彈性力學(xué)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)

1、1-1 1-1 彈性力學(xué)研究內(nèi)容彈性力學(xué)研究內(nèi)容1-2 1-2 彈性力學(xué)基本假定彈性力學(xué)基本假定1-3 1-3 彈性力學(xué)幾個基本概念彈性力學(xué)幾個基本概念1-4 1-4 彈性力學(xué)問題的提法彈性力學(xué)問題的提法1-1 1-1 彈性力學(xué)研究內(nèi)容彈性力學(xué)研究內(nèi)容一一. . 研究內(nèi)容研究內(nèi)容材力材力: : （內(nèi)容）桿件在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、材料（內(nèi)容）桿件在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、材料 的宏觀力學(xué)性質(zhì)、破壞準(zhǔn)則等。的宏觀力學(xué)性質(zhì)、破壞準(zhǔn)則等。 結(jié)力結(jié)力: :（內(nèi)容）桿件系統(tǒng)（桿系結(jié)構(gòu)）在外力或溫度作用下（內(nèi)容）桿件系統(tǒng)（桿系結(jié)構(gòu)）在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等變化規(guī)律。的應(yīng)力、變形

2、、位移等變化規(guī)律。 （任務(wù)）解決桿系的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。（任務(wù)）解決桿系的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。 （任務(wù)）解決桿件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。（任務(wù)）解決桿件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。 彈力彈力: :（內(nèi)容）彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、（內(nèi)容）彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等分布規(guī)律。位移等分布規(guī)律。 （任務(wù)）解決彈性體的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。（任務(wù)）解決彈性體的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。 二二. . 彈性力學(xué)與材力、結(jié)力課程的區(qū)別彈性力學(xué)與材力、結(jié)力課程的區(qū)別材力：材力：1. 1. 研究對象研究對象桿件（直桿、小曲率桿）桿件（直桿、小曲率桿）結(jié)力：結(jié)力：桿件系統(tǒng)（

3、或結(jié)構(gòu)）桿件系統(tǒng)（或結(jié)構(gòu)）彈力：彈力：一般彈性實(shí)體結(jié)構(gòu)：一般彈性實(shí)體結(jié)構(gòu)：三維彈性固體、板狀結(jié)構(gòu)、桿件等三維彈性固體、板狀結(jié)構(gòu)、桿件等2. 2. 研究方法研究方法材力：材力：借助于直觀和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象作一些假定，如平面假借助于直觀和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象作一些假定，如平面假設(shè)等，然后由靜力學(xué)、幾何關(guān)系、物理方程三設(shè)等，然后由靜力學(xué)、幾何關(guān)系、物理方程三方面進(jìn)行分析。方面進(jìn)行分析。結(jié)力：結(jié)力：與材力類同。與材力類同。彈力：彈力：僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分假定。析，放棄了材力中的大部分假定。如：梁的彎曲問題如：梁的彎曲問題彈性力學(xué)結(jié)果彈性力

4、學(xué)結(jié)果材料力學(xué)結(jié)果材料力學(xué)結(jié)果當(dāng)當(dāng) l h 時，兩者誤差很小時，兩者誤差很小如：變截面桿受拉伸如：變截面桿受拉伸 彈性力學(xué)以微元體彈性力學(xué)以微元體為研究對象，建立方程為研究對象，建立方程求解，得到彈性體變形求解，得到彈性體變形的一般規(guī)律。所得結(jié)果的一般規(guī)律。所得結(jié)果更符合實(shí)際。更符合實(shí)際。3. 3. 數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)材力材力結(jié)力結(jié)力 常微分方程（常微分方程（4 4階，一個變量）。階，一個變量）。彈力彈力 偏微分方程（高階，二、三個變量）。偏微分方程（高階，二、三個變量）。數(shù)值解法：能量法（變分法）、差分法、有數(shù)值解法：能量法（變分法）、差分法、有限單元法等。限單元法等。三三. . 與其

5、他力學(xué)課程的關(guān)系與其他力學(xué)課程的關(guān)系 彈性力學(xué)是塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、巖土力學(xué)、振動理論、彈性力學(xué)是塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、巖土力學(xué)、振動理論、有限單元法等課程的基礎(chǔ)。有限單元法等課程的基礎(chǔ)。1-2 1-2 彈性力學(xué)中的基本假定彈性力學(xué)中的基本假定一一. . 連續(xù)性假定連續(xù)性假定 整個物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿，不留下任何整個物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿，不留下任何空隙。空隙。 該假定在研究物體的宏觀力學(xué)特性時，與工程實(shí)際吻合該假定在研究物體的宏觀力學(xué)特性時，與工程實(shí)際吻合較好；研究物體的微觀力學(xué)性質(zhì)時不適用。較好；研究物體的微觀力學(xué)性質(zhì)時不適用。作用：作用： 使得使得 、 、u 等量表示

6、成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。等量表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。( , , )x y z( , , )uu x y z( , , )x y z并保證各量的極限，如并保證各量的極限，如存在。存在。如如d0ddlimdssss二二. . 線彈性假定線彈性假定 假定物體完全服從胡克（假定物體完全服從胡克（Hooke）定律，應(yīng)力與應(yīng)變）定律，應(yīng)力與應(yīng)變間成線性比例關(guān)系（正負(fù)號變化也相同）。間成線性比例關(guān)系（正負(fù)號變化也相同）。比例常數(shù)比例常數(shù) 彈性常數(shù)（彈性常數(shù)（E、）脆性材料脆性材料 一直到破壞前，都可近似為線彈性的；一直到破壞前，都可近似為線彈性的；塑性材料塑性材料 比例階段，可視為線彈性的。比例階段，可視為線彈性的

7、。三三. . 均勻性假定均勻性假定作用：作用： 可使求解方程線性化可使求解方程線性化 假定整個物體是由同一種材料組成假定整個物體是由同一種材料組成 的，各部分材料性的，各部分材料性質(zhì)相同。質(zhì)相同。作用：作用：彈性常數(shù)（彈性常數(shù)（E、 ）不隨位置坐標(biāo)而變化；不隨位置坐標(biāo)而變化；取微元體分析的結(jié)果可應(yīng)用于整個物體。取微元體分析的結(jié)果可應(yīng)用于整個物體。四四. . 各向同性假定各向同性假定 假定物體內(nèi)一點(diǎn)的彈性性質(zhì)在所有各個方向都相同。假定物體內(nèi)一點(diǎn)的彈性性質(zhì)在所有各個方向都相同。作用：作用：彈性常數(shù)（彈性常數(shù)（E、 ）不隨坐標(biāo)方向而變化；不隨坐標(biāo)方向而變化；金屬金屬 上述假定符合較好；上述假定符合較

8、好；木材、巖石木材、巖石 上述假定不符合，稱為各向異性材料；上述假定不符合，稱為各向異性材料；符合上述符合上述4個假定的物體，稱為理想彈性體。個假定的物體，稱為理想彈性體。五五. . 小變形假定小變形假定 假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內(nèi)各點(diǎn)假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內(nèi)各點(diǎn)位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小物體的原來的尺寸。位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小物體的原來的尺寸。1,1作用：作用：建立方程時，可略去高階微量；建立方程時，可略去高階微量；可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸?？捎米冃吻暗某叽绱孀冃魏蟮某叽纭Ｊ骨蠼獾姆匠叹€性化。使求解的方程線性化。1-3 1-3 彈性力學(xué)中的幾個基本概念彈性力學(xué)中的幾個基本概念

9、一一. . 外力外力體力、面力（材力：集中力、分布力。）1. 1. 體力體力VF 彈性體內(nèi)單位體積上所受的外力。彈性體內(nèi)單位體積上所受的外力。0limVFfV 體力分布集度體力分布集度（矢量）（矢量）xyzOijkxfyfzfxyzff if jf kfx、fy、fz為體力矢量在坐標(biāo)軸上的投影，為體力矢量在坐標(biāo)軸上的投影，稱為體力分量。稱為體力分量。單位：單位： N/m3kN/m3說明：說明：(1)(1) 是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)(2)(2) 的形式是任意的的形式是任意的( (如重力、磁場力、慣性力等如重力、磁場力、慣性力等) )(3)(3) fx、fy、fz 的正負(fù)號由坐標(biāo)方

10、向確定的正負(fù)號由坐標(biāo)方向確定ff2. 2. 面力面力 作用于物體表面單位面積上的外力作用于物體表面單位面積上的外力SF0limSFfS 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzOijkxfyfzfxyzff if jf k fx、 fy 、 fx 為面力矢量在坐標(biāo)軸上的投為面力矢量在坐標(biāo)軸上的投影，稱為面力分量。影，稱為面力分量。單位：單位：1N/m2 =1Pa ( (帕帕) )1MN/m2 = 106Pa = 1MPa ( (兆帕兆帕) )說明：說明：(1)(1) f 是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；(2)(2) f 的加載方式是任意的；的加載方式是任意的；(3) (3)

11、的正負(fù)號由坐標(biāo)方向確定。的正負(fù)號由坐標(biāo)方向確定。xfyfzf二二. . 應(yīng)力應(yīng)力1. 1. 一點(diǎn)應(yīng)力的概念一點(diǎn)應(yīng)力的概念內(nèi)力內(nèi)力(1) 物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力;(2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.SCP0limCSNCFpS(1) P點(diǎn)的內(nèi)力面分布集度點(diǎn)的內(nèi)力面分布集度(2) 應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量:P點(diǎn)的點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)力的極限方向的極限方向F由外力引起的在由外力引起的在 P點(diǎn)的某一面上內(nèi)力分布集度點(diǎn)的某一面上內(nèi)力分布集度應(yīng)力分量應(yīng)力分量N(法線法線)NN法向分量法向分量N 正應(yīng)力正應(yīng)力切向分量切向分量N 切應(yīng)力切應(yīng)力單位單位:與面

12、力相同與面力相同MPa (兆帕)應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布( , , )Nx y z( , , )Nx y zNpFC2. 2. 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 通過一點(diǎn)通過一點(diǎn)P 可作無窮多個截面，各個截面上應(yīng)力狀況的可作無窮多個截面，各個截面上應(yīng)力狀況的集合集合 稱為稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：面的應(yīng)力：,xxyxz y面的應(yīng)力：面的應(yīng)力：,yyxyzz面的應(yīng)力：面的應(yīng)力：,zzxzy 根據(jù)空間的三維性，用三個特殊截面來代表。即通過一根據(jù)空間的三維性，用三個特殊截面來代表。即通過一點(diǎn)點(diǎn)P 可作三個相互垂直的截面，該三個截面上應(yīng)力狀況的集可作三個相互垂直的截面，該

13、三個截面上應(yīng)力狀況的集合就完整地代表了合就完整地代表了P點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1）P 點(diǎn)的位置點(diǎn)的位置 P(x，y，z)2）C 截面的方位截面的方位 N(l1，l2，l3)3） 的數(shù)值大小的數(shù)值大小P點(diǎn)全應(yīng)力的完整意義：點(diǎn)全應(yīng)力的完整意義：共九個分量共九個分量用矩陣表示：用矩陣表示：xxyxzyxyyzzxzyz 其中，只有其中，只有6個量獨(dú)立。個量獨(dú)立。xyxyyxyzzy切應(yīng)力互等定理應(yīng)力符號的意義：應(yīng)力符號的意義：zxxz第第1個下標(biāo)個下標(biāo) x ，表示表示 所在面的法線方向；所在面的法線方向；第第2個下標(biāo)個下標(biāo) y ，表示表示 的方向的方向.應(yīng)力正負(fù)號的規(guī)定：應(yīng)力正負(fù)號的規(guī)定：正應(yīng)力正

14、應(yīng)力 拉為正，壓為負(fù)。拉為正，壓為負(fù)。切應(yīng)力切應(yīng)力 坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時為正；坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時為正；坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時為正。坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時為正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx用微元體表示：用微元體表示：與材力中切應(yīng)力與材力中切應(yīng)力 正負(fù)正負(fù)號規(guī)定的區(qū)別：號規(guī)定的區(qū)別：xyxyxyxyxyyxxy規(guī)定使得單元體順時轉(zhuǎn)的規(guī)定使得單元體順時轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力剪應(yīng)力 為正，反之為負(fù)。為正，反之為負(fù)。xyyx 在用應(yīng)力莫爾圓時必須用此規(guī)定在用應(yīng)力莫爾圓時必須用此規(guī)定求解問題求解問題xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzxx

15、yzOP線應(yīng)變：線應(yīng)變：rdsrdsd0ddlimdrssss稱為稱為 P 點(diǎn)沿點(diǎn)沿 r 方向上的方向上的線應(yīng)變線應(yīng)變角應(yīng)變：角應(yīng)變：srsrrsrsrs稱為稱為 P 點(diǎn)在點(diǎn)在 rs 方向上的方向上的角應(yīng)變角應(yīng)變?nèi)? . 變形變形1. 1. 一點(diǎn)變形的度量一點(diǎn)變形的度量工程應(yīng)變的定義工程應(yīng)變的定義變形變形 物體的形狀改變物體的形狀改變線元長度的改變線元長度的改變兩線元間夾角的改變兩線元間夾角的改變應(yīng)變的正負(fù)：應(yīng)變的正負(fù)：線應(yīng)變：線應(yīng)變： 伸長時為正，縮短時為負(fù)伸長時為正，縮短時為負(fù)角應(yīng)變：角應(yīng)變： 夾角變小時為正，變大時為負(fù)夾角變小時為正，變大時為負(fù) 過過 P 點(diǎn)所有方向上的線應(yīng)變和角應(yīng)變的

16、集合稱為點(diǎn)所有方向上的線應(yīng)變和角應(yīng)變的集合稱為P點(diǎn)的應(yīng)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)變狀態(tài)過過 P 點(diǎn)可有無窮多個方向的線元點(diǎn)可有無窮多個方向的線元2. 2. 一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)的描述一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)的描述 根據(jù)空間的三維性，用三個特殊方向根據(jù)空間的三維性，用三個特殊方向來代表。來代表。xyzOPrstdzdxdy 即通過一點(diǎn)即通過一點(diǎn)P 可作三個相互垂直可作三個相互垂直的線元。的線元。 該三線元長度改變（線應(yīng)變）和該三線元長度改變（線應(yīng)變）和線元間夾角改變（角應(yīng)變）的集合就完整線元間夾角改變（角應(yīng)變）的集合就完整地代表了地代表了P點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài) 根據(jù)應(yīng)變定義根據(jù)應(yīng)變定義三個線應(yīng)變：三個線應(yīng)變：rxsytz

17、三個角應(yīng)變：三個角應(yīng)變：rsxystyztrzx共六個分量。即該六個分量可完整描述共六個分量。即該六個分量可完整描述P點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。相互垂直線元的線應(yīng)變和角應(yīng)變也稱為相互垂直線元的線應(yīng)變和角應(yīng)變也稱為工程正應(yīng)變工程正應(yīng)變和和工程切應(yīng)變工程切應(yīng)變寫成矩陣形式寫成矩陣形式112211221122xxyxzyxyyzzxzyz其中其中zxxzxyyxyzzy應(yīng)變無量綱；應(yīng)變無量綱；四四. . 位移位移 注：注：一點(diǎn)的位移一點(diǎn)的位移 矢量矢量應(yīng)變分量均為位置坐標(biāo)的函數(shù)，即應(yīng)變分量均為位置坐標(biāo)的函數(shù)，即( , , ),xxx y z( , , ) ,xyxyx y zxyzOwuvPP位移分量：位移分量：u x方向的位移分量；方向的位移分量；v y方向的位移分量；方向的位移分量；w z方向的位移分量。方向的位移分量。量綱：量綱：m 或 mmSS已知外力、物體的形狀和大小（邊界）、材料特性已知外力、物體的形狀和大?。ㄟ吔纾⒉牧咸匦裕‥、 ）、約束條件等，求