從一道中考題談幾何教學(xué)中的“基本圖形”(共5頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上從一道中考題談幾何教學(xué)中的“基本圖形”上海師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 蘇有馬 許多同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)都有一種感覺(jué)：數(shù)學(xué)知識(shí)越學(xué)越多，有時(shí)反而不知道用什么方法去解決了；或者有時(shí)遇到一個(gè)問(wèn)題百思不得其解，一經(jīng)別人點(diǎn)撥就立刻豁然開(kāi)朗、茅塞頓開(kāi)，才知如此簡(jiǎn)單。特別是對(duì)于進(jìn)入初三的同學(xué)，這種感覺(jué)更是明顯。有許多同學(xué)一遇到綜合性題目就會(huì)“手忙腳亂”，不知從何下手，但經(jīng)老師分析后，他也能很快予以解決。筆者認(rèn)為，造成這種結(jié)果有主客觀兩方面原因。（一）客觀方面 數(shù)學(xué)題型多變，特別是幾何圖形千變?nèi)f化，同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)考核方法各不相同，好像捉摸不透；另一個(gè)客觀原因是由于知識(shí)存儲(chǔ)越來(lái)越多，有時(shí)無(wú)法很快

2、做出選擇，或猶豫不決、或幾種方法糾纏不清，解題思路不清晰。（二）主觀方面 許多同學(xué)缺乏對(duì)知識(shí)進(jìn)行必要的歸納總結(jié)，遇一題、解一題，“就題論題”，不能找到各個(gè)問(wèn)題間的內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)然最為重要的一個(gè)原因在于“心中無(wú)題，沒(méi)有自信”，缺乏敏銳的觀察力。不能從復(fù)雜的圖形中分解出自己所熟知的基本題型和基本圖形，各個(gè)擊破，逐一解決也是許多同學(xué)的困難所在。總之，如何真正實(shí)現(xiàn)由“數(shù)學(xué)知識(shí)”向“數(shù)學(xué)能力”轉(zhuǎn)化，才是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵所在。 如上海市2005年中考數(shù)學(xué)試卷最后一題： 在ABC中，ABC=900，AB=4，BC=3，O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心作半圓，與邊AB相切于點(diǎn)D，交線段OC于點(diǎn)E，作EPED，

3、交射線AB于點(diǎn)P，交射線CB于F。（1） 如圖1，求證：ADEAEP；（2） 設(shè)OA=x，AP=y, 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3） 當(dāng)BF=1時(shí)，求線段AP的長(zhǎng)。 圖1 備用圖此題題目較長(zhǎng)，圖形復(fù)雜，看似較難。但是如果我們將其分解成若干個(gè)基本題型或基本圖形，逐一解決，就變得容易多了。而且大多數(shù)同學(xué)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中對(duì)以下基本圖形都已經(jīng)相當(dāng)熟悉了?；緢D形（1）：直角三角形（勾股定理），在RtABC中，ABC=90O，AB=4，BC=3，易得AC=5，即ABC唯一確定。 (1)基本圖形（2）：圓與切線（切線性質(zhì)定理）半圓O與AD相切于點(diǎn)D，若連結(jié)OD（也必定要連接OD），則一定有

4、ODAD成立。 (2)基本圖形（3）：有一個(gè)公共角的兩個(gè)相似三角形（相似三角形判定），已知有一對(duì)角相等，由等邊對(duì)等角和等式性質(zhì)，易得ADEAEP 。 (3)基本圖形（4）：相似三角形三邊對(duì)應(yīng)關(guān)系（相似三角形性質(zhì)定理），已知OA=x，需用x表示其它相關(guān)線段，顯然，ODCB，同理，易證第（2）問(wèn)。當(dāng)然也可以運(yùn)用相似或銳角三角比 （4） 基本圖形（5）：對(duì)頂直角三角形（有一對(duì)非直角的對(duì)頂角的兩個(gè)直角三角形一定相似），易得BPFEPD，所以，由第（1）問(wèn)得，所以BP=2BF?？汕蟮冢?）問(wèn)。 (5)基本圖形（6）：“平角上剪去一個(gè)直角”，因?yàn)镻ED=900，CEA=180，所以1+2=90O，2=AP

5、E=BPF，而B(niǎo)PF+F=900，由等角的余角相等得F=FEC，所以CF=CE，可求得AE，即求得x，由函數(shù)解析式從而得出y值（即AP的長(zhǎng)）。 (6) 怎樣才能從這樣復(fù)雜的圖形中找出這些“有用的”基本圖形，是一個(gè)說(shuō)起來(lái)簡(jiǎn)單，但做起來(lái)還是比較難的問(wèn)題。所以說(shuō)如何幫助同學(xué)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)一些基本題型和基本圖形的敏銳觀察力（也就是借給學(xué)生一雙“數(shù)學(xué)慧眼”）就顯得尤為重要。筆者一直以來(lái)，在每學(xué)習(xí)一部分課本內(nèi)容后都嘗試以“專題講座”的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，自我總結(jié)，自我提高。通過(guò)各個(gè)專題的學(xué)習(xí)，熟練掌握一些重要的基本圖形和基本題型。學(xué)會(huì)從一個(gè)復(fù)雜的圖形中找出它所包含的基

6、本圖形，并實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的合理轉(zhuǎn)化和知識(shí)的正遷移。在研究過(guò)程中，學(xué)生能夠掌握一些數(shù)學(xué)基本研究方法和數(shù)學(xué)思維模式。使學(xué)生感到“數(shù)學(xué)題目萬(wàn)變不離其宗”，自然會(huì)做到“腦中有題（圖），心不慌”。 下面以圓與直角梯形專題為例，介紹一下如何開(kāi)展基本圖形教學(xué)。一、 基本圖形的介紹基本圖形1：以直角梯形的一條垂直于底邊的腰為直徑作半圓且與另一腰相切如圖：已知四邊形ABCD是梯形，ADBC，C=900，DC是O的直徑，且O切AB于點(diǎn)E。觀察此圖，你可以得出哪些結(jié)論？（可添加輔助線）首先老師揭示圖形特征“圓與直角梯形”（即研究對(duì)象），并結(jié)論開(kāi)放。一方面鍛煉學(xué)生的猜想能力，另一方面使學(xué)生掌握一些常見(jiàn)輔助線作法，而且自己發(fā)

7、現(xiàn)的結(jié)論會(huì)更容易理解，更容易記憶。 學(xué)生踴躍發(fā)言，根據(jù)添加輔助線情況，可以得到以下五類結(jié)論：（一）不添線：（1）AD=AE（2）BE=BC（3）AB=AD+BC（二）連結(jié)OE：（4）OEAB（OEA=900）（三）（連結(jié)OA、OB：（5）RtADORtAEO（6）RtBEORtBCO（7）1=2，3=4（8）2+3=900（AOBO）（9）RtADORtOCB（10）OD2=ADBC（四）連結(jié)DE、CE：（11）DEEC（DEC=900）（五）過(guò)點(diǎn)A作AFBC，垂足為F：（12）AB2=AF2+BF2 （其中AF=DC，BF=BC-AD） 在整個(gè)研究過(guò)程中，完全任由學(xué)生的思維發(fā)散。讓學(xué)生通過(guò)研

8、究，發(fā)現(xiàn)一個(gè)看似簡(jiǎn)單的圖形原來(lái)可以得出這么多的結(jié)論。沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的同學(xué)也會(huì)不自覺(jué)地接受了其他同學(xué)分析問(wèn)題的方法和常見(jiàn)輔助線作法。如此以來(lái)，學(xué)生再一次看到滿足此特征的基本圖形就立刻能夠得到以上相關(guān)結(jié)論。 基本圖形2：以直角梯形不垂直于底邊的腰為直徑作圓與另一腰相切。是將基本圖形1稍作變動(dòng)，學(xué)生經(jīng)過(guò)探究同基本圖形1一樣可以得出四類結(jié)論。（一）連結(jié)OE：（1）OEDC（2）OEADBC（3）DE=EC（4）OE是梯形ABCD的中位線，即OE=（AD+BC）（5）AB=2EO=AD+BE（二）連結(jié)AE、BE：（6）AEB=900（7）ADEECB（8）DE2=ADBC（三）連結(jié)OD、OE：（9）OE垂直平

9、分線段DC（即OD=OC）（四）過(guò)點(diǎn)A作AFBC，垂足為F：（10）AB2=AF2+BF2（其中AB=AD+BC，BF=BC-AD） 當(dāng)然，在這兩個(gè)基本圖形中又隱含了多個(gè)其它基本圖形，一旦發(fā)現(xiàn)就可以實(shí)現(xiàn)基本圖形間的整合和轉(zhuǎn)化。二、 基本圖形比較不僅從相同的“圓與直角梯形”中找出不同點(diǎn)：條件不同點(diǎn)：基本圖形1是以垂直于底邊的腰為直徑作圓；基本圖形2則是以不垂直于底邊的腰為直徑作圓結(jié)論不同點(diǎn)：基本圖形1中圓與兩底相切，但基本圖形2不成立；基本圖形2中圓心與切點(diǎn)的連線是梯形的中位線，但基本圖形1不成立又可以從不同的基本圖形中找出相同之處：特征相同點(diǎn)：圓與直角梯形，都是以一腰為直徑且與另一腰相切結(jié)論相

10、同點(diǎn)：兩個(gè)基本圖形都有AB=AD+BC成立通過(guò)對(duì)兩個(gè)基本圖形進(jìn)行對(duì)比研究，加強(qiáng)對(duì)基本圖形特征的記憶和理解。三、 基本圖形的運(yùn)用運(yùn)用（一）：直接運(yùn)用研究成果例、在梯形ABCD中，ADBC，BCD=900，以CD為直徑的半圓O切AB于點(diǎn)E，這個(gè)梯形的面積為21CM2 ，周長(zhǎng)為20 CM ，求半圓O的半徑長(zhǎng)分析：（1）從已知條件出發(fā)： （2）從未知條件出發(fā)：求半徑r（3）找等量關(guān)系，列方程組解得或（4）結(jié)論取舍：過(guò)點(diǎn)A作AFBC，垂足為F，ABAF，即必須滿足ADBC2r，所以求得r=3cm。運(yùn)用（二）：從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形例、在矩形ABCD中，以AB為直徑作半圓O，E是BC的中點(diǎn)，若DE是半圓O的切線，切點(diǎn)為F，試求的值。 分析：四邊形ABED是直角梯形，滿足基本圖形1，利用研究結(jié)論可以求解；或利用圓的切線長(zhǎng)定理轉(zhuǎn)化到中利用勾股定理可求的值。運(yùn)用（三）：聯(lián)系基本圖形，代數(shù)與幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用例、如圖，已知直線MN和O切于點(diǎn)C，AB是O的直徑，AEMN，BFMN，垂足分別為E、F，設(shè)AE=m，EF=p，BF=n（1）求證：p2=4mn（2）求證：EC、FC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根 分析：利用基本圖形2，連接OC、AC、BC， 可利用證明；也可以過(guò) 點(diǎn)A作，在中利用勾股定理證明。四、 基本圖形的再探索（一）改變條件：例、在例3中，若將直線MN向上平移至與圓O相交時(shí)，m、