對(duì)數(shù)學(xué)B版教材選修

1、對(duì)數(shù)學(xué)B版教材選修22微積分部分的初步認(rèn)識(shí)及教學(xué)建議山東省日照市五蓮縣第一中學(xué)段智紅舒艷妮鄭澤法微積分學(xué)在數(shù)學(xué)以至整個(gè)自然科學(xué)中占有重要的地位，微積分學(xué)是人類思維的偉大成果之一，它的產(chǎn)生和發(fā)展被譽(yù)為“近代技術(shù)文明所產(chǎn)生的關(guān)鍵事件之一，它引入了若干極其成功的對(duì)以后數(shù)學(xué)的發(fā)展起決定性作用的思想”。微積分的思想方法是17世紀(jì)產(chǎn)生的關(guān)鍵性的數(shù)學(xué)思想方法，不僅是學(xué)生以后學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力有很大的促進(jìn)作用。微積分作為一個(gè)強(qiáng)大的工具，也可以幫助我們解決一些用初等數(shù)學(xué)思想處理比較繁瑣的數(shù)學(xué)問題。其中導(dǎo)數(shù)和積分是微積分學(xué)中最重要的兩個(gè)概念，它們是研究函數(shù)和解決

2、實(shí)際問題的重要工具。本書第一章的重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，以及定積分和微積分基本定理。由于中學(xué)生的認(rèn)知水平和其他原因，數(shù)學(xué)B版教材對(duì)微積分的處理突出了概念的本質(zhì)，略去了極限，直接通過實(shí)際背景和具體應(yīng)用實(shí)例，抽象概括導(dǎo)數(shù)的概念，重視了幾何直觀。由于上述原因，對(duì)于本章的教學(xué)有很大難度，對(duì)此我們做出如下教學(xué)建議。一、讓學(xué)生直觀感知微積分的必備知識(shí)：函數(shù)的連續(xù)性和極限教材對(duì)微積分的定位比較好，充分考慮到學(xué)生的實(shí)際水平，略去了函數(shù)的連續(xù)性和極限。但由于教學(xué)的實(shí)際，筆者認(rèn)為在授課之前應(yīng)用適當(dāng)?shù)男问阶寣W(xué)生感知函數(shù)的連續(xù)性和極限。例如：如果函數(shù)是連續(xù)的，那么它的圖象是一條連綿不斷的曲線；在一定條件下極限與某個(gè)常數(shù)A

3、的差的絕對(duì)值越來越小，可以小于預(yù)先給定的任意正數(shù)，可以通過表格來定性分析和定量分析，把“無限趨近”給以確切的描述，或者舉例說明求函數(shù)的極限，例如數(shù)學(xué)B版教材第17頁的可提前介紹。二、概念的挖掘課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這部分內(nèi)容的定位強(qiáng)調(diào)對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，不僅作為一種規(guī)則，也作為一種重要的思想方法來學(xué)習(xí)。教材直接通過實(shí)際背景和具體應(yīng)用實(shí)例速度膨脹率效率增長(zhǎng)率等反映導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，認(rèn)識(shí)和理解導(dǎo)數(shù)概念，在對(duì)實(shí)際背景問題研究的基礎(chǔ)上，抽象概括出導(dǎo)數(shù)的概念。（一）函數(shù)的平均變化率教材中以用數(shù)量表示登山路線的平緩及陡峭程度為例引出平均變化率的概念，直觀形象，易于理解。在

4、引例中要注意當(dāng)山路彎曲時(shí)，將彎曲山路分成許多小段，每一小段可視為平直的，體現(xiàn)了一種逼近的思想。平均變化率的概念應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）函數(shù)f（x）在x0處有定義；（2）x1是x0附近的任意一點(diǎn)，即x=x1-x00，但可正可負(fù)；（3）改變量的對(duì)應(yīng)：若x=x1-x0，則y=f（x1）-f（x0），而不是y=f（x0）-f1 / 6（x1）；（4）平均變化率可正可負(fù)也可為零。（二）瞬時(shí)變化率教材通過具體實(shí)例和給定時(shí)間變化量t的具體值分析了瞬時(shí)速度與平均速度的關(guān)系：瞬時(shí)速度是當(dāng)t趨近于0時(shí)平均速度所趨近的常數(shù)值。這一分析過程所體現(xiàn)的無限逼近思想，實(shí)際是一種極限思想。瞬時(shí)變化率概念的教學(xué)應(yīng)注意對(duì)x0時(shí)，f

5、（x0）的理解。授課時(shí)可先讓學(xué)生參照數(shù)學(xué)版教材第7頁的表格體會(huì)x與0要多近有多近，即x-0小于給定的任意小的正數(shù)，但x0。同理可理解f（x0）。（三）定積分的概念定積分概念的教學(xué)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：1.定積分是一種“和”的極限。2.定積分的幾何意義。圖1（1）若f（x）0，則定積分 f（x）dx在幾何上表示由曲線y=f（x），直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積S（如圖1），即S= f（x）dx。圖2    （2）若f（x）0，xa，b，那么曲邊梯形位于軸下方（如圖2）， f（x）dx= f（i）xi，xi0，f（i）

6、0，圖3f（i）xi0。 f（x）dx0。 f（x）dx=-S。（3）當(dāng)f（x）在區(qū)間a，b上有正有負(fù)時(shí)，積分 f（x）dx表示=-S1+S2-S3（如圖3）。三、例題的變式和處理1.講解1.13節(jié)“導(dǎo)數(shù)幾何意義”后，例3變式引申如下：已知曲線y=x3+：（1）求點(diǎn)P（2，4）處的切線方程；（2）求過點(diǎn)P（2，4）的切線方程。分析：（1）問點(diǎn)P（2，4）處的切線即P為切點(diǎn)，所以切線易求得為4x-y-4=0。（2）問過點(diǎn)P（2，4）的切線，P可為切點(diǎn)，此時(shí)切線方程為4x-y-4=0；若P不為切點(diǎn)， 可設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)閒 ' （x）=x2，所以。解得x

7、0=-1。所以切點(diǎn)為（-1，1）。所以切線方程為y-1=x+1，即x-y+2=0。通過本小題的練習(xí)可使學(xué)生明確“點(diǎn)P處的切線”與“過點(diǎn)P的切線”的不同意義。2.講解第26頁1.3.1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。例題運(yùn)用了一個(gè)充分條件：x（a，b），f ' (x)0（f' (x)0）f '(x)在（a，b）遞增（遞減）。在解題時(shí)容易導(dǎo)致學(xué)生誤解。例如，第38頁習(xí)題13A中的第1題的第(3)小題求y=（x-1）3的增減區(qū)間，若采用課本例題做法易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤。解：定義域（-，+），f ' （x）=3（x-1）2。令f ' （x）0，得x1，所以=（x-

8、1）3的單調(diào)增區(qū)間為（-，1）和（1，+）。而本來是一個(gè)單調(diào)增區(qū)間（-，+）卻分成了兩個(gè)。建議運(yùn)用定理“若函數(shù)f （x）在（a，b）可導(dǎo)，則f (x)在（a，b）遞增（遞減）f ' (x)0（f ' (x)0），x（a，b）”。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，簡(jiǎn)單明了。上題解法如下：解：定義域（-，+），f ' （x）=3（x-1）2，令f ' （x）0， 得xR。所以y=（x-1）3的單調(diào)增區(qū)間為（-，+）。四、習(xí)題規(guī)律尋找課本第49頁習(xí)題14B的第2題的第（2）、第（3）小題以及第53頁“鞏固與提高”的第12題均是關(guān)于求兩曲線所圍成的區(qū)域面積的問題。由此可得規(guī)律如下：如果圖形由曲線y1=f1（x），y2=f2（x）（不妨設(shè)f1（x）f2（x）0）及直線x=a，x=b（ab）圍成（如圖4），那么所求圖形的面積為：SABCD= f1（x）dx- f2（x）dx。推廣：由y1=f1（x），y2=f2（x），x=a，x=b（ab）所圍成（如圖5）的區(qū)域面積公式為：S=f1（x）-f2（x）dx（可以讓學(xué)生用特例驗(yàn)證）。圖4圖5如何進(jìn)行微積分教學(xué)在高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)全新的課題，相對(duì)于代數(shù)和幾何等經(jīng)典內(nèi)容已經(jīng)臻于完善的