矩陣及運(yùn)算(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上矩陣及其運(yùn)算矩陣的概念1、形如、這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。2、在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量稱為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量稱為列向量；由個(gè)行向量與個(gè)列向量組成的矩陣稱為階矩陣，階矩陣可記做，如矩陣為階矩陣，可記做；矩陣為階矩陣，可記做。有時(shí)矩陣也可用、等字母表示。3、矩陣中的每一個(gè)數(shù)叫做矩陣的元素，在一個(gè)階矩陣中的第（）行第（）列數(shù)可用字母表示，如矩陣第3行第2個(gè)數(shù)為。4、當(dāng)一個(gè)矩陣中所有元素均為0時(shí)，我們稱這個(gè)矩陣為零矩陣。如為一個(gè)階零矩陣。5、當(dāng)一個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時(shí)，這個(gè)矩陣稱為方矩陣，簡(jiǎn)稱方陣，一個(gè)方陣有行（列），可稱此方陣為階方陣，如矩陣、均

2、為三階方陣。在一個(gè)階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對(duì)角線，如果其對(duì)角線的元素均為1，其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣為3階單位矩陣。6、如果矩陣與矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么與叫做同階矩陣；如果矩陣與矩陣是同階矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)位置的元素都相等時(shí)，那么矩陣與矩陣叫做相等的矩陣，記為。7、對(duì)于方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來(lái)的次序排列所得的矩陣，我們叫做方程組的系數(shù)矩陣；而矩陣叫做方程組的增廣矩陣。應(yīng)用舉例：例1、已知矩陣且，求、的值及矩陣。例2、寫出下列線性方程組的增廣矩陣：（1）； （2）例3、已知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的方程組：（1） （2）例

3、4、已知矩陣為單位矩陣，且，求的值。矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行或兩列；（2）把某一行同乘（除）以一個(gè)非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行。 顯然，通過(guò)以上三個(gè)基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時(shí)增廣矩陣的最后一個(gè)列向量給出了方程組的解。應(yīng)用舉例：例1、用矩陣變換的方法解三元一次方程組的解。例2、運(yùn)用矩陣變換方法解方程組：（、為常數(shù)）課堂練習(xí)：用矩陣變換方法解下列問(wèn)題：（1）若方程組的解與相等，求的值。（3）解方程組：矩陣運(yùn)算 （對(duì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的矩陣，我們經(jīng)常將幾個(gè)矩陣聯(lián)系起來(lái)，討論它們是否相等，它們?cè)谑裁礂l件下可以進(jìn)行何種運(yùn)算，這些運(yùn)算具有什么性質(zhì)等問(wèn)題

4、，這是下面所要討論的主要內(nèi)容.） 1相等 定義 如果兩個(gè)矩陣，滿足： (1) 行、列數(shù)相同，即 ； (2) 對(duì)應(yīng)元素相等，即aij = bij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，則稱矩陣A與矩陣B相等，記作 A = B （由矩陣相等定義可知，用等式表示兩個(gè)mn矩陣相等，等價(jià)于元素之間的mn個(gè)等式.）例如，矩陣A =， B = 那么A = B，當(dāng)且僅當(dāng)a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4 而C = 因?yàn)锽, C這兩個(gè)矩陣的列數(shù)不同，所以無(wú)論矩陣C中的元素c11, c12, c21, c22取什么數(shù)都不會(huì)與矩陣B

5、相等.2加法定義2.3 設(shè)，是兩個(gè)mn矩陣，則稱矩陣C = 為A與B的和，記作C = A + B = （由定義2.3可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個(gè)矩陣，才能作加法運(yùn)算.） 同樣，我們可以定義矩陣的減法：D = A - B = A + (-B ) =稱D為A與B的差.例1 設(shè)矩陣A =， B =，求A + B，A - B. 例2、矩陣，若，求的值。 矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么？ 設(shè)A, B, C, O都是mn矩陣，不難驗(yàn)證矩陣的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)則 1. 加法交換律： A + B = B + A； 2. 加法結(jié)合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩陣

6、滿足： A + O = A； 4. 存在矩陣-A，滿足：A -A = A + (-A ) = O . 3數(shù)乘 定義2.4 設(shè)矩陣，為任意實(shí)數(shù)，則稱矩陣為數(shù)與矩陣A的數(shù)乘，其中，記為C =A （由定義2.4可知，數(shù)乘一個(gè)矩陣A，需要用數(shù)去乘矩陣A的每一個(gè)元素.特別地，當(dāng) = -1時(shí)，A = -A，得到A的負(fù)矩陣.） 例3 設(shè)矩陣A =，用2去乘矩陣A，求2A. 數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么？ 對(duì)數(shù)k , l和矩陣A = ，B =滿足以下運(yùn)算規(guī)則： 1. 數(shù)對(duì)矩陣的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩陣對(duì)數(shù)的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 數(shù)與矩

7、陣的結(jié)合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 數(shù)1與矩陣滿足： 1A = A. 例4 設(shè)矩陣 A =，B =，求3A - 2B. 4乘法 矩陣乘積的定義 設(shè)A=是一個(gè)ms矩陣，B=是一個(gè)sn矩陣，則稱mn矩陣C =為矩陣A與B的乘積，記作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ). （由矩陣乘積的定義可知：） (1) 只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)時(shí)，A, B才能作乘法運(yùn)算AB； (2) 兩個(gè)矩陣的乘積AB亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣A的

8、行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣B的列數(shù)； (3) 乘積矩陣AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素與B的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，故簡(jiǎn)稱行乘列的法則. 例6 設(shè)矩陣 A = ， B = ，計(jì)算AB. 例7 設(shè)矩陣 A = ，B =， 求AB和BA. 由例6、例7可知，當(dāng)乘積矩陣AB有意義時(shí)，BA不一定有意義；即使乘積矩陣AB和BA有意義時(shí)，AB和BA也不一定相等.因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進(jìn)行矩陣乘法時(shí)，一定要注意乘法的次序，不能隨意改變. 在例6中矩陣A和B都是非零矩陣（AO, B O ）,但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個(gè)零矩陣（AB = O），即兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣.因此，當(dāng)

9、AB = O，不能得出A和B中至少有一個(gè)是零矩陣的結(jié)論. 一般地，當(dāng)乘積矩陣AB = AC，且AO時(shí)，不能消去矩陣A，而得到B = C.這說(shuō)明矩陣乘法也不滿足消去律. 那么矩陣乘法滿足哪些運(yùn)算規(guī)則呢？ 矩陣乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)則： 1. 乘法結(jié)合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 數(shù)乘結(jié)合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一個(gè)常數(shù).例8：已知，矩陣，求。練習(xí)：計(jì)算下列矩陣的乘法（1）；（2）。 例9、已知矩陣，若A=BC，求函數(shù)在1,2 上的最小值.例10：將

10、下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式（1）；（2）。例11：若，矩陣就稱為與可變換，設(shè)，求所有與可交換的矩陣。課堂練習(xí)與課后作業(yè)一、選擇題1、“兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個(gè)矩陣相等”的（ ）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件是 C、充要條件 D、既不充分又不必要條件2、用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組其中正確的是（ ）A、 B、C、 D、3、若，且，則矩陣_.4、點(diǎn)A（1，2）在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是_5、已知是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)所組成的矩陣，那么a+b= .6、若點(diǎn)A在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為（1，0），那么= .7、若點(diǎn)A在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下下得到的點(diǎn)為（2，4），那么點(diǎn)A的坐標(biāo)為 .8、已知，若A=B，那么+= .9、設(shè)A為二階矩陣，其元素滿足，i=1，2，j=1，2，且，那么矩陣 A= .10：，且，那么A+AB= 。 11、一個(gè)線性方程組滿足，系數(shù)矩陣為單位矩陣，解為