺、球的結構特征約1課時簡單組合體的結構特征約1課時中心投影與平行投影約1課時空間幾何體的三視圖空間幾何體的直觀圖約1課時柱體、錐體、臺體的表面積與體積約1課時球的體積和表面積約1課時本章復習約1課時1.1 空間幾何體的結構 柱、錐、臺、球的結構特征整體設計教學分析 本節(jié)教材先展示大量幾何體的實物、模型、圖片等，讓學生感受空間幾何體的結構特征，從整體上認識空間幾何體，再深入細節(jié)認識，更符合學生的認知規(guī)律. 值得注意的是：由于沒有點、直線、平面的有關知識，所以本節(jié)的學習不能建立在嚴格的邏輯推理的基礎上，這與以往的教材有較大的區(qū)別，教師在教學中要充分注意到這一點.本節(jié)教學盡量使用信息技術等手段

4、，向學生展示更多具有典型幾何結構特征的空間物體，增強學生的感受.三維目標1.掌握柱、錐、臺、球的結構特征，學會觀察、分析圖形，提高空間想象能力和幾何直觀能力.2.能夠描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構，學會建立幾何模型研究空間圖形，培養(yǎng)數(shù)學建模的思想.重點難點教學重點：柱、錐、臺、球的結構特征.教學難點：歸納柱、錐、臺、球的結構特征.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.從古至今，各個國家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市大廈的旋轉酒吧、旋轉餐廳，還有上海東方明珠塔上的兩個球形建筑等.它們都是獨具匠心、整體協(xié)調的建筑物，是建筑師們集體智慧的結晶.今天我們如何從數(shù)學的角度來看待這些建

5、筑物呢？引出課題：柱、錐、臺、球的結構特征.思路2.在我們的生活中會經常發(fā)現(xiàn)一些具有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑的幾何結構特征如何？引導學生回憶，舉例和相互交流.教師對學生的活動及時給予評價.引出課題：柱、錐、臺、球的結構特征.推進新課新知探究提出問題1.觀察下面的圖片，請將這些圖片中的物體分成兩類，并說明分類的標準是什么？圖12.你能給出多面體和旋轉體的定義嗎？活動：讓學生分組討論，根據(jù)初中已有的知識，學生很快就能分成兩類，對沒有思路的學生，教師予以提示.1.根據(jù)圍成幾何體的面是否都是平面來分類.2.根據(jù)圍成幾何體的面的特點來定義多面體，利用動態(tài)的觀點來定義旋轉體.討論結果：1

6、.通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)，（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16）具有同樣的特點：組成幾何體的每個面都是平面圖形，并且都是平面多邊形，像這樣的幾何體稱為多面體；（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、（11）、（12）具有同樣的特點：組成它們的面不全是平面圖形，像這樣的幾何體稱為旋轉體.2.多面體：一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.按圍成多面體的面數(shù)分為：四面體、五面體、六面體、，一個多面體最少有4個面，四面體是三棱錐.棱柱、棱錐、棱臺均是

7、多面體.旋轉體：由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸.圓柱、圓錐、圓臺、球均是旋轉體.提出問題1.與其他多面體相比，圖片中的多面體（5）、（7）、（9）具有什么樣的共同特征？2.請給出棱柱的定義？3.與其他多面體相比，圖片中的多面體（14）、（15）具有什么樣的共同特征？4.請給出棱錐的定義.5.利用同樣的方法給出棱臺的定義.活動：學生先思考或討論，如果學生沒有思路時，教師再提示.對于1、3，可根據(jù)圍成多面體的各個面的關系來分析.對于2,利用多面體（5）、（7）、（9）的共同特征來定義棱柱.對于4,利用多面體（14）、（15）的共同

8、特征來定義棱錐.對于5,利用圖片中的多面體（13）、（16）的共同特征來定義棱臺.討論結果：1.特點是：有兩個面平行，其余的面都是平行四邊形.像這樣的幾何體稱為棱柱.2.定義：兩個平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體稱為棱柱.棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱;側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.表示法：用表示底面各頂點的字母表示棱柱.分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱3.其中一個面是多邊形，其余各面是三角形，這樣的幾何體稱為棱錐.4.定義：有一面為多邊形，其余

9、各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的多面體叫做棱錐.這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱.表示法：用頂點和底面各頂點的字母表示.分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐5.定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺.原棱錐的底面和截面叫做棱臺的下底面和上底面；其他各面叫做棱臺的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱臺的側棱；底面多邊形與側面的公共頂點叫做棱臺的頂點.表示法：用表示底面各頂點的字母表示棱臺.分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱臺、四棱臺、五棱臺提出問題

10、1.與其他旋轉體相比，圖片中的旋轉體（1）、（8）具有什么樣的共同特征？2.請給出圓柱的定義.3.其他旋轉體相比，圖片中的旋轉體（3）、（6）具有什么樣的共同特征？4.請給出圓錐的定義.5.類比圓錐和圓柱的定義方法，請給出圓臺的定義.6.用同樣的方法給出球的定義.討論結果：1.靜態(tài)的觀點：有兩個平行的平面，其他的面是曲面；動態(tài)的觀點：矩形繞其一邊旋轉形成的面圍成的旋轉體.像這樣的旋轉體稱為圓柱.2.定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的旋轉體叫做圓柱.旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面，圓柱

11、的側面又稱為圓柱面，無論轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線.表示：圓柱用表示軸的字母表示.規(guī)定：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體.3.靜態(tài)的觀點：有一平面，其他的面是曲面；動態(tài)的觀點：直角三角形繞其一直角邊旋轉形成的面圍成的旋轉體.像這樣的旋轉體稱為圓錐.4.定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉而形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐.旋轉軸叫做圓錐的軸；垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的圓面稱為圓錐的底面；不垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面，圓錐的側面又稱為圓錐面，無論轉到什么位置，這條邊都叫做圓錐側面的母線.表示：圓錐用表示軸的字母表示.規(guī)定：圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體.

12、5.定義：以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺.還可以看成是用平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截面與底面之間的部分.旋轉軸叫做圓臺的軸；垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的圓面稱為圓臺的底面；不垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓臺的側面，無論轉到什么位置，這條邊都叫做圓臺側面的母線.表示：圓臺用表示軸的字母表示.規(guī)定：圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體.6.定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，將半圓旋轉一周所形成的曲面稱為球面，球面所圍成的旋轉體稱為球體，簡稱球.半圓的圓心稱為球心，連接球面上任意一點與球心的線段稱為球的半徑，連接球面上兩點并且過球心的線段稱為

13、球的直徑.表示：用表示球心的字母表示.知識總結：1.棱柱、棱錐、棱臺的結構特征比較，如下表所示:結構特征棱柱棱錐棱臺定義兩個平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體稱為棱柱有一面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺底面兩底面是全等的多邊形多邊形兩底面是相似的多邊形側面平行四邊形三角形梯形側棱平行且相等相交于頂點延長線交于一點平行于底面的截面與兩底面是全等的多邊形與底面是相似的多邊形與兩底面是相似的多邊形過不相鄰兩側棱的截面平行四邊形

14、三角形梯形2.圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征比較，如下表所示:結構特征圓柱圓錐圓臺球定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，將半圓旋轉一周所形成的曲面稱為球面，球面所圍成的幾何體稱為球體，簡稱球底面兩底面是平行且半徑相等的圓圓兩底面是平行但半徑不相等的圓無側面展開圖矩形扇形扇環(huán)不可展開母線平行且相等相交于頂點延長線交于一點無平行于底面的截面與兩底面是平行

15、且半徑相等的圓平行于底面且半徑不相等的圓與兩底面是平行且半徑不相等的圓球的任何截面都是圓軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓3.簡單幾何體的分類：應用示例思路1例1 下列幾何體是棱柱的有（ ）圖2A.5個 B.4個 C.3個 D.2個活動：判斷一個幾何體是哪種幾何體，一定要緊扣柱、錐、臺、球的結構特征，注意定義中的特殊字眼，切不可馬虎大意.棱柱的結構特征有三方面：有兩個面互相平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形面中，每相鄰兩個面的公共邊都互相平行.當一個幾何體同時滿足這三方面的結構特征時，這個幾何體才是棱柱.很明顯，幾何體均不符合，僅有符合.答案：D點評：本題主要考查棱柱的結構特征.本題容易錯

16、認為幾何體也是棱柱，其原因是忽視了棱柱必須有兩個面平行這個結構特征，避免出現(xiàn)此類錯誤的方法是將教材中的各種幾何體的結構特征放在一起對比，并且和圖形對應起來記憶，要做到看到文字敘述就想到圖，看到圖形就想到文字敘述.變式訓練1.下列幾個命題中，兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺;有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺;各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體;分別以矩形兩條不等的邊所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉，所得到的兩個圓柱是兩個不同的圓柱.其中正確的有_個.（ ）A.1 B.2 C.3 D.4分析：中兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保證側棱會交于一點，所以

17、是錯誤的；中兩個底面互相平行，其余四個面都是等腰梯形，也有可能兩底面根本就不相似，所以不正確；中底面不一定是正方形，所以不正確；很明顯是正確的.答案：A2.下列命題中正確的是（ ）A.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D.棱臺各側棱的延長線交于一點答案：D3.下列命題中正確的是（ ）A.以直角三角形的一直角邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐B.以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺C.圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面D.圓錐的側面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半

18、徑分析：以直角梯形垂直于底的腰為軸，旋轉所得的旋轉體才是圓臺，所以B不正確；圓錐僅有一個底面，所以C不正確；圓錐的側面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長，所以D不正確.很明顯A正確.答案：A思路2例1 （2007寧夏模擬，理6）長方體AC1的長、寬、高分別為3、2、1，從A到C1沿長方體的表面的最短距離為（ ）A. B. C. D.活動：解決空間幾何體表面上兩點間最短線路問題，一般都是將空間幾何體表面展開，轉化為求平面內兩點間線段長，這體現(xiàn)了數(shù)學中的轉化思想.解：如圖3，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1.圖3如圖4所示，將側面ABB1A1和側面

19、BCC1B1展開,圖4則有AC1=，即經過側面ABB1A1和側面BCC1B1時的最短距離是；如圖5所示，將側面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開,則有AC1=，即經過側面ABB1A1和底面A1B1C1D1時的最短距離是；圖5如圖6所示，將側面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開,圖6則有AC1=，即經過側面ADD1A1和底面A1B1C1D1時的最短距離是.由于，所以由A到C1在正方體表面上的最短距離為.答案：C點評：本題主要考查空間幾何體的簡單運算及轉化思想.求表面上最短距離可把圖形展成平面圖形.變式訓練1.圖7是邊長為1 m的正方體，有一蜘蛛潛伏在A處，B處有一小蟲被蜘蛛網粘住，請制作

20、出實物模型，將正方體剪開，描述蜘蛛爬行的最短路線. 圖7 圖8分析：制作實物模型(略).通過正方體的展開圖8可以發(fā)現(xiàn),AB間的最短距離為A、B兩點間的線段的長.由展開圖可以發(fā)現(xiàn),C點為其中一條棱的中點.具體爬行路線如圖9中的粗線所示,我們要注意的是爬行路線并不唯一.解：爬行路線如圖9(1)(6)所示：圖92.（2006江西高考，理15）如圖10所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為1，高為8，一質點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路線的長為_.圖10分析：將正三棱柱ABCA1B1C1沿側棱AA1展開，其側面展開圖如圖11所示，則沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的

21、最短路線的長就是圖11中AD+DA1.延長A1F至M，使得A1F=FM，連接DM，則A1D=DM，如圖12所示. 圖11 圖12則沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路線的長就是圖12中線段AM的長.在圖12中,AA1M是直角三角形，則AM=10.答案：10知能訓練1.（2007廣東中山二模，文2）如圖13，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）圖13A.（1）是棱臺 B.（2）是圓臺C.（3）是棱錐 D.（4）不是棱柱分析：圖（1）不是由棱錐截來的，所以（1）不是棱臺；圖（2）上下兩個面不平行，所以（2）不是圓臺；圖（4）前后兩個面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行

22、，所以（4）是棱柱；很明顯（3）是棱錐.答案：C2.下面幾何體中，過軸的截面一定是圓面的是（ ）A.圓柱 B.圓錐 C.球 D.圓臺分析：圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是圓面，所以A、B、D均不正確.答案：C3.（2007山東菏澤二模，文13）一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，如圖14所示，A、B、C是展開圖上的三點，則在正方體盒子中ABC=_.圖14分析：如圖15所示，折成正方體，很明顯點A、B、C是上底面正方形的三個頂點，則ABC=90°.圖15答案：90°4.（2007山東東營三模，文13）有一粒正方體的骰子每一個面

23、有一個英文字母，如圖16所示.從3種不同角度看同一粒骰子的情況，請問H反面的字母是_.圖16分析：正方體的骰子共有6個面，每個面都有一個字母，從每一個圖中都看到有公共頂點的三個面，與標有S的面相鄰的面共有四個，由這三個圖,知這四個面分別標有字母H、E、O、p、d，因此只能是標有“p”與“d”的面是同一個面，p與d是一個字母；翻轉圖，使S面調整到正前面，使p轉成d，則O為正下面，所以H的反面是O.答案：O5.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392 cm2，母線與軸的夾角是45°，求這個圓臺的高、母線長和底面半徑.分析：這類題目應該選取軸截面研究幾何關系.解：圓

24、臺的軸截面如圖17，圖17設圓臺上、下底面半徑分別為x cm和3x cm，延長AA1交OO1的延長線于S.在RtSOA中，ASO=45°，則SAO=45°.所以SO=AO=3x.所以OO1=2x.又（6x+2x）·2x=392，解得x=7，所以圓臺的高OO1=14 cm，母線長l=OO1=cm，而底面半徑分別為7 cm和21 cm,即圓臺的高14 cm，母線長cm，底面半徑分別為7 cm和21 cm.6.（2005全國高中數(shù)學競賽浙江預賽，4）正方體的截平面不可能是鈍角三角形;直角三角形;菱形;正五邊形;正六邊形. 下述選項正確的是：（ ）A. B. C. D.分

25、析：正方體的截平面可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形（證明略）；對四邊形來講，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形（證明略）；對五邊形來講，不可能是正五邊形（證明略）；對六邊形來講，可以是六邊形（正六邊形）.答案：B拓展提升1.有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？分析：如圖18所示，此幾何體有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形，很明顯這個幾何體不是棱柱，因此說有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱.圖18 由此看，判斷一個幾何體是否是棱柱，關鍵是緊扣棱柱的3個本質特征：有兩個面互相平行；其余各面都是四邊形；每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行.這3個特征缺一不可，圖18所示的幾何體不具備特