浙江省湖州市2018-2019學年高一下學期期末考試數學試題Word版含解析

1、湖州市2018-2019學年第二學期期末調研測試卷數學注意事項:1.本科目考試分試題卷和答題卷，考生須在答題紙上作答.2.本試卷分為第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共4頁，全卷滿分150 分,考試時間120分鐘.第I卷（選擇題，共 40分）、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.在直角坐標系中，直線x J3y 0的傾斜角是A. 30B. 45C. 60D.90先根據直線的方程，求出它的斜率，可得它的傾斜角.【詳解】在直角坐標系中，直線x J3y 0的斜率為1=,等于傾斜角的正切值,33故直線x 島 0的傾斜角是30

2、,故選A.I2.向量a 2,x若a/b,則實數2x的值為A. 328C. 3D. 3【答案】C即 2 8 6x 0【詳解】q 向量 aHiH）iiiH6j8）, a / a,解得x 8 .故選C .3【點睛】本題主要考查向量平行的坐標表示。3.圓心為1, 1且過原點的圓的一般方程是A. x2y2 2x 2y1 0B. x2y22x 2y 1022C. xy 2x 2y0D. xy2x 2y 0【答案】D【解析】【分析】 根據題意，求出圓的半徑，即可得圓的標準方程，變形可得其一般方程?！驹斀狻扛鶕}意，要求圓的圓心為 (1,1),且過原點，且其半徑r J12 ( 1)2 J2，則其標準方程為(x

3、 1)2 (y 1)2 2,變形可得其一般方程是 x2 y2 2x 2y 0, 故選D .【點睛】本題主要考查圓的方程求法，以及標準方程化成一般方程。5, b 7, c4.在 ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知aA. 90B. 120C. 135D. 150【解析】【分析】1由已知二邊，利用余弦7E理可得cosB 2 ,結合b c, B為銳角，可得B ,利用三角形內角和定理即可求A C的值.【詳解】在 ABC中，Qa 5, b 7, c 8,222一- 一由余弦定理可得:c acb2564491cos B 一2ac 2 5 82Qb c,故B為銳角，可得B 60 ,A C

4、18060120，故選 B .【點睛】本題主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形內角和定理的應用。5 .若直線x 1 m y 2 0和直線mx 2y 4 0平行，則m的值為一一 ._2A. 1B. -2C. 1 或-2D.3【答案】A【解析】試題分析：由兩直線平行可知滿足1 2mlm m 11 4 2m考點：兩直線平行的判定0的解集為26 .已知函數f x ax bx c,若關于x的不等式f xA. f 4 f 0 f 1C. f 0 f 1 f 4B. f 1f0f4D.f 1f4f0由題意可得a 0 ,且1, 3為方程ax2bx c 0的兩根，運用韋達定理可得關系，可得f(x)的解析式，計

5、算f(0),f (1), f (4),比較可得所求大小關系.【詳解】關于x的不等式f (x) 0的解集為(1,3),可得a 0,且1, 3為方程ax2 bx c 0的兩根,可得1 3b / c c r一,1 3 ,即 b 2a , c 3a , aa2f (x) ax 2ax 3a, a 0,可得 f(0) 3a, f (1)4a, f (4)5a,可得 f (4) f (0) f (1),故選 B .【點睛】本題主要考查二次函數的圖象和性質、函數與方程的思想，以及韋達定理的運用。7 .已知an是公差d不為零的等差數列，其前 n項和為Sn,若a3,a4, a8成等比數列，則A. a1d0,dS

6、40B.a1d0, dS40C.aid0,dS40D.ad0, dS40【答案】B【解析】、.5,一等差數列門兒 , %，口4，.成等比數列，,（01 +鋁），+2Hx0：十7力）0，i =,352.S* = 2g= 2（巧 巧 + 孑d） =. 口0 =cO ,=,故選j33B.考點：1.等差數列的通項公式及其前股項和；2.等比數列的概念8.已知向量a , b的夾角為60 ,且ar2, br a1 - 2與r b r a貝dirb的夾角等于A. 150B.90C. 60D. 30r r根據條件即可求出abr r r 9_. .一 . r1,a4,b1 ,從而可求出a1rr l r r 1rr

7、 3-r1rra bV3 , （a b）?；-a b） 一，然后可設a b與一a b的夾角為 ，從而可求出222ab21cos 2 ,根據向量夾角的范圍即可求出夾角.r r0ro【詳解】ab 1, a2 4,b2 1；abr b2(arc 1 r rb)?(2a b)1 r2-a 21 r a$ 2b2r - 1 rb與2arb的夾角為，則cos(a1 r b)?(2arb) 1又0蒯 180【點睛】本題主要考查向量數量積的定義運用,角。9.已知數列an滿足a11anan 1數列a2n是遞減數列，又&A. 5050B.1 r r b -a b向量的模的求法,以及利用數量積求向量夾2),且數列a

8、2n 1是遞增數列,a2 ,則 a1005050C. 4950D. 4950根據已知條件可以推出， 當n為奇數時,an0,當n為偶數時，an0 ,因止匕an an 1去絕對值可以得到，an an 1 ( 1)n2n ,利用累加法繼而算出結果.a2a14,a23,又a1a2 ，a23.Q數列 a 2n1為遞增數列，數列a2n為遞減數列,當n為奇數時，an 0,當n為偶數時，ann 12 a1) aian an 1( 1) n .a10o (a10o a99) (a99 a98) (a98 a97)2222222.1009998979695 L 21222222_22(10099 ) (9897)

9、 (9695 )L (21 )(10099 98 979632 1)100 1一 , 1005050 .故選 A.2【點睛】本題主要考查了通過遞推式求數列的通項公式，數列單調性的應用，以及并項求和 法的應用。ax 4x 8恒成立，則實數 a的取值范圍是42110.設a R ,若不等式x xA. 2,12B. 2,10C. 4,4D. 4,12, 一 i 212由題息可得 x | xx8(4 a)x恒成立，討論x 0, x 0,運用基本不等式，可得最值，進而得到所求范圍.2 12 1-x x ax4x 8恒成立, x xrr ,2121，八、即為x - x 8(4 a) x恒成立, x x8的最

10、小值, x，,一11當 x 0 時，可得 4 a, x-2x 2x x2x - 2,2x 8 8,xx當且僅當x2取得最小值8,即有4 a, 8,則a4；,1 ,18 ,一一當x 0時，可得4 ax = x 一的最大值， x x x事 1 I18匚 888由 x =x =-JS2x -22x 8,xxx x y x當且僅當x 2取得最大值 8,即有4 a8,則a, 12,綜上可得 4蒯a 12 .故選D .【點睛】本題主要考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和分類討論思想，以及基本不等式的應用，意在考查學生的轉化思想、分類討論思想和運算能力。第n卷（非選擇題部分，共110分）注意事項：

11、用鋼筆或簽字筆將試題卷中的題目做在答題紙上，做在試題卷上無效.二、填空題（本大題共 7小題，多空題每題 6分，單空題每題 4分，共36分.）11.已知點 A(0,1) , B(3,2),向量uurACuuu(4, 3),則向量ABuuur,向重BC【答案】(1).(3,1)(2).(7,4);由點 A(0,1), B(3,2),uuur 向量AC(4,3）,先求出點C坐標為（4, 2）,由此利用平面向量坐標運算法則能求出向量uuu山出目-一AB和向里BC -【詳解】Q點A（0,1）,uuurB(3,2)，向量 AC ( 4, 3)點C坐標為（4, 2）,uuruur向量AB (3,1),向量B

12、C(7, 4) .【點睛】本題主要考查向量的加減坐標運算。12 .在 ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若bsinA asinC, c 1, B 一,6則 b , a .【答案】 （1）.1 （2）.3【解析】由已知及正弦定理可得 b c,即求出b,利用三角形的內角和定理可求A,根據余弦定理可得a的值.【詳解】QbsinA asinC, 由正弦定理可得： ab ac,即b c,Qc 1, b 1,一一_ 2又Q BC , A A B ，663由余弦定理可得：a Vb2c2_2bccos A 1 12 11 cos2- J3 .【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形的內角和定理，

13、余弦定理在解三角形中的綜合應 用。x y 1 0,13 .已知實數x,y滿足 x y 1 0,則目標函數z 2x y的最大值是 ，滿足條件的實 3x y 3 0,數x, y構成的平面區(qū)域的面積等于 .【答案】（1）. 2 （2）. 2;【解析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用線性目標函數的最值求法，進行求解即可.【詳解】作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）.由z 2x y得y 2x z.平移直線y 2x z,由圖象可知當直線 y 2x z經過點b時，直線y 2x z的截距最小，此時 z最大.x y 1 0由，解得B(1,0),代入目標函數z 2x y得z 2 1 0 2.3x y 3

14、0即目標函數z 2x y的最大值為2.3x y 3 0點 A(2,3)時，同理 C(0,1),滿足條件的實數x, y構成的平面區(qū)域的面積等于:1-13 2222【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃問題的求解方法一一平移法的應用，以及三角形面積的 求法。14.已知P 2,5在圓C ： x22x 2y m 0上，直線l ： 3x 4y 8 0與圓C相交于A, B ,則實數muurBCuuuAB【答案】（1）.23 (2).32；把P點坐標代入圓的方程可得m的值；由圓的方程可知ACBC 5,再由弦心距公式可得|AB| 8,繼而由向量的數量積公式可得解.【詳解】把P（ 2,5）代入圓C : x22x解得m

15、 23.即圓C的方程為（x1)2(y2_1)25,所以rAC又圓C到直線所以|AB| 8uuv uuv 所以BC ABBC5,AB的距離d3,則 cos ABC 小AB BC cos(25ABC) 548 ( -)32 .5【點睛】本題主要考查圓的一般方程與標準方程的互化，直線與圓相交所得弦長的求法，以 及數量積的定義應用。15.已知 a 0,b 0,ab 8,則 log 2 a log 2 2b 的最大值是 .【答案】4【解析】【分析】利用對數的運算法則以及二次函數的最值化簡求解即可.【詳解】a 0, b 0 , ab 8 ,則 log2 a?log2(2b) (log 2 8 log2b)

16、?(1 log2 b)(3 log2b)?(1 log2b) _23 210g 2 b (log2b)24 (1 log2b) , 4.當且僅當b 2時，函數取得最大值.【點睛】本題主要考查了對數的運算法則應用以及利用二次函數的配方法求最值。16 .我國古代數學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層燈數為【答案】3【解析】分析：設塔的頂層共有a1盞燈，則數列an公比為2的等比數列，利用等比數列前n項和公式 能求出結果.詳解：設塔的頂層共有 a1盞燈

17、，則數列an公比為2的等比數列，. S7=a1(1 2 )=381,解得 &=3.故答案為：3. 1 2點睛：本題考查了等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力17 .若關于x的方程x2 ax b 0(a,b R )在區(qū)間1,3有實根，則a2 (b 2)2最小值是【答案】【分析】將x2 ax b 0看作是關于a, b的直線方程，則a2 （b 2）2表示點（a,b）到點（0，2）的距離的平方，根據距離公式可求出點到直線的距離最小，再結合對勾函數的單調性，可求出22 一 一a （b 2）最小值?！驹斀狻繉2 ax b 0看作是關于a,b的直線方程，a2 （b 2）2表示點（a,b）

18、與點（0,2）之間距離的平方,x2 2點(0, 2)到直線x2 ax b 0的距離為d - x2 1又因為所以a在tV2J10上單調遞增，所以dmin229(b 2)的最小值為2 .【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式以及對勾函數單調性的應用，意在考查學生轉化 思想的的應用。三、解答題（本大題共 5小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）18.已知直線1過點1,3 ,且在y軸上的截距為1.（I）求直線l的方程；2 2（n）若直線l與圓C： x a y a5相切，求實數a的值.4【答案】（i） y 2x 1 （n） a 或a 23【解析】【分析】（i）由斜率公式先求得直線的斜

19、率，再由點斜式方程可得所求直線方程；（n）運用直線和圓相切的條件，即圓心到直線的距離等于半徑，解方程可得所求值.【詳解】（I）由題意得l過點（1,3）和點（0,1）,3 1 一.則k 3_ 2 ,所以直線l的方程為y 2x 1 ；1 0(n)由題意得圓心(a, a),半徑r 居，12a a 1|-5,4即13a 1| 5 ,解得a 或a 2 .3【點睛】本題主要考查直線方程的求法，以及直線與圓的位置關系應用，重在考查學生利用 幾何法解決直線與圓的相切問題的能力。19.已知等比數列 an的各項為正數，Sn為其前n項的和，a3=8, S3=14 .(i)求數列 an的通項公式；(n)設數列bn a

20、n是首項為1,公差為3的等差數列，求數列bn的通項公式及其前n項的和Tn.【答案】(I) an2n(n)bn3n 22n,Tn2n 1-n2n 222【解析】【分析】(l)設正項等比數列2口的公比為q(q 0且q 1),由已知列式求得首項與公比，則數列an的通項公式可求；(n )由已知求得 bn,再由數列的分組求和即可.【詳解】(I)由題意知，等比數列an的公比q 1 ,且q 0 ,2a3 a1q 8所以q 1 q3,S3 141 qa1 18a1解得 ，或 2 (舍去)，q 2 q 3則所求數列 an的通項公式為an 2n.(n)由題意得bn an1 (n 1) 3 3n 2故 bn 3n2

21、 an3n 2 2nTnb1b2b3bn (14 7233n 2)2 222nn(1 3n22)1 2nn項和公式的應用，同時考查了待(n)若點Q是Z(I)【解析】【分析】uuuuuruur uu(i)求 AB Auuur1 uurAQ AB12R Pl18uuurmAC ,求實數m的值.-n 13 225n點睛】本題主要考查等差數列與等比數列的通項公式及前 定系數法求數列的通項公式和分組求和法求數列的和。20.如圖所示，ABC是邊長為1的正三角形，點P1,P2, P3四等分線段BC .uur uur(I)以AB,AC作為基底，表示出AP1, AP2，然后利用數量積的運算法則計算即可求出；(n

22、)由平面向量數量積的運算及其運算可得:uuur設AP3uuuAQuuuuuur AB m AC ,又 BP3 3PC , 12uuur所以AP31 uuu-AB 43 uuu一AC ,解得4uuurI)由題意得AR3 uuu -AB41 uurAC 4uuuAP2uur一 AB 21 uuuAC 23 uuu 1 uuu 1 uuu 1 uuu 一 AB AC AB AC4422urn uuu uuu uuu 則 AB AP AP1 AP2um 3 urn 1 uuuAB - AB AC44【詳解】(I) a2 S19 uuu29 AB 81 uur2 -AC83 uuu uur -AB AC

23、 41389131111 cos60884(n)因為點Q是線段AP3上一點，所以設,uuuABuuuruuuAQ AB m12umrACuuu 1 uuu 3 uuur 又 BP3 3PC ,所以 AF3 -AB AC, 4412 故123，1解得 1 ,因此所求實數 m的值為一.m 44【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算以及數量積的運算以及平面向量基本定理的應 用，屬于中檔題.ir如 在 ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知m a,c 2b ,rir rncosC,cos A，且 m n (I)求角A的大??；uuu 1 uur(n)若 AB AC 2,求 ABC面積的最大值.3【答案】(I) a 60 E)36【解析】分析】(I)先利用向量垂直的坐標表示，得到a cosC (c 2b)?cosA 0 ,再利用正弦定理以及兩角和的正弦公式將 a cosC (c 2b)?cosA 0 ,化為sin B 2sin BcosA 0,進而得到 1cosA 一，由此能求出A .2uuv 1 uuv(n)將 AB AC2兩邊平方，推導出bG 12,當且僅當b 6