24　最大值與最小值問(wèn)題優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

1、2.4最大值與最小值問(wèn)題，優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型1.理解最值概念，并能應(yīng)用柯西不等式、平均值不等式求函數(shù)的最值.2.能利用不等式解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.基礎(chǔ)·初探教材整理最值問(wèn)題，優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型1.最值設(shè)D為f(x)的定義域，如果存在x0D，使得f(x)f(x0)(f(x)f(x0)，xD，則稱f(x0)為f(x)在D上的最大(小)值，x0稱為f(x)在D上的最大(小)值點(diǎn).尋求函數(shù)的最大(小)值及最大(小)值問(wèn)題統(tǒng)稱為最值問(wèn)題，它屬于更一般的問(wèn)題極值問(wèn)題的一個(gè)特別的情況.2.分離常數(shù)法分離常數(shù)法就是在分子中湊出與分母相同的項(xiàng)，然后約分.這在求含有分式的最值問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到.這種類(lèi)型的最值問(wèn)題也可

2、以用去分母的方法轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程，然后利用判別式求最值.用平均值不等式來(lái)解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，特別要注意等號(hào)成立的條件.1.已知0x1，則x(1x)取最大值時(shí)x的值為()A.B.C.D.【解析】0x1，x(1x)，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào).【答案】B2.已知t0，則函數(shù)y的最小值為_(kāi).【解析】t0，yt4242.【答案】2質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型利用柯西不等式求最值設(shè)x0，y0，z0，a，b，c，l，m，n是給定的正數(shù)，并且axbycz為常數(shù)，求的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000045】【

3、精彩點(diǎn)撥】題設(shè)中的與的形式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值.【自主解答】由柯西不等式得··()2()2()2()2，所以.由柯西不等式成立的條件得xk，yk，zk.其中，k.它們使得axbycz，且，所以的最小值為.利用柯西不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件是否滿足.再練一題2.設(shè)x，y，zR，且1.求xyz的最大值和最小值.【解】根據(jù)柯西不等式，知42()222·，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y1，z或x，y3，z時(shí)等號(hào)成立.25×1(xyz2)2.|xyz2|5，3xyz7，即xyz的最大值為7，最小值為3.利用二次函數(shù)求最值某地區(qū)地理環(huán)

4、境偏僻，嚴(yán)重制約著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某種土特產(chǎn)品只能在本地銷(xiāo)售，該地區(qū)政府每投資x萬(wàn)元，所獲利潤(rùn)為P(x40)210萬(wàn)元，為順應(yīng)開(kāi)發(fā)大西北的宏偉決策，該地區(qū)政府在制訂經(jīng)濟(jì)發(fā)展十年規(guī)劃時(shí)，擬開(kāi)發(fā)此種土特產(chǎn)品，而開(kāi)發(fā)前后用于該項(xiàng)目投資的專項(xiàng)財(cái)政撥款每年都是60萬(wàn)元，若開(kāi)發(fā)該產(chǎn)品，必須在前5年中，每年從60萬(wàn)元?？钪心贸?0萬(wàn)元投資修建一條公路，且5年可以修通，公路修通后該土特產(chǎn)品在異地銷(xiāo)售，每投資x萬(wàn)元，可獲利潤(rùn)Q(60x)2(60x)萬(wàn)元.問(wèn)：從10年的總利潤(rùn)來(lái)看，該項(xiàng)目有無(wú)開(kāi)發(fā)價(jià)值？【精彩點(diǎn)撥】分別求出開(kāi)發(fā)前、后該項(xiàng)目10年利潤(rùn)的最大值，比較大小即可.【自主解答】若按原來(lái)投資環(huán)境不變，由題設(shè)知，每年只

5、需從60萬(wàn)元中拿出40萬(wàn)元投資，可獲最大利潤(rùn)10萬(wàn)元.這樣10年總利潤(rùn)最大值為W10×10100(萬(wàn)元).若對(duì)該產(chǎn)品開(kāi)發(fā)，則前5年中，當(dāng)x30時(shí)，Pmax，前5年總利潤(rùn)為W1×5(萬(wàn)元)；設(shè)后5年中，x萬(wàn)元用于本地銷(xiāo)售投資，60x萬(wàn)元用于異地銷(xiāo)售投資，則總利潤(rùn)W2×5×55(x30)24 500，當(dāng)x30時(shí)，(W2)max4 500.10年總利潤(rùn)最大值為4 500(萬(wàn)元).因4 500>100，故該項(xiàng)目具有極大的開(kāi)發(fā)價(jià)值.1.本題實(shí)際上是兩個(gè)二次函數(shù)的疊加問(wèn)題，疊加后的二次函數(shù)最值要比疊加前的二次函數(shù)最值大，從而得解.本題的現(xiàn)實(shí)意義也很大.2.解不

6、等式應(yīng)用題的步驟(1)認(rèn)真審題，抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵詞，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)引入數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系，使其數(shù)學(xué)化；(3)求解不等式；(4)還原實(shí)際問(wèn)題.再練一題2.某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn).(1)寫(xiě)出稅收y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍.【解】(1)降低稅率后的稅率為(10x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購(gòu)量為a(12x%)萬(wàn)擔(dān)，收購(gòu)總金額為

7、200a(12x%)萬(wàn)元.依題意：y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0<x<10).(2)原計(jì)劃稅收為200a·10%20a(萬(wàn)元).依題意得：a(1002x)(10x)20a×83.2%，化簡(jiǎn)得，x240x840，42x2.又0<x<10，0<x2，x的取值范圍是0<x2.探究共研型利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題探究利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟是什么？【提示】利用不等式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，一般可分四個(gè)步驟：(1)閱讀理解材料，弄清問(wèn)題背景.(2)建立合理的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.(3)運(yùn)用不等式的知識(shí)、手段

8、討論不等式關(guān)系.(4)做出結(jié)論.然后利用柯西不等式、均值不等式或二次函數(shù)等方法來(lái)求最值.如圖2­4­1所示，把一塊邊長(zhǎng)是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線翻折成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子，問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？圖2­4­1【精彩點(diǎn)撥】設(shè)切去的小正方形的邊長(zhǎng)為x，由題意可知，折成的盒子的底面邊長(zhǎng)為a2x，高為x，這時(shí)盒子的容積為V(a2x)2x，再利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均值不等式，變形為xyz求解即可.【自主解答】設(shè)切去的小正方形的邊長(zhǎng)為x，無(wú)蓋方底盒子的容積為V，則V(a2x)2x(a2x)·(

9、a2x)×4x.當(dāng)且僅當(dāng)a2xa2x4x，即當(dāng)x時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)V取最大值，即當(dāng)切去的小正方形邊長(zhǎng)是原來(lái)正方形邊長(zhǎng)的時(shí)，折成的盒子容積最大.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，閱讀理解題意，建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵，在求解數(shù)學(xué)模型時(shí)，平均值不等式是常用的手段之一.再練一題3.用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖2­4­2)，設(shè)容器的高為h米，蓋子邊長(zhǎng)為a米.圖2­4­2(1)求a關(guān)于h的函數(shù)解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值.(求解本題時(shí)，不計(jì)容器的厚度)【解】(1)設(shè)h為正四棱錐的斜高

10、，由已知解得a(h>0).(2)由Vha2(h>0)，易得V.h22，V.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)h，即h1時(shí)取得.故當(dāng)h1米時(shí)，V有最大值，V的最大值為立方米.構(gòu)建·體系最值問(wèn)題1.已知x>1，y>1，且lg xlg y4，那么lg x·lg y的最大值是()A.2B.C.D.4【解析】4lg xlg y2，lg x·lg y4.【答案】D2.已知a，b為正數(shù)，且ab1，則()2的最大值是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000046】A.2 B.C.6D.12【解析】()2(1×1×)2(1212)(4a14b1)24(ab)22×

11、(4×12)12，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)等號(hào)成立.【答案】D3.數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，則數(shù)列an中的最大項(xiàng)是()A.第9項(xiàng)B.第8項(xiàng)和第9項(xiàng)C.第10項(xiàng)D.第9項(xiàng)和第10項(xiàng)【解析】an，當(dāng)且僅當(dāng)n，即n3時(shí)等號(hào)成立.又n為正整數(shù)，檢驗(yàn)可知選D.【答案】D4.函數(shù)y5的最大值為_(kāi).【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,5，且y>0，則y5·×6.當(dāng)且僅當(dāng)·5·時(shí)，等號(hào)成立，即x時(shí)，函數(shù)取最大值6.【答案】65.(1)求函數(shù)y的最小值；(2)求函數(shù)ycos2x(1sin x)的最大值；(3)設(shè)x>1，求函數(shù)ylog2xlogx4的最小值.【解】(1)設(shè)l，則l2，于是yl.y1，當(dāng)l2，)時(shí)，y>0，即在2，)上函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)l2，即x0時(shí)，y取得最小值，最小值為y2.(2)y(1sin2x)(1sin x)(1sin x)(1sin x)(1sin x)4(1sin x)·