巧用中點妙構(gòu)圖化難為易立見影(1)

1、巧用中點妙構(gòu)圖 化難為易立見影江西省會昌縣第二中學(xué)（342600） 王德平（1960907007）江西會昌珠蘭示范學(xué)校（342606） 王晉芳 (873642732)解答幾何問題時，若充分利用某線段的中點，巧妙添加輔助線，就能對問題的解決起到畫龍點睛的作用. 請看一、巧用三角形中某線段的中點構(gòu)造圖形解題例1 如圖1，ABC中，D是BC的中點，E為AC上一點，BE交AD于P點，且EA=EP. 求證： BP=CA. 方法一 （構(gòu)造三角形中位線）取EC的中點F， 連DF. 由題意可得DF是BCE的中位線，則DFBE，.又EA=EP，故EAP=EPA=ADF，可得FA=FD. 又BE=2DF=2FA，

2、 故BE- EP =2FA- EA，即可得BP= CA. 類似地，還可通過如圖3、圖4的情形構(gòu)造三角形中位線. 圖3中取BE的中點F，則DF為BCE的中位線. 圖4中 延長BE至F，使BP=FP，則PD為BCF的中位線. 這樣，也易得證. 方法二 （構(gòu)造全等三角形） 如圖5，延長AD到F，使AD=DF，連BF. 易證 BDFCDA (SAS)，則BF= CA， EAP=BFP=EPA=BPF. 故BFP 為等腰三角形，且BP=BF. 從而BP=CA. 類似地， 也可延長PD至F，使PD=FD，連CF，如圖6，易證 BDP CDF ，再由已知易證得BP=CF=CA. 或延長PD至F，使BFAF.

3、過點C作CGAF于F，如圖7，易證 BDFCDG ，得 BF = CG . 進而又可證AGC PFB ，所以BP=CA. 方法三 （構(gòu)造平行四邊形） 如圖8，延長AD至F，使AD=DF，連BF、CF. 易證四邊形ABFC是平行四邊形. 故BF=CA，EAP=EPA=BPF=BFP. 所以BPF為等腰三角形，且BF=BP. 故BP=CA. 類似地，如圖9，也可延長PD至F，使PD=FD. 連BF、CP，可得四邊形BFCP是平行四邊形，用類上述證法，可得BP=CA. 我們知道三角形中位線性質(zhì)就是用構(gòu)造平行四邊形方法加以證明的. 例2 如圖10，已知ABC中，BE、CF是高，M是BC的中點，N是EF

4、的中點. 求證：MNEF. 解析 （構(gòu)造等腰三角形）如圖10，連ME、MF.因BE、CF是高，故BEAC，CFAB. 又因M是BC的中點，故ME=MF，即MEF是等腰三角形. 又因N是EF的中點，故MNEF. 二、巧用四邊形中某線段的中點構(gòu)造圖形解題例3 如圖11，已知四邊形ABCD中，E、F分別為AB、CD的中點，G、H分別為AC、BD的中點，求證EO=FO，GO=HO. 證明 （構(gòu)造三角形中位線）如圖11，連EG、GF、FH、HE. 在ABC中， AE=EB，AG=GC， EGBC，（三角形中位線性質(zhì)）. 同理 HFBC，. EGHF，EG=HF. 四邊形EGFH是平行四邊形. EO=FO

5、，GO=HO. 例4 如圖12，已知在直角梯形ABCD中，ADBC，E為直角腰CD的中點，且AB=AD+BC.求證： EA、EB分別為DAB、CBA的平分線. 證明 （構(gòu)造梯形中位線）如圖12，取AB的中點為F.則EF為梯形ABCD的中位線，且EFAD, . AB=AD+BC， ，. . 又 EFAD, . ，即EA為DAB的平分線.同理可證 EB為CBA的平分線.例5 如圖13，等腰梯形ABCD中，ABCD， 對角線AC、BD所成的角AOB=600，P、H、R分別是OA、BC、OD的中點. 求證：PHR是等邊三角形. 證明 （構(gòu)造直角三角形）如圖13，連PB、RC. 四邊形ABCD是等腰梯形

6、， AD=BC，AC=BD. 又 AB=AB， ABDBAC. OAB=OBA. OA= OB . AOB=600， OAB是等邊三角形. P是OA的中點， PBOA，即PBC是直角三角形. H是BC的中點， .同理可證 P、R分別是OA、OD的中點， . PR=PH=RH， 即PHR是等邊三角形. 例6 如圖14，正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，E是BC邊上的一點，且AE=DC+CE. 求證：AF平分DAE. 證明 （構(gòu)造全等三角形、等腰三角形）如圖14，連EF，并延長交AD的延長線于G. 在RtFDG和RtFCE中， FD =FC, 1=2， FDGFCE. CE=DG，EF=FG， A

7、G=AD+DG=DC+CE=AE. 即AEG是等腰三角形. F是CD的中點， AF是等腰AEG底邊上的中線. AF平分DAE. 類似地，如圖15，也可延長AF與BC的延長線交于G . 易證ADFGCF，并結(jié)合條件可得DAF=CGF=EAF. 即AF平分DAE.三、鏈接中考題例7 （2009年·齊齊哈爾）如圖16，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，則BME=CNE（不需要證明）.（溫馨提示：在圖16-1中，連結(jié)BD，取BD的中點H，連結(jié)HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而1=2，再利用平

8、行線性質(zhì)，可證得BME=CNE.）問題一：如圖16-2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF，分別交DC、AB于點M、N， 判斷OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論.解析 OMN是等腰三角形. 這個問題解答起來其實很簡單，如圖16-2，只要取AC中點H，連FH、EH. 由題意可知FH、EH分別是ADC、CAB的中位線，故FHDC，EHAB，. 因AB=CD，所以可得HFE=CME=ANF=HEF. 故OM=ON，即OMN是等腰三角形.問題二：如圖16-3，在ABC中，AC>AB，點D在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF并延長，與BA的延長線交于點G，若EFC=600，連結(jié)GD， 判斷AGD的形狀. 解析 如圖16-3，連結(jié)BD，取BD的中點H，連結(jié)HF、HE. F是AD的中點， HF是ABD的中位線. HF