基于泰勒展開的構(gòu)造法

1、4 Multistep Method 基于泰勒展開的構(gòu)造法基于泰勒展開的構(gòu)造法).(.110111101kikiiikikiiiffffhyyyy- - -+ +- - - -+ + + + + + + + + += =b bb bb bb ba aa aa a 將通式中的右端各項將通式中的右端各項 yi- -1, , yi- -k ; fi+1, fi- -1, , fi- -k 分別在分別在 xi 點作點作泰勒展開泰勒展開，與精確解，與精確解 y(xi+1) 在在 xi 點的泰勒展開作點的泰勒展開作比較比較。通過令。通過令同同類項系數(shù)相等類項系數(shù)相等，得到足以確定待定系數(shù)，得到足以確定待定

2、系數(shù)a a0, , a ak ; b b- -1, b b0, , b bk 的等式，則可構(gòu)造出線性多步法的的等式，則可構(gòu)造出線性多步法的公式。公式。例：例：設(shè)設(shè))(3322110221101- - - - - -+ + + + + + + += =iiiiiiiiyyyyhyyyyb bb bb bb ba aa aa a確定式中待定系數(shù)確定式中待定系數(shù)a a0, a a1, a a2, b b0, b b1, b b2, b b3, 使得公式具有使得公式具有4階階精度。精度。4 Multistep Method解：解：)(5)4(42413612211hOyhyhyhyhyyiiiiii+

3、 + + - - + + - -= =- -)(225)4(43233422hOyhyhyhyhyyiiiiii+ + + - - + + - -= =- -)(4)4(3612211hOyhyhyhyyiiiii+ +- - + + - - = = - -)(224)4(33422hOyhyhyhyyiiiii+ +- - + + - - = = - -)(34)4(3292293hOyhyhyhyyiiiii+ +- - + + - - = = - -)()(5)4(42413612211hOyhyhyhyhyxyiiiiii+ + + + + + + + += =+ +/* y(xi)

4、= yi */1210= =+ + +a aa aa ahh= =+ + + + +- - -)2(321021b bb bb bb ba aa a22132121212)322(hh= =- - - -+ +b bb bb ba aa a36132921212341613)2(hh= =+ + + +- - -b bb bb ba aa a424132923416123212414)(hh= =- - - -+ +b bb bb ba aa a個未知數(shù)個未知數(shù)個方程個方程754 Multistep Method 令令 a a1 = a a2 = 0Adams 顯式顯式公式公式 以以 y i+

5、1 取代取代 y i- -1，并取，并取 a a1 = a a2 = 0Adams 隱式隱式公式公式 以以 yi- -3 取代取代 y i- -3 ，則可導(dǎo)出另一組，則可導(dǎo)出另一組4 階顯式算法，其中階顯式算法，其中包含了著名的包含了著名的米爾尼米爾尼 /* Milne */ 公式公式)22(342131- - - -+ + + + - - + += =iiiiiyyyhyy其局部截斷誤差為其局部截斷誤差為),(,)(45141)5(5+ + = =iiiiixxyhR 注：注：上式也可通過上式也可通過數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分導(dǎo)出，即將導(dǎo)出，即將 在區(qū)間在區(qū)間 上積分，得到上積分，得到 再過再過 做做

6、 f 的插值多項式即可。的插值多項式即可。),(yxfy =,13+-iixx + +- -+ += =- -+ +13,)(,()()(31iixxiidxxyxfxyxy21,- - -iiifff取取 a a1 = 1, a a2 = 0得到得到辛甫生辛甫生 /* Simpson */ 公式公式與與Milne 公式匹配使用公式匹配使用 辛甫生辛甫生 /* Simpson */ 公式公式)4(31111- -+ +- -+ + + + + + + += =iiiiiyyyhyy在區(qū)間在區(qū)間xi- -1, xi+1上積分，并用上積分，并用Simpson數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分公式來近似積公式來近似積

7、分項，亦可得此分項，亦可得此Simpson公式。公式。4 Multistep Method Milne-Simpson 系統(tǒng)的缺點是系統(tǒng)的缺點是穩(wěn)定性差穩(wěn)定性差，為改善穩(wěn)定性，為改善穩(wěn)定性，考慮另一種隱式校正公式：考慮另一種隱式校正公式：)(11011221101-+-+=iiiiiiiyyyhyyyyb bb bb ba aa aa a要求公式具有要求公式具有4 階精度。通過泰勒展開，可得到階精度。通過泰勒展開，可得到 個等式，個等式，從中解出從中解出 個未知數(shù)，則有個未知數(shù)，則有 個自由度。個自由度。561取取 a a1 = 1 得得Simpson 公式公式哈明哈明 /* Hamming

8、*/ 用用a a1 的不同數(shù)值進行試驗，發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)牟煌瑪?shù)值進行試驗，發(fā)現(xiàn)當(dāng)a a1 = 0 時，公式的穩(wěn)定性較好，即：時，公式的穩(wěn)定性較好，即：)2(83)9(811121- -+ +- -+ + - - + + + +- -= =iiiiiiyyyhyyy其局部截斷誤差為其局部截斷誤差為),(, )(4011)5(5+ + - -= =iiiiixxyhR 注：注：哈明公式不能用數(shù)值積分方法推導(dǎo)出來。哈明公式不能用數(shù)值積分方法推導(dǎo)出來。5 微分方程組與高階方程微分方程組與高階方程 /* Systems of Differential Equations and Higher-Order Equ

9、ations */ 一階微分方程組一階微分方程組IVP的一般形式為：的一般形式為：= = = = )(,.),(,()(.)(,.),(,()(1111xyxyxfxyxyxyxfxymmmm初值初值0002020101)(,.,)(,)(mmyxyyxyyxy= = = =將問題記作將問題記作向量形式向量形式，令：，令： = = = = = =001011.,.,.mmmyyyfffyyy = = = 00)(),()(yxyyxfxy前述所有公式皆前述所有公式皆適用于向量形式。適用于向量形式。 高階微分方程高階微分方程5 Systems of DEs and Higher-Order Eq

10、uations= = = = = = =- - - -10)1(1000)1()()(,.,)(,)(),.,(nnnnaxyaxyaxyyyyxfy化作化作一階微分方程組一階微分方程組求解。求解。引入新變量引入新變量)1(21,.,- -= = = = =nnyyyyyy = = = = = = - -),.,(.1121nnnnyyxfyyyyy初值條件為：初值條件為：10102001)(.)()(- -= = = =nnaxyaxyaxy6 邊值問題的數(shù)值解邊值問題的數(shù)值解 /* Boundary-Value Problems */2 階常微分方程邊值問題階常微分方程邊值問題 = = =

11、 = = b ba a)(,)(),(),(byaybaxyyxfy 打靶法打靶法 /* shooting method */先猜測一個初始斜率先猜測一個初始斜率 y (a) = s，通過解初值，通過解初值問題問題 = = = = = = sayaayyyxfy)()(),(y(b) = (s)找出找出s*使得使得 (s*) = b b，即把問，即把問題轉(zhuǎn)化為求方程題轉(zhuǎn)化為求方程 (s) - - b b = 0 的根。的根。yx0aby x( )b b斜率斜率 = s0 ()s0斜率斜率 = s1 ()s1每計算一個每計算一個 (s) 都必須解一個都必須解一個ODE. 有限差分法有限差分法 /* finite difference method */6 Boundary -Value Problems將求解區(qū)間將求解區(qū)間a, b 等分為等分為N 份，取節(jié)點份，取節(jié)點 xi = a + ih (i = 0, , N )，在每一個節(jié)點處將，在每一個節(jié)點處將 y 和和 y 離散化離散化。)(12)()()()()()4(2 yhhhhxyxyhxyhxyx