第5章線性系統(tǒng)的頻域分析法

1、2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法1第第5章章 線性系統(tǒng)的頻域分析法線性系統(tǒng)的頻域分析法2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法2頻域分析法優(yōu)點(diǎn)頻域分析法優(yōu)點(diǎn)1)1)根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性能揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性能揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能, , 得到定性和定得到定性和定量的結(jié)論，可以簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響量的結(jié)論，可以簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響, ,并并提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。2)2)時(shí)域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡(jiǎn)潔的時(shí)域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對(duì)應(yīng)

2、關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡(jiǎn)潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。 3)3)具有明確的物理意義，它可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻率特性分析儀等測(cè)試具有明確的物理意義，它可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻率特性分析儀等測(cè)試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)，這對(duì)難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。據(jù)，這對(duì)難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。4)4)頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某

3、些頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。近來(lái)，頻率法還發(fā)展到可以應(yīng)用到多輸入量多輸出量系統(tǒng)，稱非線性系統(tǒng)中。近來(lái)，頻率法還發(fā)展到可以應(yīng)用到多輸入量多輸出量系統(tǒng)，稱為多變量頻域控制理論。為多變量頻域控制理論。5)5)可以有效地抑制噪聲，若已知系統(tǒng)在某些頻段范圍內(nèi)存在嚴(yán)重噪聲時(shí)，應(yīng)用可以有效地抑制噪聲，若已知系統(tǒng)在某些頻段范圍內(nèi)存在嚴(yán)重噪聲時(shí)，應(yīng)用頻率分析法可設(shè)計(jì)出能夠有效抑制該部分噪聲的系統(tǒng)頻率分析法可設(shè)計(jì)出能夠有效抑制該部分噪聲的系統(tǒng)2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法3 5.1.1 頻率特性的基本概念ui(t)與與u0(t)分別為輸入與輸出

4、信號(hào)，其傳遞分別為輸入與輸出信號(hào)，其傳遞函數(shù)為函數(shù)為( )( )( )OiUs1G sUsTs1輸出響應(yīng)的拉氏變換為輸出響應(yīng)的拉氏變換為( )iO22U1UsTs1s2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法4對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可求得輸出信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式)arctansin(11)(22220TtTUeTTUtuiTti(5.1-1)(5.1-1)設(shè)有設(shè)有n 階線性穩(wěn)定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為階線性穩(wěn)定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為12( )( )( )( )( )( )()()()nC sN sN sG sR sD sssssss若初始條件為零，在該系統(tǒng)的輸入端施加一個(gè)正弦信號(hào)，即若初始條件為零，在該系統(tǒng)的

5、輸入端施加一個(gè)正弦信號(hào)，即tRtrmsin)(實(shí)際上，對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)實(shí)際上，對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)(或元件或元件)，在正弦信號(hào)的，在正弦信號(hào)的作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出必是一個(gè)與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)，作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出必是一個(gè)與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)，且其幅值與相位是輸入正弦信號(hào)頻率的函數(shù)。且其幅值與相位是輸入正弦信號(hào)頻率的函數(shù)。 2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法5式中Rm為輸入正弦信號(hào)幅值，是輸入正弦信號(hào)頻率。經(jīng)拉普拉斯變換后，可以得到22( )mRR ss2212121( )( )( ) ( )()()()mnniiiRN sC sG s R ssssssssb

6、aasjsjss經(jīng)拉普拉斯反變換后，可得系統(tǒng)的輸出為經(jīng)拉普拉斯反變換后，可得系統(tǒng)的輸出為121( )ins tjtjtiic tb ea ea e 穩(wěn) 態(tài) 分 量暫 態(tài) 分 量2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法6由于系統(tǒng)是穩(wěn)定的，閉環(huán)特征根s1，s2，sn 的具有負(fù)實(shí)部。則系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出為12( )lim ( )j tj ttcc ta ea e 式中：式中：a1、a2 為待定系數(shù)。利用待定系數(shù)法可得為待定系數(shù)。利用待定系數(shù)法可得1()( )()()()2mmRR GjaG ssjsjsjsjj 2()( )()()()2mmRR G jaG ssjsjsjsjj(

7、)()()jG jG jG je()()()()()j Gjj G jGjGjeG je 2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法7從而可以得到()()()()( )22j G jj G jmmj tj tR G jeR G jeceejj ()()()2jtG jjtG jmeeR G jj() sin()mR G jtG j【例例5-1】某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，輸入信號(hào)，輸入信號(hào)r(t)=2sin2tr(t)=2sin2t，試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。，試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法8解：容易判斷，所給系統(tǒng)是穩(wěn)

8、定的。在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也是正弦信號(hào)，本題現(xiàn)利用頻率特性的概念來(lái)求解?？刂葡到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：2( )4( )1( )24G ssG sss其對(duì)應(yīng)的頻率特性為：其對(duì)應(yīng)的頻率特性為：24()( )42 sjjsj由于輸入正弦信號(hào)的頻率由于輸入正弦信號(hào)的頻率 =2rad/s=2rad/s，可以算得：，可以算得：()j90j2j1e 即即A(2)=1A(2)=1，j j(2)= (2)= 9090。當(dāng)輸入信號(hào)。當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=2sin2tr(t)=2sin2t時(shí)時(shí), ,利用幅頻特性和利用幅頻特性和相頻特性的定義，可以寫出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出相頻特性的定義，可以寫出系統(tǒng)的穩(wěn)

9、態(tài)輸出)902sin(2)(ttcs2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法95.1.2 頻率特性的幾種表示法1 幅相頻率特性曲線1) 用j代替?zhèn)鬟f函數(shù)中的s，求出系統(tǒng)的頻率特性G(j)。2) 求出幅頻特性A()與相頻特性 的表達(dá)式，判斷G(j)所在的象限。3) 取 0(起點(diǎn))和 (終點(diǎn))兩點(diǎn)以及在0之間的一些特殊點(diǎn)，計(jì)算這些點(diǎn)處的幅頻值A(chǔ)()和相頻值()，在幅相平面上找出這些點(diǎn)，并用光滑的曲線將它們連接起來(lái)。當(dāng)頻率從零變到無(wú)窮大時(shí)，幅相頻率特性向量矢端的運(yùn)動(dòng)軌跡，即為幅相頻率特性曲線。2 對(duì)數(shù)頻率特性曲線 對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱為波特圖（Bode圖），包括對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩條曲

10、線，是頻域分析法中廣泛使用的一組曲線。 3 對(duì)數(shù)幅相曲線 ( )j (奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)曲線曲線，簡(jiǎn)稱奈氏圖奈氏圖，也稱極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖)。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法10圖5.1-3 線性分度與對(duì)數(shù)分度的示意圖 2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法115.2 頻率特性的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）5.2.1典型環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖1. 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)=K用j 替換s，可得其頻率特性為 G(j)=K 比例環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式為 2. 積分環(huán)節(jié)理想積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 ( )AK0j 1( )G ss2022-2-

11、25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法12其頻率特性為相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性表達(dá)式為3. 微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)=s其頻率特性為211()jG jwej ( )1A90j ()j2G jje2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法13相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性表達(dá)式為4. 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性表達(dá)式為 ( )A90j 1( )1G sTsarctan222222111()1+111TTG jjej TTTT( )( )arctan221A1TTj 2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法145. 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的傳

12、遞函數(shù)為 G(s)=Ts+1其頻率特性為相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性表達(dá)式為6. 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為arctan()22jTG j1j T1T e( )( )arctan22A1TTj 2n22nnGs2s（s ）=2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法15其頻率特性為相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性表達(dá)式為7. 二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為()()2n22nnG jj2 =( )( )arctan2n2222222nn2nnn22n1A2212 j ( )22G ss2s12022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法16其頻率特性相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性表達(dá)式為8. 延遲環(huán)節(jié)

13、延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 其頻率特性為 相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性表達(dá)式為22()12 G jj( )()()( )arctan222222A1221 j ( )( )A1j G(s)=e-sG(j)=e- j 2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法175.2.2 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖1 定義線性定常系統(tǒng)的頻率特性也有開(kāi)環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性之分。顯然，在系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中令s=j 得到開(kāi)環(huán)頻率特性，在閉環(huán)傳遞函數(shù)中令s=j 得到閉環(huán)頻率特性。由于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對(duì)應(yīng)，因此利用頻率分析法分析與設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性。系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性

14、可表示為 對(duì)于由多個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的系統(tǒng)（延遲環(huán)節(jié)除外），其頻率特性應(yīng)滿足式(5.2-8)。121222112211(1)(21)()()(1)(21)mmikkkikKnnvjllljljjKGjjj TTjT (5.2-7)2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法181()()niiG jGj( )( )nii 1AA( )( )nii 1j j (5.2-8)(5.2-8)2. . 開(kāi)環(huán)幅相曲線基本繪制規(guī)律開(kāi)環(huán)幅相曲線基本繪制規(guī)律（1 1）低頻段的確定（）低頻段的確定（00）由式由式(5.2-7) (5.2-7) ，可得，可得GK(j)GK(j)的低頻段表達(dá)式的低頻段表達(dá)式根據(jù)向

15、量相乘原則，求出低頻段幅頻特性與相頻特性表達(dá)式分別為根據(jù)向量相乘原則，求出低頻段幅頻特性與相頻特性表達(dá)式分別為 , , (5.2-9)(5.2-9)對(duì)于對(duì)于0 0型系統(tǒng)（型系統(tǒng)（v=0v=0）：）：A(0)=KA(0)=K， =0=0，低頻特性為實(shí)軸上的一點(diǎn)，低頻特性為實(shí)軸上的一點(diǎn)(K,0)(K,0)。 對(duì)于對(duì)于型系統(tǒng)（型系統(tǒng)（v=1v=1）：）：A(0)A(0)， = -90= -90。對(duì)于對(duì)于型系統(tǒng)（型系統(tǒng)（v=2v=2）：）：A(0)A(0)， = -180= -180。()()KvKGjj( )( )KvKAG( )90j (0)j(0)j(0)j2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻

16、域分析法19（2）高頻段（ ）實(shí)際的物理系統(tǒng)通常是，由式(5.2-7)知 ， 當(dāng)(n-m)=1，則 =-90，即幅相特性沿負(fù)虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)(n-m)=2，則 =-180，即幅相特性沿負(fù)實(shí)軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)(n-m)=3，則 =-270，即幅相特性沿正虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)（3）中頻段部分，將頻率特性表達(dá)式按照分母有理化的方法分解為實(shí)頻特性與虛頻特性，確定幅相曲線與實(shí)軸、虛軸的交點(diǎn)。曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)處的頻率由虛頻特性為零時(shí)求解,曲線與虛軸的交點(diǎn)處的頻率由實(shí)頻特性為零時(shí)求解得到。（4）按頻率從小到大的順序用光滑曲線將頻率特性的低頻、中頻和高頻部分連接起來(lái)即可。0)(limjGK( )lim ( )()

17、nm90jj ( )j( )j( )j(5.2-10)2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法20【例5-2】某系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制其開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖。解：由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)得頻率特性：當(dāng) 0時(shí)，A(0) =K， =0，低頻特性為正實(shí)軸上的一點(diǎn)(K,0) 在 時(shí)，A()=0， =-(n-m)90=-3*90=-270 此系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，因此在 從0過(guò)程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從0連續(xù)變化到-270，中間有-180角，故曲線與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)。極坐標(biāo)圖應(yīng)該是平滑的曲線，從低頻段開(kāi)始幅值逐漸減小，沿順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。極坐標(biāo)圖如圖5.2-11所示。K123( )(1)(1)

18、(1)KGsTsT sT sK123()(1)(1)(1)KGjj Tj Tj T( )j(0)j。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法21圖圖5.2-11 .2-11 例例5-2系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖【例例5- -3】某系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，某系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，請(qǐng)請(qǐng)繪制其開(kāi)環(huán)繪制其開(kāi)環(huán)幅相曲線。幅相曲線。解：系統(tǒng)的頻率特性：解：系統(tǒng)的頻率特性：1212( )(1)(1)kKG sTTs TsT s，12()(1)(1)kKGjjj Tj T2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法22（1）此系統(tǒng)為型系統(tǒng)。當(dāng) 0時(shí)，A(0)， =-90，低頻特性始于負(fù)虛軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處。

19、將頻率特性表達(dá)式進(jìn)行分母有理化。則低頻漸近線為頻率特性實(shí)部0，故曲線只在第二、三象限。（2） 時(shí)，A()=0， =-(n-m)90= -390= -270，即幅相特性沿正虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。（3） 有-180相位角，故曲線與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)可以由下式確定。令 ImG(jw)=I(w)= =0，得：2121 2222222221212()(1)()(1)(1)(1)(1)kK TTKTTGjjTTTT1200lim Re ()lim( )()xG jRK TT 21 2222212(1)(1)(1)KTTTT1 21/TT(0)j( )j( )j 2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析

20、法23曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（4）此系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，因此在從0過(guò)程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從0連續(xù)變化到-270。極坐標(biāo)圖是平滑的曲線，從低頻段開(kāi)始幅值逐漸減小，沿順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。極坐標(biāo)圖如圖5.2-12所示。 圖5.2-12 例5-3系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線12,0KTT2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法24【例5-4】某系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制其開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖。解：由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)求得其幅頻特性和相頻特性此系統(tǒng)為型系統(tǒng)。當(dāng) 0時(shí)，A(0) ， =-180 ；當(dāng) 時(shí)，A()=0， =-(n-m)90=-3*90=-270 ；由于沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，所以極坐標(biāo)圖從低頻

21、段到高頻段為連續(xù)變化的光滑曲線，幅值連續(xù)減小，最后沿正虛軸終止于原點(diǎn)。極坐標(biāo)圖如圖5.2-13所示。K21( )(1)KGss Ts2221( )1KAT1( )180arctanTj (0)j( )j，2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法25圖圖5.2-.2-13 3 例例5-4系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線若若在在該系統(tǒng)該系統(tǒng)中中增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)頻率特性表達(dá)式為增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)頻率特性表達(dá)式為此時(shí)，有12122,) 1()() 1()(TTTjjTjKjG12( )180arctanarctanTTj 2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法26此系統(tǒng)仍為

22、型系統(tǒng)。當(dāng) 0時(shí)，A(0)， =-180，即極坐標(biāo)圖（奈氏圖）的起點(diǎn)基本未變。當(dāng) 時(shí)，A()=0， =-(n-m)90=-2*90=-180，極坐標(biāo)圖（奈氏圖）沿負(fù)實(shí)軸終止于原點(diǎn)。極坐標(biāo)圖如圖5.2-14所示。 圖5.2-14 例5-4系統(tǒng)中增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后的極坐標(biāo)圖( )j(0)j2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法275.3 頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）5.3.1典型環(huán)節(jié)頻率特性的Bode圖1. 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為其Bode圖如圖5.3-1所示，對(duì)數(shù)幅頻特性的是一條高度為20lgK且平行于橫軸的直線，對(duì)數(shù)相頻特性與零度線（橫軸）重合。 圖5.3-1

23、 比例環(huán)節(jié)的Bode圖 20lg0j LK2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法282. 積分環(huán)節(jié)理想積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為其Bode圖如圖5.3-2所示。 120lg20lg190j Ljj2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法293微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為其Bode圖如圖5.3-3所示。( )20lg20lg( )90j Ljj2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法304. 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為1）低頻段在T 1（或 1（或 1/T）的區(qū)段，可近似地認(rèn)為慣性環(huán)節(jié)的Bode圖如圖5.3-4所示。2( )20lg(

24、)120lg20lg20lg LTTT2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法325. 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖如圖5.3-5所示。 2220lg 1arctanj LTT2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法336. 振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為1）低頻段（0 1）T 1(或 1(或 1/T)時(shí)，L( )=20lg(wT)2=40lg(Tw)=40lgT40lgw（dB）。高頻段是一條斜率為40dB/dec的斜線，稱為高頻漸近線。振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖如圖5.3-6所示。 2222221=20lg212( )arc

25、tan j nnnnL2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法34圖圖5.3-6 .3-6 振蕩環(huán)節(jié)的振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖圖2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法357. 二階微分環(huán)節(jié)與一階環(huán)節(jié)類似，二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性與振蕩環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。低頻幅頻特性漸近線與0dB線重合，高頻段漸近線是斜率為+40dB/dec的直線，轉(zhuǎn)折頻率為 =1/ 。二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖如圖5.3-7所示。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法368. 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為 lgjL2010ej 圖5.3-8 延遲環(huán)節(jié)的Bode圖2022-2

26、-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法375.3.2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的Bode圖繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）的一般步驟：1) 將系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式形式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。2) 選定Bode圖坐標(biāo)系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。確定坐標(biāo)比例尺，由小到大標(biāo)注各轉(zhuǎn)折頻率。3) 確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v與開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)K決定）：找到橫坐標(biāo)為=1、縱坐標(biāo)為20lgK 的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作斜率為-20vdB/dec 的斜線。4) 由低頻向高頻延伸，每到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變。例如，若

27、遇到慣性環(huán)節(jié)，其轉(zhuǎn)折頻率為1/T1，則當(dāng)1/T1 時(shí)，分段直線斜率的變化量為-20dB/dec；如遇到比例微分環(huán)節(jié)，其轉(zhuǎn)折頻率1/T2，則當(dāng)1/T2 時(shí)，分段直線斜率的變化量為+20dB/dec，其他環(huán)節(jié)按類似的方法處理，最右側(cè)折線斜率為-20（n-m）dB/dec。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法385) 繪出對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線后，可再按照前述的各典型環(huán)節(jié)的誤差進(jìn)行適當(dāng)修正，例如，振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比不在0.40.7 范圍內(nèi)時(shí)，就需要對(duì)L( w)進(jìn)行修正；兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率相距很近時(shí)，也要對(duì)L( w )進(jìn)行修正。修正后即可得到實(shí)際的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。6) 相頻特性曲線的繪制可

28、根據(jù)開(kāi)環(huán)相頻特性的表達(dá)式，在低頻、中頻及高頻區(qū)域中各選擇若干個(gè)頻率進(jìn)行計(jì)算，然后連成光滑曲線。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法39【例5-5】設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試?yán)L制該系統(tǒng)的Bode圖。解：（1）系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成。（2）該系統(tǒng)為0 型系統(tǒng)，故低頻起始段為高度在20lgK(dB)處的水平線。（3）計(jì)算系統(tǒng)中各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率 =0.1rad/s， =1rad/s，并將各轉(zhuǎn)折頻率由低到高依次標(biāo)于橫坐標(biāo)上。（4）由低頻到高頻順序繪出系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線。以低頻起始段漸近線為基礎(chǔ)，每遇到一個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，根據(jù)該環(huán)節(jié)的性質(zhì)作一次斜率變化，直至最后一個(gè)環(huán)節(jié)

29、完成為止。本例中，在 =1 處，作高度為20lgK(dB)的水平線；在 =0.1rad/s處，曲線斜率由0變?yōu)?20dB/dec；在 =1rad/s( )(1)(101)KG sss12122022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法40處，曲線斜率由-20 dB/dec變?yōu)?40dB/dec，繪制出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。（5）分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線，并將各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向疊加，便可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。系統(tǒng)Bode圖如圖5.3-9所示。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法41【例5-6】設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的Bode圖

30、。解：（1）系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)、一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)、兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成。將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即（2）該系統(tǒng)為型系統(tǒng)，故低頻起始段漸近線的斜率為-20dB/dec，低頻段在 =1時(shí)的高度為20lg10=20dB。（3）在橫坐標(biāo)上標(biāo)出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，系統(tǒng)轉(zhuǎn)折頻率 =1rad/s， =2rad/s， =20rad/s。（4）找到 =1處，高度為20dB的點(diǎn)，通過(guò)該點(diǎn)作斜率為-20dB/dec 的直線，在 =1rad/s處，曲線斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec；在 =2rad/s處，曲線斜率由-40dB/dec變()( )()()100 s2G ss s1

31、s20( .)( )()( .)10 0 5s1G ss s1 0 05s11231232022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法42為-20dB/dec，在 =20rad/s 處，曲線斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，繪制出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。 （5）分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特曲線，并將各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向疊加，便可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。系統(tǒng)Bode圖如圖5.3-10 所示。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法435.3.3 最小相位系統(tǒng)1. 最小相位系統(tǒng)的概念“最小相位”這一概念來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié)

32、，其中相角位移有最小可能值的，稱為最小相位環(huán)節(jié)；反之，其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。2. 最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)（1）最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性是一一對(duì)應(yīng)的。也就是說(shuō)，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，一條對(duì)數(shù)幅頻特性只有一條對(duì)數(shù)相頻特性與之對(duì)應(yīng)，知道其對(duì)數(shù)幅頻特性，也就知道其對(duì)數(shù)相頻特性。因此，利用Bode圖對(duì)最小相位系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，往往只分析其對(duì)數(shù)幅頻特性L( )。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法44（2）最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性的變化趨勢(shì)相同，即若L( )的斜率減?。ɑ蛟龃螅?，則 的相位也相應(yīng)地減?。ɑ蛟龃螅?；如果在某一頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)幅頻特

33、性L( )的斜率保持不變，則在這些范圍內(nèi)，相位也幾乎保持不變。（3）對(duì)于最小相位系統(tǒng)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)量并繪制出開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線L( )，就可以唯一確定此系統(tǒng)，推出相應(yīng)的 ，寫出其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。( )j ( )j 2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法45【例5-7】 某最小相位系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線如圖5.3-13所示，求此系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。 圖5.3-13 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線解：根據(jù)上述步驟容易求得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為( )()( .)( .)14s1G s30s40s1 0 2s1 0 1s12022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法465.4 頻率

34、域的穩(wěn)定判據(jù) 5.4.1 幅角原理 設(shè)復(fù)變函數(shù)為 (5.4-1) 其幅角為 式中-zi(i=1,2,m)為F(s)的零點(diǎn)，-pj(j=1,2,n)為F(s)的極點(diǎn)。 函數(shù)F(s)是復(fù)變量s的單值、連續(xù)的正則函數(shù)，對(duì)于s平面上除了極點(diǎn)之外的每一點(diǎn) ，在F(s)平面上必有一點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。例如 ，當(dāng) 時(shí)， 。同理，在s平面上的任意一條閉合曲線， 在F(s)平面上必有一條唯一的閉合曲線與之對(duì)應(yīng)。對(duì)于在s平面上的一條順時(shí)針運(yùn)動(dòng)的閉合曲線，映射在F(s)平面上的閉合曲線是順時(shí)針運(yùn)動(dòng)還是逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，取決于F(s) 函數(shù)的特性。)()()()()(2121nmpspspszszszsKsFnjjmiipszss

35、F11)()()()2/() 1s ()(ssFjs15 . 05 . 0)1(jjF(5.4-2)2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法47特別值得注意的是，我們不關(guān)心映射曲線的形狀，而關(guān)注映射在F(s)平面上的閉合曲線是否包圍坐標(biāo)原點(diǎn)、包圍次數(shù)和運(yùn)動(dòng)方向。 綜上所述，可以歸納幅角原理為：在s平面上的閉合曲線包圍了F(s)的Z 個(gè)零點(diǎn)和P 個(gè)極點(diǎn)，并且閉合曲線不通過(guò)F(s)任何零、極點(diǎn)，當(dāng)s沿著閉合曲線順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周，則在F(s)平面上與之對(duì)應(yīng)的閉合曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)為N = Z P。 5.4.2 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 設(shè)控制系統(tǒng)如圖5.4-3 所示,其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 圖5.4-

36、3 系統(tǒng)的方塊圖 )(sR)(sC)(sG)(sH)()()()()(sAsBsHsGsGk（5.4-3）2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法48)()(1)()()(sHsGsGsRsC （5.4-4）系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 由于實(shí)際物理系統(tǒng)的階數(shù)由于實(shí)際物理系統(tǒng)的階數(shù)n n大于的階數(shù)大于的階數(shù)m m，根據(jù)式（，根據(jù)式（5.4-35.4-3）和式（和式（5.4-55.4-5）可以得出：）可以得出：F(s)F(s)的極點(diǎn)等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極的極點(diǎn)等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，其極點(diǎn)數(shù)用點(diǎn)，其極點(diǎn)數(shù)用P P表示；表示；F(s)F(s)的零點(diǎn)就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，的零點(diǎn)就是閉環(huán)

37、傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，其個(gè)數(shù)用其個(gè)數(shù)用Z Z表示。表示。 1. 1. 奈奎斯特路徑奈奎斯特路徑)()()()()(1)(1)(sAsBsAsAsBsGsFk閉環(huán)傳遞函數(shù)為（5.4-5）2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法49 為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性,判別F(s)是否在s右平面上有零點(diǎn)，選取s平面上的閉合曲線順時(shí)針包圍s的整個(gè)右半平面，如果F(s)在s右平面上有零、極點(diǎn)，則一定被包圍在閉合曲線中，這一閉合曲線稱為奈奎斯特路徑，如圖5.4-4所示。注意奈奎斯特路徑不能通過(guò)F(s)的零、極點(diǎn)。從圖可見(jiàn)，閉合曲線由兩部分構(gòu)成，一部分是整個(gè)虛軸；另一部分是半徑為無(wú)窮大的半圓。由于 分母的階數(shù)n大于分子

38、的階數(shù)m，有 常數(shù)，所以當(dāng)s沿著半圓從 變化時(shí)，函數(shù)F(s)保持常數(shù)。因此，F(xiàn)(s)的曲線包圍F(s)平面上原點(diǎn)的情況取決于奈奎斯特路徑的虛軸部分，即s沿著虛軸從 變化的部分。 )(sGksksG)(1limjj)(1)(jGjFk0)(jF1)(jGk)(jF)(jF)(jGk)(jGk由于由于，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，有時(shí)，有。這就說(shuō)明在。這就說(shuō)明在平面上的平面上的曲線包圍原點(diǎn)的情況，就等于在曲線包圍原點(diǎn)的情況，就等于在平面上平面上對(duì)（對(duì)（-1, j0）點(diǎn)包圍情況）點(diǎn)包圍情況。 曲線曲線2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法502. 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判據(jù)：當(dāng) 從 到 變化時(shí)，在平面上的奈奎斯特曲

39、線順時(shí)針包圍（-1, j0）點(diǎn)N次，則 (5.4-6) 如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 在s右平面上無(wú)極點(diǎn)，即P=0，其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈奎斯特曲線不包圍（-1, j0）點(diǎn)；如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的， 在s右平面上有P個(gè)極點(diǎn)，其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是PNZ)(sGk)(sGk奈奎斯特曲線逆時(shí)針包圍（-1, j0）點(diǎn)P次；如果奈奎斯特曲線穿越（-1, j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。值得注意的是，如果奈奎斯特曲線順時(shí)針包圍（-1, j0）點(diǎn)，則不論開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法51【例5-8】 設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試用奈奎斯特穩(wěn)

40、定判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為 幅頻特性和相頻特性為 ) 1)(15 . 0(3)(sssG) 1)(15 . 0(3)(jjjG2215 . 013)(Ajarctan5 . 0arctan)(2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法52 當(dāng) 0時(shí)，A() 3， = 0，可見(jiàn)極坐標(biāo)圖的起始點(diǎn)是在正實(shí)軸上值為3。 當(dāng) 時(shí)，A() 0， = -180，說(shuō)明極坐標(biāo)圖沿著負(fù)實(shí)軸趨于原點(diǎn)。 系統(tǒng)的奈奎斯特曲線如圖5.4-5所示。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，G(s)在s右半平面上無(wú)極點(diǎn)，即P=0，從圖可見(jiàn)，奈奎斯特曲線沒(méi)有包圍（-1,j0）點(diǎn)，所以N=0，從而得Z=P+N=0。根據(jù)奈

41、奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 ( )j ( )j 2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法533 Gk(j )有極點(diǎn)位于有極點(diǎn)位于s平面原點(diǎn)的奈奎斯特路徑平面原點(diǎn)的奈奎斯特路徑 當(dāng)Gk(s)在s平面原點(diǎn)有極點(diǎn)時(shí)，為了避免奈奎斯特路徑穿越Gk(s)的極點(diǎn)，采用以原點(diǎn)為圓心，半徑趨于無(wú)窮小的右半圓繞過(guò)原點(diǎn)處的極點(diǎn)。 0jj0jjj0jj這樣,s沿著虛軸從 ,通過(guò)小半圓逆時(shí)針繞到,從,再?gòu)娜鐖D5.4-6 所示。順時(shí)針繞無(wú)窮大的半圓，構(gòu)成封閉曲線。型、型、型系統(tǒng)應(yīng)用型系統(tǒng)應(yīng)用) 1)(1()(21sTsTsKsGk2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法54 【例5-9】設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)

42、傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：該系統(tǒng)的頻率特性為： 當(dāng) 從-變化到+時(shí)，系統(tǒng)的奈氏曲線如圖5.4-7所示。由于系統(tǒng)含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)（v=1），故當(dāng) 由0-至0+時(shí)，對(duì)應(yīng)奈氏曲線需要補(bǔ)充順時(shí)針環(huán)繞坐標(biāo)原點(diǎn)的無(wú)窮大半圓（圖5.4-7中虛線所示）。( )( )()()v22KG s H s01s T s2 Ts1()()()v22KG jH jj1Tj2 T2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法55圖圖5.4-7 例例5-9系統(tǒng)奈氏曲線系統(tǒng)奈氏曲線2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法56 該系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)右半S平面的極點(diǎn)，即p=0，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于奈氏曲線與負(fù)

43、實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)值 的大小，當(dāng) 時(shí)，奈氏曲線不包圍(-1, j0)點(diǎn)，即N=0,如圖5.4-7（a）所示，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng) 時(shí),奈氏曲線順時(shí)針包圍(-1, j0)點(diǎn)兩周，即N=2，圖5.4-7（b），系統(tǒng)不穩(wěn)定。vK T2vK T12vK T122022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法57 【例5-10】已知反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)分析當(dāng)T 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為其幅頻特性和相頻特性分別為 ()( )( )()2Ks1G s H ssTs1()()()()2K j1G jH j1jT()()22222K1G jH j1T ()()0G jH j180arc

44、tgTarctg 2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法58(a) 當(dāng)T 時(shí)，arctanTarctan ，當(dāng)由0變至+時(shí)，|G(j)H(j)|由變至0， G(j)H(j)由-180在第III象限內(nèi)變化為-180，其對(duì)應(yīng)的奈氏曲線如圖5.4-8（a）所示，圖中虛線表示的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)窮大圓弧是開(kāi)環(huán)零重極點(diǎn)在 GH 平面上的映射。由于奈氏曲線左端無(wú)窮遠(yuǎn)處是開(kāi)口的，它沒(méi)有包圍(-1, j0)點(diǎn)（N=0），系統(tǒng)無(wú)S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（P=0），由奈氏判據(jù)知，當(dāng)T 時(shí)，arctanTarctan ，當(dāng)由0變至+時(shí)，|G(j)H(j)|由變至0，G(j)H(j)由-180在第II象限內(nèi)變化后再

45、次變?yōu)?180，其對(duì)應(yīng)的奈氏曲線如圖5.4-8（c）所示。由于奈氏曲線左端是封口的，它順時(shí)針包圍了(-1, j0)點(diǎn)兩周（N=2），由奈氏判據(jù)知，當(dāng)T 時(shí)，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法605.4.3 對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)1. 奈氏圖與伯德圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系奈氏圖與伯德圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 （1）在GH平面上, |GK(j)|=1的單位圓，對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)幅頻特性的0分貝線；單位圓外部如(-，-1)區(qū)段，對(duì)應(yīng)L()0dB，單位圓內(nèi)部對(duì)應(yīng)L () 0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過(guò)-180； 特別注意：在L()0dB的范圍內(nèi)，()曲線在-180線上方，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定

46、。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法73（2）求相角裕度和幅值裕度Kg 當(dāng)c 時(shí)， 有L(c)0dB， 即| G(c)|=1。從圖5.5-4可以看出，c 1 且c2 。根據(jù)伯德圖的近似畫法（漸近線），可認(rèn)為：c1 ；c 2 。取漸近模值方程為解之得 又因?yàn)?)位于-180線上方，與-180線無(wú)交點(diǎn)?？衫斫鉃楫?dāng) 時(shí)，()與-180線相交，所以Kg。 可見(jiàn)，此系統(tǒng)不但穩(wěn)定，而且穩(wěn)定裕度足夠大。 1) 10()0(101)01. 0(110)(2222ccccccjG10/crad s6 .78)(180cj2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法745.6 利用開(kāi)環(huán)頻率特性分析系

47、統(tǒng)的性能1三頻段與系統(tǒng)性能的關(guān)系利用開(kāi)環(huán)頻率特性來(lái)分析閉環(huán)控制系統(tǒng)性能時(shí)，通常將開(kāi)環(huán)頻率特性分成低、中、高3個(gè)頻率段，稱為三頻段。典型開(kāi)環(huán)頻率特性的三頻段如圖5.6-1所示。 圖5.6-1 典型開(kāi)環(huán)頻率特性的三頻段2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法75（1） 低頻段系統(tǒng)的型別及開(kāi)環(huán)增益與系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有關(guān)，因此低頻段反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。低頻段對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可近似為其對(duì)數(shù)幅頻特性為由式可知，低頻漸近線（或其延長(zhǎng)線）在=1處，有L(1)=20lgK；數(shù)值上，低頻漸近線（或其延長(zhǎng)線）交于0dB線的頻率和開(kāi)環(huán)增益K的關(guān)系為K=。因此，可以從低頻段的對(duì)數(shù)頻率特性上確定開(kāi)環(huán)增益K 的值，

48、而在討論穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，有穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)Kp、穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv、穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka分別為0 型、型、型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益K，進(jìn)而可求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差( )vKG ss( )20lg20lg20lgvKLKv2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法761) 0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于0型系統(tǒng)Kp=K，Kv、Ka 均為0。0型系統(tǒng)在階躍輸入時(shí)是有差系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為： 式中，A為階躍輸入信號(hào)的幅值。2) 型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于型系統(tǒng)Kv=K，Kp=，Ka =0。型系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)是有差系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為： 式中，A 為斜坡輸入信號(hào)的幅值。11sspAAeKKsspAAeKK2022-2-25第5

49、章 線性系統(tǒng)的頻域分析法773) 型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于型系統(tǒng)Ka=K，Kp=，Kv=。型系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)是有差系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為： ssaAAeKK（2）中頻段 中頻段是指L( ) 在剪切頻率 附近的區(qū)域。而在剪切頻率Wc 處系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率對(duì)系統(tǒng)相角裕度影響最大。因此，中頻段反映了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性。 幅值穿越頻率Wc 反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。在一定條件下， Wc 越大，ts就越小，系統(tǒng)響應(yīng)就越快。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法78(3) 高頻段高頻段是指L( )在中頻段以后的區(qū)段( 10 )。高頻段特性主要由系統(tǒng)中小時(shí)間常數(shù)的環(huán)節(jié)決定的，其轉(zhuǎn)折頻率和

50、幅值穿越頻率 相距較遠(yuǎn)，且分貝值較小，因此對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能影響不大。但在高頻段，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的幅值大小，卻反映了系統(tǒng)對(duì)輸入端高頻干擾的抑制能力，高頻段分貝值越低，系統(tǒng)抗高頻干擾的能力越強(qiáng)。必須指出的是三頻段的劃分界限沒(méi)有嚴(yán)格的規(guī)定，三頻段理論也沒(méi)有給出具體的設(shè)計(jì)指標(biāo)，但是三頻段的概念為直接運(yùn)用開(kāi)環(huán)頻率特性判別、估計(jì)系統(tǒng)的性能和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)指出了原則和方向。cc2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法792 頻域性能指標(biāo)與時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系頻域分析法是通過(guò)系統(tǒng)的頻率特性（開(kāi)環(huán)、閉環(huán)）的一些特征量間接地表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的性能，這些特征量稱為頻域性能指標(biāo)。常用的開(kāi)環(huán)頻域性能指標(biāo)包

51、括：相角裕度、增益裕度Kg、幅值穿越頻率 ；閉環(huán)頻率頻域性能指標(biāo)包括諧振峰值Mr、頻帶寬度BW和諧振頻率 等。頻域性能指標(biāo)沒(méi)有時(shí)域性能指標(biāo)那樣直觀，但對(duì)于二階系統(tǒng)而言，它們與時(shí)域性能指標(biāo)間有著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系；在高階系統(tǒng)中，只要存在一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，則它們也有著近似的對(duì)應(yīng)關(guān)系。cr2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法805.7 利用閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能5.7.1 閉環(huán)頻率特性 對(duì)于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)應(yīng)的閉環(huán)頻率特性為 (5.7-1)5.7. 2 閉環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系1 閉環(huán)頻域指標(biāo)(1) 零頻幅值M0 =0 時(shí)的閉環(huán)幅頻特性值稱為零頻幅值M0，即M0=20

52、lg(j0)，它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。( )( )1( )G ssG s)()()(1)()(jeMjGjGj2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法81(2) 諧振峰值Mr閉環(huán)幅頻特性的最大值和零頻幅值的比值稱為諧振峰值Mr。對(duì)于I 型及以上的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，M0=1，諧振峰值Mr就是幅頻特性的最大值。諧振峰值反映了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。一般而言，Mr值越大，則系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量也越大。通常希望系統(tǒng)的諧振峰值在1.11.4 之間，相當(dāng)于二階系統(tǒng)的 為0.40.7(3) 諧振頻率產(chǎn)生諧振峰值對(duì)應(yīng)的頻率稱為諧振頻率 。它在一定程度上反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的速度， 越大，則動(dòng)態(tài)響應(yīng)越快。 rrr2022

53、-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法8220lg()20lg(0.707( 0)20lg( 0)3jjjjjj0bbbb(4) 截止頻率 閉環(huán)幅頻特性下降到0.707 M0 時(shí)（或零頻幅值以下3dB）所對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止頻率 。當(dāng) 時(shí)，有(5) 頻帶寬度BW頻率范圍 稱為頻帶寬度BW，它反映了系統(tǒng)對(duì)噪聲的濾波特性，同時(shí)也反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。BW越大，響應(yīng)速度越快。反之，BW越小，只有較低頻率的信號(hào)才易通過(guò)，則動(dòng)態(tài)響應(yīng)往往比較緩慢。2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法832 二階系統(tǒng)的閉環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系 二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)與頻域響應(yīng)之間有著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 對(duì)應(yīng)的閉環(huán)頻率特性為 則閉環(huán)幅頻特性為 在諧振頻率 處 產(chǎn)生峰值Mm，用求極值的方法，即令222( )(01)2nnnsss)(222)(2)()(jnnneMjj22222( )()(2)nnnM r( )M( )0dMd(5.7-2)(5.7-3)2022-2-25第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法