三角形的四心

1、三角形的四心第一頁，共7頁。一、一、 外心外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三邊的中垂線交于一點，這一點為三角形外接圓的圓心，稱三角形三邊的中垂線交于一點，這一點為三角形外接圓的圓心，稱外心外心。 證明外心定理證明外心定理證明證明: 設設AB、BC的中垂線交于點的中垂線交于點O， 則有則有OA=OB=OC， 故故O也在也在AC的中垂線上，的中垂線上， 因為因為O到三頂點的距離相等，到三頂點的距離相等， 故點故點O是是ABC外接圓的圓心外接圓的圓心 因而稱為外心因而稱為外心OO第二頁，共7頁。 二、垂心二、垂心ABCABCABC三角形三邊上的高交于一點，這一點叫三角形的三角形三

2、邊上的高交于一點，這一點叫三角形的垂心垂心。DEF證明證明: AD、BE、CF為為ABC三條高，三條高， 過點過點A、B、C分別作對邊的平行線分別作對邊的平行線 相交成相交成ABC，AD為為BC 的中垂線；同理的中垂線；同理BE、CF也分別為也分別為 AC、AB的中垂線，的中垂線， 由外心定理，它們交于一點，由外心定理，它們交于一點， 命題得證命題得證證明垂心定理證明垂心定理ABC第三頁，共7頁。設中線BE,CF交于點G,連結EF, 則EF/BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2. 同理中線AD,BE交于G ,連結DE,則: DE/AB,且EG :G B=DG :G A=DE:AB

3、=1:2, 故G(,證明同一法:)G 重合.三、重心三、重心ABCABCABC三角形三邊中線交于一點，這一點叫三角形的三角形三邊中線交于一點，這一點叫三角形的重心重心。 證明重心定理證明重心定理 E F D G第四頁，共7頁。例例2證明：三角形證明：三角形重心重心與頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍與頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍另證另證:連結EF,則EF為 ABC的中位線,EF/BC,且EF:BC=1:2,由平行線分線段成比例得 FG:GC=1:2,同樣可得 EG:GB=1:2, DG:GA=1:2. A B C E F D G 重心重心想想看？想想看？第五頁，共7頁。四、內心四、內

4、心ABCABCABCABCABC三角形三內角平分線交于一點，這一點為三角形內切圓的圓心，稱三角形三內角平分線交于一點，這一點為三角形內切圓的圓心，稱內心內心。證明內心定理證明內心定理證明證明 : : 設設AA、BB的平分線相交于的平分線相交于I,I, 過過I I作作IDBCIDBC，IEACIEAC， IFABIFAB，則有，則有IE=IF=IDIE=IF=ID 因此因此I I也在也在CC的平分線上，的平分線上， 即三角形三內角平分線即三角形三內角平分線 交于一點交于一點I II I E F D第六頁，共7頁。三角形內角平分線定理：三角形內角平分線定理：ABCDABCADBACABBDACCD在中，若為的平分線，則