三角函數(shù)和平面向量

1、三角函數(shù)和平面向量 三 角 函 數(shù)一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)任意角的三角函數(shù)任意角弧度制三角函數(shù)定義誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)的關(guān)系三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)正弦、余弦、正切的圖像正弦、余弦、正切的性質(zhì)簡(jiǎn)單的三角恒等變換差角余弦公式和差角公式倍角公式解三角形正弦定理余弦定理三角形面積公式向量基本概念向量運(yùn)算加減運(yùn)算數(shù)乘運(yùn)算數(shù)量積向量基本定理坐標(biāo)表示向量應(yīng)用二、高考要求1理解角的有關(guān)概念，并能進(jìn)行弧度與角度的互換。2掌握三角函數(shù)的定義，掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會(huì)用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin(x+)圖象。3掌握兩角和與差的正弦、正弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、正弦、正切公式，并會(huì)用公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)

2、和求值、證明。4掌握正弦、余弦定理，并能應(yīng)用解三角形。5掌握平面向量有關(guān)知識(shí)，如向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積、向量垂直的條件、夾角公式等，會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單問題。?？键c(diǎn)：1三角函數(shù)的定義；2同角三角函數(shù)的基本函數(shù)關(guān)系式；3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；4三角恒等變換；5正弦、余弦定理的應(yīng)用；6解三角形；7平面向量的概念及運(yùn)算；8平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示；9平面向量的數(shù)量積。易考點(diǎn)：1三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；2三角恒等變換；3正弦、余弦定理的應(yīng)用；4解三角形；5平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示；6平面向量的數(shù)量積。必考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角恒等變換，解三角形，平面向量的數(shù)量積。三、熱點(diǎn)分析1

3、三角函數(shù)作為一種重要的基本初等函數(shù)，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)之一。近幾年對(duì)三角函數(shù)的要求基本未作調(diào)整，主要考查三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和角與倍角公式等。高考對(duì)三角函數(shù)與三角恒等變換內(nèi)容的考查，一是設(shè)置一道或兩道客觀題，考查三角函數(shù)求值、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)或三角恒等變換等內(nèi)容；二是設(shè)置一道解答題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的恒等變換或三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，仍是探索拓展、綜合應(yīng)用的熱點(diǎn)考查題型，以三角函數(shù)為載體的立意新穎的應(yīng)用性試題將備受命題者的青睞，一般出現(xiàn)在前兩個(gè)解答題的位置。無論是客觀題還是解答題，從難度來說均屬于中低檔題目，所占分值

4、在20分左右，約占總分值的13.3%。2平面向量是連接代數(shù)與幾何的橋梁，是高考的重要內(nèi)容之一。高考常設(shè)置1個(gè)客觀題或1個(gè)解答題，對(duì)平面向量知識(shí)進(jìn)行全面的考查，其分值約為10分，約占總分的7%。對(duì)平面向量基本概念、平面向量的加減運(yùn)算、平面向量的基本定理的考查仍以客觀題的形式呈現(xiàn)，對(duì)向量平行、向量垂直、數(shù)量積問題應(yīng)多加重視，這在未來高考中仍是命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。近年高考中平面向量與解三角形的試題是難易適中的基礎(chǔ)題或中檔題，一是直接考查向量的概念、性質(zhì)及其幾何意義；二是考查向量、正弦定理與余弦定理在代數(shù)、三角函數(shù)、幾何等問題中的應(yīng)用。四、三角函數(shù)的復(fù)習(xí)建議1要區(qū)別正角、負(fù)角、零角、銳角、鈍角、區(qū)間角、

5、象限角、終邊相同角的概念頭腦中要有一根弦：角的范圍已經(jīng)擴(kuò)展了，系列角如何表示，相關(guān)角如何表示。2在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并對(duì)不同的象限分別求出相應(yīng)的值在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡(jiǎn)、求值時(shí)，應(yīng)注意公式中符號(hào)的選取3單位圓中的三角函數(shù)線，是三角函數(shù)的一種幾何表示，利用三角函數(shù)線進(jìn)行求角和解三角不等式，有時(shí)候會(huì)更簡(jiǎn)單。4要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個(gè)三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)式”，或者換元后成為一個(gè)初等函數(shù)式換元后注意定義域確實(shí)定，進(jìn)而可求得某些復(fù)合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等對(duì)函數(shù)式作恒等變形時(shí)需特別注意保持定義域的不變性5函數(shù)的單調(diào)性是在

6、給定的區(qū)間上考慮的，只有屬于同一單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)值才能由它的單調(diào)性來比較大小，要注意單調(diào)區(qū)間是一個(gè)連續(xù)區(qū)間。6三角函數(shù)很好地表達(dá)了對(duì)稱性和周期性的關(guān)系，要把這種關(guān)系拓展到一般函數(shù)。對(duì)稱性用處：對(duì)稱軸和最值對(duì)應(yīng),對(duì)稱點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)應(yīng).7熟練三角函數(shù)圖象的作圖方法，注意定義域有限制的作圖訓(xùn)練。通過作圖去體驗(yàn)和穩(wěn)固圖象間的變換關(guān)系。8熟悉公式的記憶和運(yùn)用1誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號(hào)看象限；2兩角和差的正弦、余弦、正切公式的正面運(yùn)用和逆用；3倍角公式以及變形，體會(huì)降冪和和差化積的意圖；4合一變形:asinx+bsinx=。但要控制難度，限制在是特殊角的范圍內(nèi)。提醒:一些常見的變形技巧:(1)化切為弦；(

7、2)遇公因式提取公因式;(3)湊角(不要盲目用一些公式展開,關(guān)鍵是看已知角和所求角有沒有特殊關(guān)系。比方相差180度,90度等)9關(guān)注三角函數(shù)在三角形中的應(yīng)用，結(jié)合平面幾何的性質(zhì)尋找邊角關(guān)系，要特別重視正弦定理和余弦定理在解三角形中的計(jì)算，掌握三角形面積公式的多種計(jì)算方法。三角函數(shù)這部分內(nèi)容在高考中的難度要求是不高的，所以在復(fù)習(xí)的時(shí)候要控制難度，但由于公式多，性質(zhì)復(fù)雜，變形有一定的技巧，所以要花較多的時(shí)間加強(qiáng)訓(xùn)練，學(xué)習(xí)時(shí)注意化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想的滲透，注意易錯(cuò)點(diǎn)。五、平面向量的復(fù)習(xí)建議1透徹理解向量的概念。向量概念的兩大要素“方向和長(zhǎng)度”使向量既有“形”又有“數(shù)”的特征，既聯(lián)系幾何又聯(lián)系代數(shù)，

8、是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)，是數(shù)形結(jié)合的重要載體。要抱著這樣的觀點(diǎn)去學(xué)習(xí)向量知識(shí)。2先從向量的幾何特征進(jìn)行學(xué)習(xí)，包括向量相等，向量共線的概念，平面向量的基本定理，以及向量的加減、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積等運(yùn)算的幾何表示，目的是給向量建立一個(gè)系統(tǒng)的幾何體系。3向量的坐標(biāo)運(yùn)算使得幾何問題可以通過代數(shù)運(yùn)算加以解決，在對(duì)向量的幾何特征掌握透徹的前提下，理解記憶相關(guān)公式。如：向量共線、垂直的充要條件，向量的數(shù)量積運(yùn)算，線段定比分點(diǎn)公式、平移公式等。4向量的數(shù)量積運(yùn)算是平面向量的重要內(nèi)容，它與實(shí)數(shù)之間積的運(yùn)算既有區(qū)別又聯(lián)系，要區(qū)分清楚。向量的數(shù)量積運(yùn)算是采取幾何運(yùn)算公式還是坐標(biāo)運(yùn)算公式，要甄別清楚

9、；兩個(gè)公式同時(shí)運(yùn)用，又可構(gòu)造出一個(gè)等式。要會(huì)靈活應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求向量的模和兩點(diǎn)間的距離。5要把平面幾何的性質(zhì)、定理遷移到平面向量來，使得平面向量的幾何推導(dǎo)成為可能，但題目的難度要有所控制。如：在平行四邊形中，假設(shè)，則，即菱形模型。假設(shè)，則，即矩形模型。在中，是的外心；一定過的中點(diǎn)；通過的重心；，是的重心；，是的垂心；通過的內(nèi)心；則是的內(nèi)心；6適當(dāng)訓(xùn)練以平面向量為背景的解析幾何問題。解析幾何題中往往以向量的形式來揭示幾何條件，有的要懂得看出幾何特征，有的是利用坐標(biāo)運(yùn)算直接轉(zhuǎn)化為數(shù)的關(guān)系。在解析幾何中也經(jīng)常利用向量解決有關(guān)角度和垂直，以及點(diǎn)分線段的問題，會(huì)使得問題簡(jiǎn)單化。多訓(xùn)練一些這樣的題目

10、，就不會(huì)感到畏懼了。三角函數(shù)和平面向量做為高中數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要分支，內(nèi)容繁雜，需要用心學(xué)習(xí)，把基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能練扎實(shí)，并且適當(dāng)?shù)靥岣吣芰Γ盐蘸脤W(xué)習(xí)這兩部分內(nèi)容的度。典例分析例11已知 A-1BCD12假設(shè)，則 ABCD32012江蘇文設(shè)為銳角，假設(shè)，則的值為_。42012廣東已知函數(shù)其中的最小正周期為10。求的值；設(shè)，求的值。【經(jīng)驗(yàn)之談】1三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的原則：化為同名同角，常用的技巧有：切割化弦、降冪、異角化同角，高次化低次。2三角函數(shù)恒等變形的基本策略：1常值代換，特別是用“1”的代換，如1=等。2項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：=1+；配湊角：，等。3降次與升次。即倍角公式的變

11、形。4化弦切法，尤其齊次式形如：。5引入輔助角。思考題12012山東假設(shè)，則=( )ABCD22012江西臨川已知是第二象限角，其終邊上一點(diǎn)P()，且，則=( )ABCD32012北京海淀假設(shè)，則=_42012江西文已知，假設(shè)，則 ABCD例212012課標(biāo)全國已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是 ABCD22012河南鄭州設(shè)函數(shù) ，則A的最小正周期為，且在上為增函數(shù)B的最小正周期為，且在上為減函數(shù)C的最小正周期為2，且在上為增函數(shù)D的最小正周期為2，且在上為減函數(shù)32012山東已知向量，函數(shù)的最大值為6。求A；將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，

12、得到函數(shù)的圖像。求在上的值域。42012北京文已知函數(shù)。求的定義域及最小正周期；求的單調(diào)遞減區(qū)間。【經(jīng)驗(yàn)之談】1已知函數(shù)圖像求函數(shù)的解析式時(shí)，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由圖中的最大值或最小值確定A，再由周期確定，由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來確定，但由圖像求得的 的解析式一般不唯一，只有限定的取值范圍，才能得出唯一解，否則的值不確定，解析式也就不唯一。2研究函數(shù)的性質(zhì)關(guān)鍵把作為一個(gè)整體，求單調(diào)性時(shí)，注意的正負(fù)。求三角函數(shù)的周期，通常應(yīng)將函數(shù)式化為“三個(gè)一”的形式，即只有一個(gè)函數(shù)名，角度唯一，次數(shù)為一次，然后借助于常見函數(shù)的周期來求解。思考題12012浙江把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍

13、縱坐標(biāo)不變，然后向左平衡1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像是 22012陜西函數(shù)的最大值為3，其圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為。求函數(shù)的解析式；設(shè)，求的值。32012山東文函數(shù)的最大值與最小值之和為A2B0C D42012重慶設(shè)，其中求函數(shù)的值域；假設(shè)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的最大值。例312012上海在中，假設(shè)，則的形狀是 A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定22012湖北文設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，假設(shè)三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且，則為 A4：3：2B5：6：7C5：4：3D6：5：432012江西在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，已知，求證：；假設(shè)，求的面積。

14、42012江蘇在中，已知求證：；假設(shè)，求A的值?！窘?jīng)驗(yàn)之談】本考點(diǎn)知識(shí)是高考必考內(nèi)容，重點(diǎn)考查正弦、余弦定理、面積公式，主要是“知三求三”問題，關(guān)鍵是邊角互化，化為同一種形式。思考題12012天津在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是，已知，則= ABCD22012重慶設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且，則=_32012課標(biāo)全國已知分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，求A；假設(shè)=2，的面積為，求42012浙江文在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且求角B的大??；假設(shè)=3，求的值。例4 2012福建廈門如圖6-1，從山腳下P處經(jīng)過山腰N到山頂M拉一條電纜，其中PN的長(zhǎng)為米，NM的長(zhǎng)為2米，在P處測(cè)得M，N

15、的仰角分別為45，30，在N處測(cè)得M的仰角為30。求此山的高度；試求平面PMN與水平面所成角的余弦值?！窘?jīng)驗(yàn)之談】求解該類問題時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：1熟悉方位角、方向角等基本概念，熟悉“上北下南，左西右東”等基本的作圖常識(shí)；2篩選有用信息，作出示意圖或已知示意圖，結(jié)合圖理解題意，將題目轉(zhuǎn)化為成解三角形問題。思考題1某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，假設(shè)沿途測(cè)得塔頂?shù)淖钤谘鼋菫?0，求塔高。22012年8月20日，漁政船甲、乙同時(shí)收到我國南海黃巖島上一艘漁船丙的求救信號(hào)，此時(shí)漁船丙在漁政船甲的南偏東40方向距漁政船甲70km的C處，漁政船乙在漁政船甲的南偏西20方向的

16、B處，兩艘漁政船協(xié)調(diào)后立即讓漁政船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線AC航行前去救援，漁政船乙仍留在B處執(zhí)行任務(wù)，漁政船甲航行30km到達(dá)D處，收到新的指令另有重要任務(wù)必須執(zhí)行，于是立即通知在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙前去救援漁船丙漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙，此時(shí)B、D兩處相距42km，問漁政船乙要航行多少千米才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營救？例52012浙江設(shè)是兩個(gè)非零向量 A假設(shè)B假設(shè)C假設(shè)，則存在實(shí)數(shù)，使得D假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則22012大綱全國中，AB邊的高為CD，假設(shè),，則= ABCD32012廣東假設(shè)向量，則= A(-2,-4)B(2,4)C(6,10)D(-6,-10)【

17、經(jīng)驗(yàn)之談】靈活運(yùn)用向量的幾何意義及基本定理是向量的基本功、其常見的技巧有：靈活選取有公共點(diǎn)的兩個(gè)不共線向量為基底；注意共線向量定理的應(yīng)用；充分利用首尾相連的向量表示等量關(guān)系；善于把一個(gè)向量通過拆、湊、加、減表示多種形式。思考題12012安徽在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 A()B()C()D()22012山東濟(jì)南一模已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足=，則點(diǎn)P一定為三角形ABC的 AAB邊中線的中點(diǎn)BAB邊中線的三等分點(diǎn)非重心C重點(diǎn)DAB邊的中點(diǎn)例61已知M點(diǎn)和，滿足，則動(dòng)點(diǎn)M一定過的 A內(nèi)心B垂心C

18、重心D中心2已知O是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)A、B、C所對(duì)的邊分別為，假設(shè)，則O是的 A重心B垂心C外心D內(nèi)心【經(jīng)驗(yàn)之談】向量的幾何表示是高考的熱點(diǎn)問題，特別是三角形的各種心的向量表示經(jīng)常是命題的素材，常見的規(guī)律如下：1為的重心，為的重心；是BC邊上的中線AD上的任意向量，過重心；，即已知AD是中BC邊的中線。2為的垂心。3為的內(nèi)心。向量所在直線過的內(nèi)心是的角平分線所在直線。40為的外心。思考題1已知點(diǎn)O、N、P在所在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)O、N、P依次是的 A重心、外心、垂心B重心、外心、內(nèi)心C外心、重心、垂心D外心、重心、內(nèi)心22012山東煙臺(tái)二模已知非零向量和滿足()=0，且，則為 A等邊三角形B等腰

19、非直角三角形C非等腰三角形D等腰直角三角形例712012北京已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_；的最大值為_。22012上海在平行四邊形ABCD中，邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1，假設(shè)M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是_。32012安徽假設(shè)平面向量滿足，則的最小值是_?！窘?jīng)驗(yàn)之談】1數(shù)量積的定義是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，其運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量，要把握這類問題，首先要理解向量數(shù)量積的定義，掌握數(shù)量積的計(jì)算公式和數(shù)量積的坐標(biāo)公式；掌握數(shù)量積的幾何意義及其應(yīng)用；另外，應(yīng)熟練掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律。2求向量的模是高考的重點(diǎn)，求向量的模通常轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積，也就是

20、用已知向量的數(shù)量積把所求向量的模表示出來，這是高考經(jīng)常出現(xiàn)的題型。3求向量的夾角是高考的一個(gè)難點(diǎn)，要熟練掌握求兩個(gè)向量夾角的基本公式。思考題12012重慶設(shè)，向量，且，則= ABC2D1022012北京東城假設(shè)向量滿足，且，則與的夾角為 ABCD32012江蘇文如圖7-1，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，假設(shè)，則的值是_.例82012遼寧錦州向量，向量與向量的夾角為，且=-21求向量；2假設(shè)，且，其中A、B、C是的內(nèi)角，假設(shè)的內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，試求的取值范圍?！窘?jīng)驗(yàn)之談】向量平行和垂直的命題方向有兩個(gè)：一是利用已知條件去判斷向量平行或垂直；二是利用向量平等或垂直的條件去確定參數(shù)的值。常用結(jié)論有：1向量平行共線的充要條件：假設(shè)，；2向量垂直的充要條件：假設(shè)，思考題設(shè)是銳角三角形，分別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)，向量，且向量共線。1求角B的大??；2假設(shè)=12，求(其)答 案三角函數(shù)例11A2D34【解析】由已知得，又又思考題1D2B34C例21A2B3【解析】因?yàn)橛傻脤⒑瘮?shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的圖像；再將得到圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖像.因此因?yàn)楣噬系闹涤驗(yàn)?【解析】由故因?yàn)樗缘淖钚≌芷诤瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，得所以的單調(diào)遞減區(qū)間為思考題1A2【解析】即函數(shù)圖像的相鄰兩條