02.立體幾何之內(nèi)切球與外接球習(xí)題講義教師版

1、立體幾何外接球內(nèi)切球破解策略一.方法綜述如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點.考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住 外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用。當(dāng)三棱錐有三條棱垂直或棱長相等時，可構(gòu)造長方體或正方體。與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋

2、轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.當(dāng)球與多面體的各個面相切時，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積來求球 的半徑。二.解題策略類型一構(gòu)造法（補形法）例I、若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,且側(cè)棱長均為力.財苴外接球的表面枳足.1答案】9開一« 據(jù)期意可知，讀三校情的三條惻枝兩網(wǎng)吏直.二把這個三檢話可以補 或一個校長為的正方體.于是正方體的外接琢就圮二犢ft的外接厚.設(shè)具外接球的半徑內(nèi)衣.則布（M）1 =（0丫+（6 + （）* = 9,二

3、氏* = : 故其外接球的表面枳S = 4E?* =【指點迷津】當(dāng)一三棱錐的三側(cè)棱兩兩垂直時，可將三棱錐補成一個長方體，將問題轉(zhuǎn)化為長方體（正方體） 來解。長方體的外接球即為該三棱錐的外接球?！纠?】一個四面部的所在柏疝都為1至.四個弧苴在網(wǎng) 理由上 則此球的表面枳為C ）.A. 3翼B. 4開 C. 得 D 一 6笈I髀窠】A. 解析】* 解析土 til子所而核區(qū)都相等.所以構(gòu)皓一個正方體，再尋找 校長相等的四面體,如圖Z四面體川-6刃搠足條件，即 AB=AD=AE=BD=DE = =人 由此可求得正方體的技長為I.體對 用線為從而外核球的直徑也為右.所以此球的衣面積便可 求得.故逸A.【指

4、點迷津】當(dāng)一四面體或三棱錐的棱長相等時，可以構(gòu)造正方體，在正方體中構(gòu)造三棱錐或四面體，利用三棱錐或四面體與正方體的外接球相同來解即可。類型二 正棱錐與球的外接【例3】正四棱選的頂點都在同一理面上.若談橫推的高為4r底面邊氏為2.則該球的表面枳為(【答案】A. “【指點迷津】求正棱錐外接球的表面積或體積，應(yīng)先求其半徑，在棱錐的高上取一點作為外接球的球心，構(gòu)造 直角三角形，利用勾股定理求半徑。類型三 直棱柱的外接球P【例4】直三根柱dHC 4鳥。的各頂點都在同一球面上.AB = AC = 4J1 = 2t Z&4C = 120° t叱 則此球的表面枳等于-【若襄】20開*LF析】

5、ZXIRC "TB = AC = 2 . ZBAC =12 . 8(7.小工芷N星，可：hiBF學(xué)戈國號徑廠工設(shè)此圈IB心丸珠心為O,荏RTAOBO'中,身律球半徑& =我比球的表面職為4常* =20.【指點迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圓的圓心的連線上，確定球心，用球心、一底面的外 接圓的圓心，一頂點構(gòu)成一個直角三角形，用勾股定理得關(guān)于外接球半徑的關(guān)系式，可球的半徑。練習(xí)：1，口到U ：博球48cM閏口的KW!或都曲同一球面上,著.權(quán)笥】. 工答案】45“， 工睥明】耳漆球的城心，；.ABC tlf在陶闿的冏心為O.Aj AH HC=Z- SAC W

6、-所/jIBC 外接 01 的牛於:，。1。一"：門卜 門” 所以看壞!工足廠.t4-m2s已知 J HI ASCA S C 6個墳點料也年口的球面 I- V -則理。的平悻內(nèi)/7T13風(fēng)B. 2vioC.jj-rirI答案】J解析】由球心作面幽:的垂線，則嵌足叼鼠學(xué)一門=計算ft"二爾沃C,.IB- JC-2+ ZC = 90 .則誣埋的體剃 BQ 1 產(chǎn)前.琬ILOOj=lVt ZV1JC41.則以該球的整役，:用n 4 -73N.'AB = 3* /C = 4.4卷 J_?=12 .C ).D, MS .Af=-,用喉桎定理.CM.隨以華性 丁二力千斤，r三n

7、 =" *一二;2立體幾何中的“內(nèi)切”與“外接”問題的探究1球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾彳S體的體積或者表面積等相關(guān)問題1.1 球與正方體如圖1所示，正方體 ABCD A1B1clD1,設(shè)正方體的棱長為 a, E, F,H ,G為棱的中點， O為球的球心。常見組合方式有三類：一是球為正方體的內(nèi)切球，截面圖為正方形EFHG和其內(nèi)切圓，則OJar 2；15二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形EFHG和其外接圓，則 OG三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形ACC1Al和其

8、外接圓，則 A1O通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關(guān)系， 確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題圖1例1棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1的8個頂點都在球。的表面上，E, F分別是棱AA1, DD1的中點,則直線EF被球O截得的線段長為（）2A.2/-.2-B . 1 C . 1D, J2解：E甄急可知.球為正方體的外接金，二祀總兩衽面所冷圓瓦33半徑=煤=* 郎U面叫。& -懿即被載的繞段為球的截訝圄的直法”=應(yīng).1.2 球與長方體長方體各頂點可在一個球面上

9、，故長方體存在外接球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長方體的棱長為 a, b, c其體對角線為l .當(dāng)球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，l . a2 b2 c2 故球的半徑R -a一b例2在長、寬、高分別為 2, 2, 4的長方體內(nèi)有一個半徑為 1的球，任意擺動此長方體，則球經(jīng)過的空間部分的體積為（）A.H B.4 兀 3c.83D.73采用正動目視點分析在二'球桶中的口拜之，正過都會用匚何泳.因鈣為1的小瓏片好為并長為2的正 為佑的碰球,總喊經(jīng)過空間由，往下看為：半個小城、高為2的自在M半個小球，三部分的庫初為工1.3 球與正棱柱 球與

10、一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多。下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法一一構(gòu)造直角三角形 法。設(shè)正三棱柱 ABC A1B1C1的高為h ,底面邊長為a,如圖2所示，D和D1分別為上下底面的中心。根據(jù)幾h. 3何體的特點，球心必洛在圖 DD1的中點O, OD -, AO R,AD 二a,借助直角三角形 AOD的勾股定理,23例3正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各頂點都在半徑為 R的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值.為 .解:如圖由 靚面圖為長方形和其外接圖.球心為期的卬點則衣=。力 設(shè)正四特在陰惻橋長為方，底面苴長河則北=昌/匠=46 = ”當(dāng)小尸十（»2 2224汽3

11、二 21十".岸F匹樽柱的側(cè)向叔：= Vs 加+ 2七3）= 46與*故刪面積有巨大值h 為4血氏，當(dāng)且1又當(dāng)日 = J小 時等導(dǎo)成立.2球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題2.1 球與正四面體正四面體作為一個規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這點可順利解決球的半徑與正四面體的棱長關(guān)系。如圖4,設(shè)正四面體S ABC的棱長為a,內(nèi)切球半徑為r ,外接球的半徑為 R,取AB的中點為D, E為S在SDC,作一個與邊

12、SD和DC相切，圓心在高SE上底面的射影，連接CD, SD, SE為正四面體的高。在截面三角形的圓，即為內(nèi)切球的截面。因為正四面體本身的對稱性可知,外接球和內(nèi)切球的球心同為O。此時,CO OSR,OE r,SE-a,CE但a,則有R 332a, R2 r2 |CE2，解得:a.這個解法是通過利用兩心合一的思路, 12建立含有兩個球的半徑的等量關(guān)系進行求解.同時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心 O為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大的方便圖4例4將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（）6 2 而 B 2+ R6 C 4+ 遙 D 42

13、而3 333耀t 口琴券四面伸中的逮四小小球，以四個小磋為碰心為頂點構(gòu)成汀一-h蛙長士 2的也碰心正四面體歸這十四面體的得是心單位正四面體.高（嘩的2倍即涉2普.“球心正E3面體w的底面剎“春野正四面體制的岫面為小裝半杼1.而a球心心四面體則頂點到衣容骷正四面體"的頂息的距離為（小建半鐘的w ,喑干是“百部正四面建"用有國蘭區(qū) 十三十1*選擇ISZT "打湃半逕的假”是這悻茗1質(zhì)工 眼一個小球的外切正四面體， 這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組

14、合問題，主要是體現(xiàn)在球為三棱錐的外接球.解決的基本方法是補形法，即把三棱柱補形成正方體或者長方體。常見兩種形式：一是三棱錐的三條棱互相垂直且相等，則可以補形為一個正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心。如圖5,三棱錐 A1 AB1D1的外接球的球心和正方體 ABCD A1B1c1D1的外接球的球心重合，設(shè) AA1 a,_3aa o2二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且不相等，則可以補形為一個長方體，它的2222外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心，R2 ab_ 一（l為長方體的體44對角線長）。例5在正三棱錐S ABC中，M、N分別是棱SG BC的中點，且 AM MN,若側(cè)棱SA 2J

15、3 ,則正三棱錐S ABC外接球的表面積是=虢偉占- /5EU針培頊用表面積是KT 如圖e-正三場鍵對嫌相互垂五,即T白_1_的，又fl Af?Z. MAT _L又上fM _L 此, S/_L 率 團事于呆 生一平面品！。 師-L Wd.函 J-際.，人而 區(qū)4 J_總=史刈.- 3. 5=- 36jt2此M止三技箱 百一/的三索惻修互切垂百升且歸零協(xié)將 正一情錯補用為正石體.球的半徑2.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構(gòu)造直角三角形進行 求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四

16、個面相切，球心到四個面的距離相等， 都為球半徑R .這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的 體積和為正三錐的體積.例6在三麴t P ABC ,PA= PB=PC=/3，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60° ,則該三棱錐外接球的體積為 ()八4A . B. C. 4 D. 一解.如國T所示.討產(chǎn)點卡良面盤。的垂線，垂足為。，設(shè)再為外持球的球心，連接月丹那。，因故 息2二立 ,POnW,又 A AHO 為 直角三 角中，22ffl7AH7 = A&上-()1 產(chǎn)- L二 V - JTxlJ2.4球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱錐進行組合

17、，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補形法、等進行求解。例如，四面體都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置。如圖8,三棱錐S ABC ,滿足SA 面ABC , AB BC ,取SC的中點為O ,由直角三角形的性質(zhì)可得:SCOA OS OB OC ,所以。點為三棱錐S ABC的外接球的球心，則R 2例7矩形ABCD中，AB4, BC 3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角 B AC D ,則四面體ABCD的外接球的體積是（）a.12512125B. 9P 125C. 6D.125解：由噩怠分析可四面體痂C0的外攙球的球心塔在的申點，此時黃足二00二。E

18、二。3 球與球?qū)€多個小球結(jié)合在一起， 組合成復(fù)雜的幾何體問題， 要求有豐富的空間想象能力， 解決本類問題需掌握恰當(dāng) 的處理手段，如準確確定各個小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解 . 例8在半徑為的球內(nèi)放入大小相等的 4個小球，則小球的半徑的最大值為（）例7在半徑為工的球內(nèi)放入大44目等的4專，貝巴途求半徑r的最大值為（圖9A. t年 L 忒0 . -yR解；要使得小球的節(jié)位最大，需使得4個小球的球心為一個正四面體的四個頂點，如圖9所示，此時正四面體A- BCD的外接球的球心為。、4為烏二（A-尸）二，在金人如烏中即為半徑為R的球的球心，則出？ = ;?-幾

19、又因為工2的四分點，故4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達到明確球心的位置為目的， 然后通過構(gòu)造直角三角形進行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半:.2r - a48根鐵絲例8把一個皮球放入如圖 10所示白由8根長土勻為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與 都有接觸點，則皮球的半徑為（）A. 103cm B. 10cm C. 10 2cm D. 30cm1.（陜西理）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1該正三棱錐的體積是（）A 33b .直 C .里434答案 B的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上

20、，則2.直三棱柱ABC A B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB AC AA 2 , BAC 120，則此球的表面積t/r.如圖1i所示，由穎意珠心在 卻上，球心為 過。作ep的 垂域QN垂足為跖QN-R，QM-%因為各個枝邰為初，所以 出1。* Br-20,AB-1?；?談 BPA -曰,在 aA HPM 中，自中=El" +FA/：,所以 = 10/5 .在A PAM 中,戶21 = AMA +AF1 ,所以 國片 1力 萬'巧"圖電八可_106，在火紹MJP中. Sina二_軍*在出生0KT中，Sina，所以BF 202。產(chǎn) QF& =吏，所以= 在

21、eauaji中,a/）=水A+/齷。所以，尿= （10渥上段）+1C0,OP 2部野，氏二10或30老f）.所以，氏=1峰日故選M綜合上面的四種類型， 解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點， 通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內(nèi)接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進行轉(zhuǎn)化，問題即可得解.如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可 以借助結(jié)論直接求解，此時結(jié)論的記憶必須準確.外接球內(nèi)切球問題2J3,由正弦定理，可得 ABC外接圓半徑r=2,設(shè)此等于。解：在 ABC 中 AB AC 2, BAC 120，可得 BC圓圓心為O ,球心為。，在RT OBO中，易得球半徑 R J5,故此球的表面積為 4 R2 20 .3 .正三棱柱 ABC AB1C1內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為 答案84 .表面積為2邪 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為A.-232.2答案 A3a2,一【解析】此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以由8 - 2J3知，a 1 ,則此球的直徑為 迎,4故選Ao5 .已知正方體外接球的體積