數(shù)學(xué)建模獵狗追兔子問題

1、數(shù)學(xué)建模(2014春)課程期末論文題 目獵狗追兔子問題題 號(hào)A 成 員姓 名學(xué) 號(hào)班 級(jí)學(xué) 院聯(lián)系電話學(xué)生1學(xué)生2摘要 （一） 對(duì)于問題一：自然科學(xué)中存在許多變量，也有許多常量，而我們要善于通過建立合適的模型找到這些變量之中的不變量。獵狗追趕兔子的問題是我們?cè)谏钪谐Ｒ姷膶?shí)例，而題目把我們生活中的普通的例子抽象成為高等數(shù)學(xué)中微分方程的例子，通過對(duì)高階微分方程的分析，建立微分方程模型，并用數(shù)學(xué)軟件編寫程序求解，得出結(jié)論，解決生活中常見的實(shí)際問題。（2） 對(duì)于問題二：學(xué)習(xí)使用matlab進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的求解，掌握常用計(jì)算機(jī)軟件的使用方法。關(guān)鍵詞微分方程 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 獵狗追兔子 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)軟件

2、 一、問題重述BANOWSE如圖1所示，有一只獵狗在B點(diǎn)位置，發(fā)現(xiàn)了一只兔子在正東北方距離它250m的地方O處，此時(shí)兔子開始以8m/s的速度正向正西北方向，距離為150m的洞口A全速跑去. 假設(shè)獵狗在追趕兔子的時(shí)候，始終朝著兔子的方向全速奔跑。請(qǐng)回答下面的問題： 獵狗能追上兔子的最小速度是多少？ 在獵狗能追上兔子的情況下，獵狗跑過的路程是少？ 假設(shè)獵狗在追趕過程中，當(dāng)獵狗與兔子之間的 距離為30m時(shí)，兔子由于害怕導(dǎo)致奔跑速度每秒減半，而狗卻由于興奮奔跑速度每秒增加0.1倍，在這種情況下回答前面兩個(gè)問題。二、問題分析與假設(shè)在獵狗追趕兔子的時(shí)候獵狗一直朝著兔子的方向追趕，所以可以建立平面直角坐標(biāo)系

3、，通過導(dǎo)數(shù)聯(lián)立起獵狗運(yùn)動(dòng)位移，速度和兔子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。1. 假設(shè)兔子的運(yùn)動(dòng)是勻速的。2. 假設(shè)獵狗的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條光滑并且一階導(dǎo)數(shù)存在的曲線。3. 獵狗的運(yùn)動(dòng)時(shí)勻速或者勻變速的。4. 獵狗運(yùn)動(dòng)時(shí)總是朝向兔子。三、模型的建立及求解3.1 符號(hào)規(guī)定1. （x，y）：獵狗或者兔子所在位置的坐標(biāo)。2. t：從開始到問題結(jié)束經(jīng)過的時(shí)間。3. a:獵狗奔跑的路程。BANOWSE4. v:獵狗的奔跑速度。3.2 模型一的建立與求解 獵狗能夠抓到兔子的必要條件：獵狗的運(yùn)動(dòng)軌跡在OA要有交點(diǎn) 以O(shè)A為y軸，以O(shè)B為x軸建立坐標(biāo)系，則由圖有O(0，0)，A(0,150),B(250，0)，兔子的初始位置0點(diǎn),而獵狗

4、初始位置是B點(diǎn)，t（s）后獵狗到達(dá)了C（x，y），而兔子到達(dá)了D（0，8t），則有CD的連線是獵狗運(yùn)動(dòng)軌跡的一條切線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有：三式聯(lián)立消去t，得到; 設(shè)： 若獵狗可以追上兔子則有當(dāng)兔子在OA,獵狗在OB之間運(yùn)動(dòng)時(shí)此方程有解，設(shè)： 得到： 得到： 兩式聯(lián)立相加得到： 1.如果q=1即v=8 m/s 得到 所以此情況無交點(diǎn)，所以v=8m/s獵狗無法追上兔子； 2.如果q<1即v>8m/s 得到 此情況有交點(diǎn)，所以有可能能夠追上兔子，如果要追上兔子需要y<=150;解得到： 即 所以這種情況下能夠追上的最小速度是 . 3.如果q>1 利用上式得到，所以這種情況不能

5、追上兔子。綜上討論，獵狗可以追上兔子的最小速度為。3.3 模型二的建立與求解如果獵狗可以追上兔子那么獵狗的軌跡和兔子的軌跡必相交與一點(diǎn)，此時(shí)兔子的路程，所用放的時(shí)間，那么獵狗的的路程a=tv;帶入數(shù)值解得a=。3.4 模型三的建立與求解模型三利用matlab試驗(yàn)，得到代碼如下：a=8;dogxa=;dogya=;rabbitxa=;rabbitya=;d=1;dogx=250;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0;t=0;dt=0.001;for b=0:100 dogx=250; dogy=0; rabbitx=0; rabbity=0; t=0; c=b; a=8; whi

6、le(sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2)>d&rabbity<150) if(sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2)<=30) b=b*1.1dt; a=a*0.5dt; end t=t+dt; dogx=dogx+b*dt*(rabbitx-dogx)/sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2); dogy=dogy+b*dt*(rabbity-dogy)/sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2); rabbitx=rabbitx+0

7、; rabbity=rabbity+a*dt; end if(rabbity<=150) b=c; break; endendfprintf('獵狗的最小速度是：:%2f',b);a=8;b=16;d=1;dogxb=;dogyb=;rabbitxb=;rabbityb=;dogx=250;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0;t=0;dt=0.001;s=0;while(sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2)>d) t=t+dt; if(sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2)<

8、;=30) b=b*1.1dt; a=a*0.5dt; end dogx0=dogx; dogy0=dogy; dogx=dogx+b*dt*(rabbitx-dogx)/sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2) dogy=dogy+b*dt*(rabbity-dogy)/sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2) dogxb=dogxb,dogx; dogyb=dogyb,dogy; rabbitx=rabbitx+0; rabbity=rabbity+a*dt; rabbitxb=rabbitxb,rabbitx; rabbit

9、yb=rabbityb,rabbity; s=s+sqrt(dogx0-dogx)2+(dogy0-dogy)2);endfprintf('最短路程是：%1f',s);得到獵狗的最小速度是：16m/s獵狗此時(shí)的路程是：312.5m四、模型的檢驗(yàn) 使用matlab進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目尚行裕?問題一的檢驗(yàn)：h=250;a=8;v=16;dogxb=;dogyb=;rabbitxb=;rabbityb=;d=0.01;dt=0.1;t=0;dogx=h;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0;while(sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-ra

10、bbity)2)>d&&t<=19.3) t=dt+t; dogx=dogx-v*dt*dogx/sqrt(dogx2+(a*t-dogy)2); dogy=dogy+v*dt*(a*t-dogy)/sqrt(dogx2+(a*t-dogy)2); dogxb=dogxb,dogx; dogyb=dogyb,dogy; rabbity=a*t; rabbityb=rabbityb,rabbity;endrabbitxb=zeros(length(rabbityb);plot(dogxb,dogyb,rabbitxb,rabbityb,'*') 問題二

11、的模擬：n=250;a=8;v=16;d=0.1;dt=0.1;t=0;dx=n;dy=0;rx=0;ry=0;while(sqrt(dx-rx)2+(dy-ry)2)>d&&t<19.3)plot(dx,dy,rx,ry,'y*')pause(0.00001)hold ont=dt+t; dx=dx-v*dt*dx/sqrt(dx2+(a*t-dy)2); dy=dy+v*dt*(a*t-dy)/sqrt(dx2+(a*t-dy)2); ry=a*t; plot(dx,dy,rx,ry,'y*')end五、模型的評(píng)價(jià)5.1模型的優(yōu)缺點(diǎn)模型的優(yōu)點(diǎn)。（1)模型的使用范圍比較廣泛，可以類推到其他許多模型中。（2）模型具有很高的使用價(jià)值。（3）模型對(duì)題目中的問題解決合適，模型使用得當(dāng)。這里寫模型的缺點(diǎn)。（4）題目中增加了一些理想化的假設(shè)，致使模型的波動(dòng)比較大。（5）不同兔子和獵狗的情