八年級數(shù)學(xué)(上)培優(yōu)專題七：最短路徑問題(共4頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題七最短路徑問題1最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CACB最短，這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CACB最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B，則點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C，

2、連接AC，BC，BC，證明ACCBACCB.如下：證明：由作圖可知，點(diǎn)B和B關(guān)于直線l對稱，所以直線l是線段BB的垂直平分線因?yàn)辄c(diǎn)C與C在直線l上，所以BCBC，BCBC.在ABC中，ABACBC，所以ACBCACBC，所以ACBCACCB.【例1】 在圖中直線l上找到一點(diǎn)M，使它到A，B兩點(diǎn)的距離和最小分析：先確定其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，然后連接對稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，與直線l的交點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)解：如圖所示：(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B；(2)連接AB交直線l于點(diǎn)M.(3)則點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)點(diǎn)撥：運(yùn)用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點(diǎn)之間線段最短”

3、解決問題.2.運(yùn)用軸對稱解決距離最短問題運(yùn)用軸對稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離和最小這個(gè)核心，所有作法都相同警誤區(qū) 利用軸對稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法解決這類最值問題時(shí)，要認(rèn)真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導(dǎo)致答非所問3利用平移確定最短路徑選址選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上如果兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成線段的差最大，如果兩點(diǎn)在

4、一條直線的異側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個(gè)點(diǎn)的對稱點(diǎn)來解決解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問題時(shí)，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱?，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題 【例2】 如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水(1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什

5、么地方？分析：(1)到A，B兩點(diǎn)距離相等，可聯(lián)想到“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”，又要在河邊，所以作AB的垂直平分線，與EF的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)(2)要使廠部到A村、B村的距離之和最短，可聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間線段最短”，作A(或B)點(diǎn)關(guān)于EF的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與B點(diǎn)，與EF的交點(diǎn)即為所求解：(1)如圖1，取線段AB的中點(diǎn)G，過中點(diǎn)G畫AB的垂線，交EF于P，則P到A，B的距離相等也可分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線，與EF的交點(diǎn)P即為所求(2)如圖2，畫出點(diǎn)A關(guān)于河岸EF的對稱點(diǎn)A，連接AB交EF于P，則P到A，B的距離和最短【例3】 如圖

6、，從A地到B地經(jīng)過一條小河(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？思路導(dǎo)引：從A到B要走的路線是AMNB，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移MN到AC，從C到B應(yīng)是余下的路程，連接BC的線段即為最短的，此時(shí)不難說明點(diǎn)N即為建橋位置，MN即為所建的橋解：(1)如圖2，過點(diǎn)A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬(2)連接BC與河岸的一邊交于點(diǎn)N.(3)過點(diǎn)N作河岸的垂線交另一條河岸于點(diǎn)M.則MN為所建的橋的位置4生活中的距離最短問題由兩點(diǎn)之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，

7、求距離之和最小問題，就是運(yùn)用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉(zhuǎn)化在一條線段上，從而解決這個(gè)問題，運(yùn)用軸對稱性質(zhì)，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段，如圖，AOBOAC的長所以作已知點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)是解決這類問題的基本方法【例4】 (實(shí)際應(yīng)用題)茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？圖a圖b解：如圖b.(1)作C點(diǎn)關(guān)于OA的對稱點(diǎn)C1，作D點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D1，(2)連接C1D1，

8、分別交OA，OB于P，Q，那么小明沿CPQD的路線行走，所走的總路程最短5.運(yùn)用軸對稱解決距離之差最大問題利用軸對稱和三角形的三邊關(guān)系是解決幾何中的最大值問題的關(guān)鍵先做出其中一點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，然后連接對稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，所得直線與對稱軸的交點(diǎn)，即為所求根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值破疑點(diǎn) 解決距離的最值問題的關(guān)鍵運(yùn)用軸對稱變換及三角形三邊關(guān)系是解決一些距離的最值問題的有效方法【例5】 如圖所示，A，B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)，在l上找一點(diǎn)C，使點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距離之差最大 分析：此題的突破點(diǎn)是作點(diǎn)A(或B)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A(或B)，作直線AB(AB)與直線l交于點(diǎn)C，把問題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來解決解：如圖所示，以直線l為對稱軸，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A，AB的連線交l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求理由：在直線l上任找一點(diǎn)C(異于點(diǎn)C)，連接CA，CA，CA，CB.因?yàn)辄c(diǎn)A，A關(guān)于直線l