高數(shù)高斯公式通量與散度

1、19.4 2.通量與散度通量與散度1.高斯公式高斯公式 Green 公式公式推廣推廣Gauss 公式公式高斯公式高斯公式 通量與散度通量與散度2一、高斯公式一、高斯公式 定理定理1 1 設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面是由分片光滑的閉曲面所所圍成，函數(shù)圍成，函數(shù)P P( (x x，y y，z z) )、Q Q( (x x，y y，z z) )、R R( (x x，y y，z z) )在在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有 )1(,)(RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP或或 dvzRyQxP)( （11） ,)coscoscos(dSRQP 這里這里是是

2、的整個邊界曲面的外側(cè)，的整個邊界曲面的外側(cè)，coscos、coscos、coscos是是上點上點( (x x，y y，z z) )處的法向量的方向余弦。處的法向量的方向余弦。公式（公式（1 1）或（）或（11）叫做）叫做高斯公式高斯公式。 3231zyxyxD) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 證明證明: :設(shè)設(shè)yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd為為XYXY型區(qū)域型區(qū)域 , , ),(:22yxzz 則

3、則yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz4所以所以zyxzRdddyxRdd 若若 不是不是XYXY型區(qū)域型區(qū)域 , , 則可引進(jìn)輔助面則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個將其分割成若干個XYXY型區(qū)域型區(qū)域, ,故上式仍成立故上式仍成立 . .正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消, ,在輔助面在輔助面類似可證類似可證 zyxyQdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加三式相加, , 即得所證即得所證 Gauss Gauss 公式：公式：5（2 2）關(guān)于）關(guān)于的邊界曲面的正向：

4、的邊界曲面的正向： 是單連通區(qū)域時取外側(cè)；是單連通區(qū)域時取外側(cè)；是復(fù)連通區(qū)域時是復(fù)連通區(qū)域時外層取外側(cè)，內(nèi)層取內(nèi)側(cè)。外層取外側(cè)，內(nèi)層取內(nèi)側(cè)。 關(guān)于高斯公式的說明關(guān)于高斯公式的說明 : :（1 1）如穿過）如穿過內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線與內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線與的的交點多于兩個時，采用分塊的方法交點多于兩個時，采用分塊的方法 6（3 3）高斯公式成立的條件：）高斯公式成立的條件： 光滑或分片光滑，光滑或分片光滑，P P、Q Q、R R在在上一階偏導(dǎo)連續(xù)。上一階偏導(dǎo)連續(xù)。 （4 4）不閉合時，采取不閉合時，采取“補面補面”的方法：的方法：+ +1 1 封封閉，所圍區(qū)域閉，所圍區(qū)域。 及易于計算及

5、易于計算 dvzRyQxP)(1A dS 7例例1 1 用用GaussGauss公式計算公式計算 zyxzyyxyxdd)(dd)(其中其中 為柱面為柱面122 yx閉域閉域 的整個邊界曲面的外側(cè)的整個邊界曲面的外側(cè). . 解解 這里這里利用利用Gauss Gauss 公式公式, , 得得原式原式 = =zyxzyddd)( sin) d ddrz rrz ( (用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)) )zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP, 0QyxR及平面及平面z = z = 0,0,z = z = 3 3所圍空間所圍空間思考思考 若若 改為內(nèi)側(cè)改為內(nèi)側(cè), , 結(jié)果有何變化結(jié)果

6、有何變化? ? 若若 為圓柱側(cè)面為圓柱側(cè)面( (取外側(cè)取外側(cè)) , ) , 如何計算如何計算? ? 8例例2 2 利用利用Gauss Gauss 公式計算積分公式計算積分SzyxId)coscoscos(222其中其中 為錐面為錐面222zyxhozyx解解 作輔助面作輔助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上側(cè)取上側(cè)1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21 上上在在介于介于z = z = 0 0及及 z = h z = h 之間部分的下側(cè)之間部分的下側(cè). . 1, 記記h1所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為 , ,則則 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd29zyxzyxI

7、ddd)(2利用重心公式利用重心公式, , 注意注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh110例例3 3 計算計算 其中其中 dxdyzdzdxydydzx222（1 1）的外側(cè)；）的外側(cè)； （2 2）的內(nèi)側(cè)；）的內(nèi)側(cè)； 解解 (1) (1) (222 )Ixyz dv(2)(2)(222 )Ixyz dv3834233aRRa 2222:Rzyx 2222)(:Razyx 0002zdv11例例4 計算計算 ，為平面為平面x+y+z=1與三坐標(biāo)面所圍成的表面，取外側(cè)。與三坐標(biāo)面所圍成的表面，取外側(cè)。 dxdyydzdxdydzx)1( 解解1

8、 11(110)213 23Idv 比用第二類曲面積分的方法簡單得多。比用第二類曲面積分的方法簡單得多。 12例例5 5.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI設(shè)設(shè) 為曲面為曲面21,222zyxz取上側(cè)取上側(cè), , 求求 解解 作取下側(cè)的輔助面作取下側(cè)的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)13coscoscoszvyvxv),(, ),(zyxvzyxu在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上具有一階和上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)二階連續(xù)

9、偏導(dǎo)數(shù), ,證明格林證明格林(Green)(Green)第一公式第一公式Sd例例6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中其中 是整個是整個 邊界面的外側(cè)邊界面的外側(cè). . uP xvuQ yvuR zv分析分析zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式高斯公式222222zvyvxv14證證 令令uP ,xvuQ ,yvuR ,zv由高斯公式得由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvuSd移項即得所證公式移項即得所證公式. .xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd15二、通量與

10、散度二、通量與散度引例引例 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1, 1, 速度場為速度場為( , , )( , , )( , , )( , , )v x y zP x y z iQ x y z jR x y z k 理意義可知理意義可知, , 設(shè)設(shè) 為場中任一有向曲面為場中任一有向曲面, , ddd dd dPyzQzxR xy 單位時間通過曲面單位時間通過曲面 的流量為的流量為 則由對坐標(biāo)的曲面積分的物則由對坐標(biāo)的曲面積分的物 由兩類曲面積分的關(guān)系由兩類曲面積分的關(guān)系, , 流量還可表示為流量還可表示為 coscoscosdPQRS =d v vS Snd vS

11、vS16若若 為方為方向向外的閉曲面向向外的閉曲面, , yxRxzQzyPdddddd當(dāng)當(dāng) 0 0 時時, ,說明流說明流入入 的流體質(zhì)量少于的流體質(zhì)量少于 當(dāng)當(dāng) 0 0 時時, , 說明流說明流入入 的流體質(zhì)量多于流的流體質(zhì)量多于流出出的的, , 則單位時間通過則單位時間通過 的流量為的流量為 當(dāng)當(dāng) = 0 = 0 時時, ,說明流入與流出說明流入與流出 的流體質(zhì)量相等的流體質(zhì)量相等 . . n流流出出的的, , 表明表明 內(nèi)有泉內(nèi)有泉; ; 表明表明 內(nèi)有洞內(nèi)有洞 ; ;根據(jù)高斯公式根據(jù)高斯公式, , 流量也可表為流量也可表為zyxzRyQxPdddn17如果如果是高斯公式是高斯公式(1

12、)(1)中閉區(qū)域的邊界曲面的外側(cè)，中閉區(qū)域的邊界曲面的外側(cè)，那么高斯公式的那么高斯公式的右端可解釋為單位時間內(nèi)離開閉區(qū)右端可解釋為單位時間內(nèi)離開閉區(qū)域域的流體的總質(zhì)量的流體的總質(zhì)量。由于我們假定流體是不可壓。由于我們假定流體是不可壓縮的，且流動是穩(wěn)定的，因此在流體離開縮的，且流動是穩(wěn)定的，因此在流體離開的同時，的同時，內(nèi)部必須有產(chǎn)生流體的內(nèi)部必須有產(chǎn)生流體的“源頭源頭”產(chǎn)生出同樣多的產(chǎn)生出同樣多的流體來進(jìn)行補充。所以高斯公式流體來進(jìn)行補充。所以高斯公式左端可解釋為分布左端可解釋為分布在在內(nèi)的源頭在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量。內(nèi)的源頭在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量。 設(shè)設(shè)的體積為的體積為V

13、 V，式（，式（1 1）兩端同除以）兩端同除以V V，有，有 dSvVdvzRyQxPVn11上式左端表示上式左端表示內(nèi)的源頭在單位時間單位體積內(nèi)內(nèi)的源頭在單位時間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值。所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值。 18方向向外的任一閉曲面方向向外的任一閉曲面 , , 記記 所圍域為所圍域為 , , 設(shè)設(shè) 是是包含點包含點M M 且且為了揭示場內(nèi)任意點為了揭示場內(nèi)任意點M M處的特性處的特性, , M在式兩邊同除以在式兩邊同除以 的體積的體積V V, , 并令并令 以以任意方式縮小至點任意方式縮小至點M M 則有則有),(M 記記作作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim)

14、,(limzRyQxPMMzRyQxP此式反應(yīng)了流速場在點此式反應(yīng)了流速場在點M M 的特點的特點: : 其值為正其值為正, ,負(fù)或負(fù)或 0, 0, 分別反映在該點有流體涌出分別反映在該點有流體涌出, , 吸入吸入, , 或沒有任何變化或沒有任何變化. . ),(19定義定義 設(shè)有向量場設(shè)有向量場kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是是場內(nèi)的一片有向場內(nèi)的一片有向 則稱則稱曲面曲面, , 其單位法向量其單位法向量 n, SnAd為向量場為向量場A A通過通過有向曲面有向曲面 的的通量通量( (流量流量)

15、)。在場中點在場中點 M M( (x x, , y y, , z z) ) 處處 稱為向量場稱為向量場 A A 在點在點 M M 的的散度。散度。記作記作AdivzRyQxP200divA表明該點處有正源表明該點處有正源, , 0divA表明該點處有負(fù)源表明該點處有負(fù)源, , 0divA表明該點處無源表明該點處無源, , 散度絕對值的大小反映了源的強(qiáng)度散度絕對值的大小反映了源的強(qiáng)度. .0divA若向量場若向量場 A A 處處有處處有 , , 則稱則稱 A A 為為無源場。無源場。 例如例如, , 勻速場勻速場 ),(),(為為常常數(shù)數(shù)其其中中zyxzyxvvvvvvv 0div v故它是無源

16、場故它是無源場. .說明說明: : 由引例可知由引例可知, , 散度是通量對體積的變化率散度是通量對體積的變化率, , 且且21* *例例7.7.置于原點置于原點, , 電量為電量為 q q 的點電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)為的點電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)為rrqE3.divE求解解: : 3ryy3rzz 3522rxrq5223ryr 5223rzr 03rxx),(3zyxrq)0(r計算結(jié)果與僅原點有點電荷的事實相符計算結(jié)果與僅原點有點電荷的事實相符. . )0(r qEdiv22例例8 8 已知向量，已知向量，為為圓柱圓柱 的全表面，求的全表面，求A A穿過曲穿過曲面面而流向其外側(cè)的通量。而流向其外側(cè)的通量。

17、 解：解：222dx dydzy dzdxz dxdy ASAS dV)zyx(Adv2div2202200hazdzdxdyzdvhxyD kzjyixA222 )0(222hzayx 23內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 高斯公式及其應(yīng)用高斯公式及其應(yīng)用公式公式: :yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd應(yīng)用應(yīng)用: :(1) (1) 計算曲面積分計算曲面積分 ( (非閉曲面時注意添加輔助面的技巧非閉曲面時注意添加輔助面的技巧) )(2) (2) 推出閉曲面積分為零的充要條件推出閉曲面積分為零的充要條件: : 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP242. 2. 通量與散度

18、通量與散度 設(shè)向量場設(shè)向量場P P, , Q Q, , R R, , 在域在域G G內(nèi)有一階內(nèi)有一階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則則 向量場通過有向曲面向量場通過有向曲面 的通量為的通量為 G G 內(nèi)任意點處的散度為內(nèi)任意點處的散度為 ),(RQPAndd 或或A AS SA AS SzRyQxPAdiv25思考與練習(xí)思考與練習(xí),:2222取取外外側(cè)側(cè)設(shè)設(shè)Rzyx 所圍立體所圍立體, ,222zyxr 判斷下列演算是否正確判斷下列演算是否正確? ?(1)(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 為為 2600cosrn00rn 備用題備用題 設(shè)設(shè) 是一光滑閉曲面是一光滑閉曲面, ,所圍立體所圍立體