高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題

1、高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題17 / 171函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)2 已知函數(shù)f(x)asin 2xsin 3x (a為常數(shù))在x處取得極值，則a的值為()A1 B0 C. D3 函數(shù)f(x)x33x1，若對于區(qū)間3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，則實(shí)數(shù)t的最小值是()A20 B18 C3 D04 已知函數(shù)f(x)在1，)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_5 已知函數(shù)f(x)mx3nx2的圖像在點(diǎn)(1,2)處的切線恰好與直線3xy0平行，若f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_題型一、利用

2、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例1已知函數(shù)f(x)x2eax，aR.(1) 當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)yf(x)的圖像在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程(2)討論f(x)的單調(diào)性已知函數(shù)f(x)x3ax2xc，且af.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)(f(x)x3)·ex，若函數(shù)g(x)在x3，2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍題型二、利用導(dǎo)數(shù)研究與不等式有關(guān)的問題例2已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函數(shù)f(x)在t，t2(t>0)上的最小值；(2)對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：對一切x(0，)，都有l(wèi)

3、n x>成立已知函數(shù)f(x)sin x(x0)，g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a取(1)中的最小值時(shí)，求證：g(x)f(x)x3.題型三、利用導(dǎo)數(shù)研究方程解或圖像交點(diǎn)問題例3已知f(x)ax2 (aR)，g(x)2ln x.(1)討論函數(shù)F(x)f(x)g(x)的單調(diào)性；(2)若方程f(x)g(x)在區(qū)間，e上有兩個(gè)不等解，求a的取值范圍已知函數(shù)f(x)|ax2|bln x(x>0)(1)若a1，f(x)在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，求b的取值范圍；(2)若a2，b1，求方程f(x)在(0,1上解的個(gè)數(shù)1 已知函數(shù)f(x)ax3x2bx

4、(其中常數(shù)a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值2 已知函數(shù)f(x)axxln x的圖像在點(diǎn)xe處的切線斜率為3.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若kZ，且k<對任意x>1恒成立，求k的最大值3 設(shè)函數(shù)f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x0時(shí)f(x)0，求a的取值范圍4 已知f(x)x23x1，g(x)x.(1)a2時(shí)，求yf(x)和yg(x)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)a為何值時(shí)，yf(x)和yg(x)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)恰為兩個(gè)5 定義在R上的函數(shù)f(x)ax3b

5、x2cx3同時(shí)滿足以下條件：f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)；f(x)是偶函數(shù)；f(x)的圖像在x0處的切線與直線yx2垂直(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)設(shè)g(x)4ln xm，若存在x1，e，使g(x)<f(x)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍6 (2013·湖南)已知a>0，函數(shù)f(x).(1)記f(x)在區(qū)間0,4上的最大值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式；(2)是否存在a，使函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題1 函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增

6、區(qū)間是()A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)答案D解析函數(shù)f(x)(x3)ex的導(dǎo)數(shù)為f(x)(x3)·ex1·ex(x3)·ex(x2)ex.由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，得當(dāng)f(x)>0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，此時(shí)由不等式f(x)(x2)ex>0，解得x>2.2 已知函數(shù)f(x)asin 2xsin 3x (a為常數(shù))在x處取得極值，則a的值為()A1 B0 C. D答案A解析f(x)2acos 2xcos 3x，f2acos cos 0，a1，經(jīng)驗(yàn)證適合題意3 函數(shù)f(x)x33x1，若對于區(qū)間3,2上的任意x1，x2，都

7、有|f(x1)f(x2)|t，則實(shí)數(shù)t的最小值是()A20 B18 C3 D0答案A解析因?yàn)閒(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x±1，可知1,1為函數(shù)的極值點(diǎn)又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在區(qū)間3,2上f(x)max1，f(x)min19.由題設(shè)知在區(qū)間3,2上f(x)maxf(x)mint，從而t20，所以t的最小值是20.4 已知函數(shù)f(x)在1，)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案e，)解析f(x)，因?yàn)閒(x)在1，)上為減函數(shù)，故f(x)0在1，)上恒成立，即ln a1ln x在1，)上恒成立設(shè)(x)1ln x，(x)max1

8、，故ln a1，ae.5 已知函數(shù)f(x)mx3nx2的圖像在點(diǎn)(1,2)處的切線恰好與直線3xy0平行，若f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_答案2，1解析由題意知，點(diǎn)(1,2)在函數(shù)f(x)的圖像上，故mn2.又f(x)3mx22nx，則f(1)3，故3m2n3.聯(lián)立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f(x)3x26x0，解得2x0，則t，t12,0，故t2且t10，所以t2，1題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例1已知函數(shù)f(x)x2eax，aR.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)yf(x)的圖像在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程(2)討論f(x)的單調(diào)性思維啟迪(1)先求切點(diǎn)和

9、斜率，再求切線方程；(2)先求f(x)，然后分a0，a>0，a<0三種情況求解解(1)因?yàn)楫?dāng)a1時(shí)，f(x)x2ex，f(x)2xexx2ex(2xx2)ex，所以f(1)e，f(1)3e.從而yf(x)的圖像在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為ye3e(x1)，即y3ex2e.(2)f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax.當(dāng)a0時(shí)，若x<0，則f(x)<0，若x>0，則f(x)>0.所以當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)上為減函數(shù)，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)當(dāng)a>0時(shí)，由2xax2<0，解得x<0或x>，由2xax2>

10、0，解得0<x<.所以當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)，(，)上為減函數(shù)，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)當(dāng)a<0時(shí)，由2xax2<0，解得<x<0，由2xax2>0，解得x<或x>0.所以，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)，(0，)上為增函數(shù)，在區(qū)間(，0)上為減函數(shù)綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(，0)，(，)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(，)，(0，)上單調(diào)遞增已知函數(shù)f(x)x3ax2xc，且a

11、f.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)(f(x)x3)·ex，若函數(shù)g(x)在x3，2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2xc，得f(x)3x22ax1.當(dāng)x時(shí)，得af3×22a×1，解之，得a1.(2)由(1)可知f(x)x3x2xc.則f(x)3x22x13(x1)，列表如下：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，)和(1，)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.(3)函數(shù)g(x)(f(x)x3)·ex(x2xc)·ex，有g(shù)(x)(2x1)e

12、x(x2xc)ex(x23xc1)ex，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在x3,2上單調(diào)遞增，所以h(x)x23xc10在x3,2上恒成立只要h(2)0，解得c11，所以c的取值范圍是11，)題型二利用導(dǎo)數(shù)研究與不等式有關(guān)的問題例2已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函數(shù)f(x)在t，t2(t>0)上的最小值；(2)對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：對一切x(0，)，都有l(wèi)n x>成立思維啟迪(1)求f(x)，討論參數(shù)t求最小值；(2)分離a，利用求最值得a的范圍；(3)尋求所證不等式和題中函數(shù)f(x)的聯(lián)系，充分利用(1)中所求最值(1)

13、解由f(x)xln x，x>0，得f(x)ln x1，令f(x)0，得x.當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(，)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增當(dāng)0<t<<t2，即0<t<時(shí)，f(x)minf()；當(dāng)t<t2，即t時(shí)，f(x)在t，t2上單調(diào)遞增，f(x)minf(t)tln t.所以f(x)min.(2)解2xln xx2ax3，則a2ln xx，設(shè)h(x)2ln xx(x>0)，則h(x)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x

14、)minh(1)4，對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.(3)證明問題等價(jià)于證明xln x>(x(0，)由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取到，設(shè)m(x)(x(0，)，則m(x)，易知m(x)maxm(1)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取到從而對一切x(0，)，都有l(wèi)n x>成立思維升華(1)恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的求最值的問題進(jìn)行求解，若不能分離參數(shù)，可以將參數(shù)看成常數(shù)直接求解(2)證明不等式，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題已知函數(shù)f(x)sin x(x0)，g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值

15、范圍；(2)當(dāng)a取(1)中的最小值時(shí)，求證：g(x)f(x)x3.(1)解令h(x)sin xax(x0)，則h(x)cos xa.若a1，h(x)cos xa0，h(x)sin xax(x0)單調(diào)遞減，h(x)h(0)0，則sin xax(x0)成立若0<a<1，存在x0(0，)，使得cos x0a，當(dāng)x(0，x0)，h(x)cos xa>0，h(x)sin xax(x(0，x0)單調(diào)遞增，h(x)>h(0)0，不合題意，結(jié)合f(x)與g(x)的圖像可知a0顯然不合題意，綜上可知，a1.(2)證明當(dāng)a取(1)中的最小值1時(shí)，g(x)f(x)xsin x.設(shè)H(x)xs

16、in xx3(x0)，則H(x)1cos xx2.令G(x)1cos xx2，則G(x)sin xx0(x0)，所以G(x)1cos xx2在0，)上單調(diào)遞減，此時(shí)G(x)1cos xx2G(0)0，即H(x)1cos xx20，所以H(x)xsin xx3(x0)單調(diào)遞減所以H(x)xsin xx3H(0)0，即xsin xx30(x0)，即xsin xx3(x0)所以，當(dāng)a取(1)中的最小值時(shí)，g(x)f(x)x3.題型三利用導(dǎo)數(shù)研究方程解或圖像交點(diǎn)問題例3已知f(x)ax2 (aR)，g(x)2ln x.(1)討論函數(shù)F(x)f(x)g(x)的單調(diào)性；(2)若方程f(x)g(x)在區(qū)間，

17、e上有兩個(gè)不等解，求a的取值范圍思維啟迪(1)通過討論a確定F(x)的符號；(2)將方程f(x)g(x)變形為a，研究(x)圖像的大致形狀解(1)F(x)ax22ln x，其定義域?yàn)?0，)，F(xiàn)(x)2ax (x>0)當(dāng)a>0時(shí)，由ax21>0，得x>.由ax21<0，得0<x<.故當(dāng)a>0時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減當(dāng)a0時(shí)，F(xiàn)(x)<0 (x>0)恒成立故當(dāng)a0時(shí)，F(xiàn)(x)在(0，)上單調(diào)遞減(2)原式等價(jià)于方程a(x)在區(qū)間，e上有兩個(gè)不等解(x)在(，)上為增函數(shù)，在(，e)上為減函數(shù)，則(x)max()，而

18、(e)<(2)()(x)min(e)，如圖當(dāng)f(x)g(x)在，e上有兩個(gè)不等解時(shí)有(x)min，故a的取值范圍為a<.思維升華對于可轉(zhuǎn)化為af(x)解的個(gè)數(shù)確定參數(shù)a的范圍問題，都可以通過f(x)的單調(diào)性、極值確定f(x)的大致形狀，進(jìn)而求a的范圍已知函數(shù)f(x)|ax2|bln x(x>0)(1)若a1，f(x)在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，求b的取值范圍；(2)若a2，b1，求方程f(x)在(0,1上解的個(gè)數(shù)解(1)f(x)|x2|bln x當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)x2bln x，f(x)1.由條件，得10恒成立，即bx恒成立b2.當(dāng)x2時(shí)，f(x)x2bln

19、x，f(x)1，由條件，得10恒成立，即bx恒成立b2.綜合，得b的取值范圍是b|b2(2)令g(x)|ax2|ln x，即g(x)當(dāng)0<x<時(shí)，g(x)ax2ln x，g(x)a.0<x<，>.則g(x)>a0.即g(x)>0，g(x)在(0，)上是遞增函數(shù)當(dāng)x時(shí)，g(x)ax2ln x，g(x)a>0.g(x)在(，)上是遞增函數(shù)又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在x有意義，g(x)在(0，)上是遞增函數(shù)g()ln ，而a2，ln 0，則g()<0.a2，g(1)a3.當(dāng)a3時(shí)，g(1)a30，g(x)0在(0,1上解的個(gè)數(shù)為1.當(dāng)2a3時(shí)，g(1)a

20、3<0，g(x)0在(0,1上無解，即解的個(gè)數(shù)為0.(時(shí)間：80分鐘)1 已知函數(shù)f(x)ax3x2bx(其中常數(shù)a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值解(1)由題意得f(x)3ax22xb，因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是奇函數(shù)，所以g(x)g(x)，即對任意實(shí)數(shù)x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，從而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表達(dá)式為f(x)x3x2.(2)由(1)知g(

21、x)x32x，所以g(x)x22.令g(x)0，解得x1，x2，則當(dāng)x<或x>時(shí)，g(x)<0，從而g(x)在區(qū)間(， )，(，)上是減函數(shù)；當(dāng)<x<時(shí)，g(x)>0，從而g(x)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)由上述討論知，g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值只能在x1，2時(shí)取得，而g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在區(qū)間1,2上的最大值為g()，最小值g(2).2 已知函數(shù)f(x)axxln x的圖像在點(diǎn)xe(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若kZ，且k<對任意x>1恒成立，求k的最大值解(1)因?yàn)閒(x)axx

22、ln x，所以f(x)aln x1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)axxln x的圖像在點(diǎn)xe處的切線斜率為3，所以f(e)3，即aln e13，所以a1.(2)由(1)知，f(x)xxln x，又k<對任意x>1恒成立，即k<對任意x>1恒成立令g(x)，則g(x)，令h(x)xln x2(x>1)，則h(x)1>0，所以函數(shù)h(x)在(1，)上單調(diào)遞增因?yàn)閔(3)1ln 3<0，h(4)22ln 2>0，所以方程h(x)0在(1，)上存在唯一實(shí)根x0，且滿足x0(3,4)當(dāng)1<x<x0時(shí)，h(x)<0，即g(x)<0，當(dāng)x>x

23、0時(shí)，h(x)>0，即g(x)>0，所以函數(shù)g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以g(x)ming(x0)x0(3,4)，所以k<g(x)minx0(3,4)，故整數(shù)k的最大值為3.3 設(shè)函數(shù)f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x0時(shí)f(x)0，求a的取值范圍解(1)若a0，f(x)ex1x，f(x)ex1.當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0.故f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號成立，故f(x)x2ax

24、(12a)x，從而當(dāng)12a0，即a時(shí)，f(x)0(x0)f(x)在0，)上單調(diào)遞增而f(0)0，于是當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.由ex>1x(x0)可得ex>1x(x0)從而當(dāng)a>時(shí)，f(x)<ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，令ex(ex1)(ex2a)<0得1<ex<2a，0<x<ln 2a.故當(dāng)x(0，ln 2a)時(shí)，f(x)<0，f(x)在(0，ln 2a)上單調(diào)遞減而f(0)0，于是當(dāng)x(0，ln 2a)時(shí)，f(x)<0.不符合要求綜上可得a的取值范圍為(，4 已知f(x)x23x1，g(x)x.(1)a2時(shí)，

25、求yf(x)和yg(x)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)a為何值時(shí)，yf(x)和yg(x)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)恰為兩個(gè)解(1)由得x23x1x，整理得x3x2x20(x1)令yx3x2x2，求導(dǎo)得y3x22x1，令y0，得x11，x2，故得極值點(diǎn)分別在1和處取得，且極大值、極小值都是負(fù)值故公共點(diǎn)只有一個(gè)(2)由得x23x1x，整理得ax3x2x(x1)，令h(x)x3x2x，聯(lián)立如圖，對h(x)求導(dǎo)可以得到極值點(diǎn)分別在1和處，畫出草圖，h(1)1，h()，當(dāng)ah(1)1時(shí)，ya與yh(x)僅有一個(gè)公共點(diǎn)(因?yàn)?1,1)點(diǎn)不在yh(x)曲線上)，故a時(shí)恰有兩個(gè)公共點(diǎn)5 定義在R上的函數(shù)f(x)ax3bx2cx3同時(shí)

26、滿足以下條件：f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)；f(x)是偶函數(shù)；f(x)的圖像在x0處的切線與直線yx2垂直(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)設(shè)g(x)4ln xm，若存在x1，e，使g(x)<f(x)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)3ax22bxc.f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)，f(1)3a2bc0，(*)由f(x)是偶函數(shù)得b0，又f(x)的圖像在x0處的切線與直線yx2垂直，f(0)c1，將代入(*)得a，f(x)x3x3.(2)由已知得，若存在x1，e，使4ln xm<x21，即存在x1，e，使m>(4ln xx21)min.設(shè)M(x)4ln xx21，x1，e，則M(x)2x，令M(x)0，x1，e，