選修2-1空間向量的知識點歸納的總結

1、實用標準文案第三章空間向量與立體幾何1 .空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等的 向量。(2)空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示。2 .空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下(如圖)運算律：加法交換律：a b =b a加法結合律：(a - b) c = a (b c)數(shù)乘分配律：, (a b) = a ' .b3 .共線向量。(1)如果表示空間向量的有向線段明在的直線平彳或重合，那么這些向量 也叫做共線向量或平行向量，5平行于b ,記作a/b。當我

2、們說向量a、b共線(或a/ b )時，表示a、b的有向線段所在的直 線可能是同一直線，也可能是平行直線。(2)共線W量定理：空間任意兩個向量 a、b (b W0), a/ b存在實數(shù) 入,使3 =入b 。4 .共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。4.4(2)共面向量定理：如與兩個向量a,b不共線，P與向量a,b共面的條件 是存在實數(shù)x,y使p=xa + yb。5 .空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量存在一個唯一的4序實數(shù)組 x,y,z, %p = xa + yb+zc。.若三向量ib,c不共面，我們

3、把a,b,C叫做空間的一個基底，a,b,c叫做基向 量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。推論：設O, A,B，C苦不的嗎，鳴空間任一點P,都存在唯一的三個有序實數(shù) x,y,z,使 OP=xOA+yOB + zOC。6.空間兩向量的夾角:已知兩個非零向量鼻、豆，在空間任取一點礪.(兩個向量的起點一定要相同)，則叫做向量 £與舌的夾角,6=且占=父6口規(guī)定白石 乏0河：日=0。00<90°9 = 90。90° <6 <180口9 = 180口7 .空間向量的直角坐標系：(1)空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系 O-xyz中，對

4、空間任一點 A,存在唯一的有序實數(shù)組 (x,y,z),使OA =xi +yi+zk,有序實數(shù)組(x, y,z)叫作向量A在空間直角坐標系 O-xyz中的坐標，記作 A(x,y,z), x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標。精彩文檔(2)右手直角坐標系：右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以90°角度轉 向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向；且長為1,這個基底叫單位正(3)若科一個基底的三個基向量互相垂直, 交基底,用i, j,k表示。(4.空間向量的直4坐標運算律：百(a =(ai,a2,a3), b/bh),則a+b = (ai +b,a2 +b2,a3 十b3),3b=(a 一

5、b|,a2 b2, a3 b3),九a =(九a1，入a2,九a3)(九R R),a b =為b +a2b2 +a3b3,a b u a=九bi, a2 = 7息,a3 = ?=b3 (九 R R)或=2 =九T .n b2 b3a_Lbu a1b + a2b2 + a3b3 =0。若 A(。y,Zi) , BXmz),則 AB = % %y? yz 乙)。一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。.則|a | 二2225,2 /; 2 7-2'-2+ a2 +a3 , |b|=Jbb=Jb1 +b2 +b3(5)模長公式：若a =(自昌,%)，

6、b = (b,b2,t3),(6)夾角公式：cos (a b.a %a1bla2b2a3b31a 11b |, &2a22a32bi2 - b2242(7)兩點間的距離公式：若 A(x,y1,Zi), B(X2,y2Z), 則| AB|= AB2 = (X2-X1)2 (y2-yi)2 (Z2-Z1)2 ,或dA,B =m：(X2-X1)2(y2-y1)2(Z2-Z1)2X1X2 y(8 )空 間線段 P1(x1 , y1 ,Z1), P2(x2, y2, z2)的中點 M (x, y, z)的 坐標：y2 Z1Z2,22(9)球面方程：x2+y2+z2 = R28 .空間向量的數(shù)量積

7、。T(1)闿叫量的夾角及其表示：已知兩非手向量 a,b ,在空叫壬取一點O, 作OA = a,OB=b,則/AOB叫做向量a與b的夾角，記作 <a,b> ;且規(guī)定H 一 ，4 4 ，一一 n 一_ 4 . 40W<a,b>En,顯然有<a,b >=<b,a >右<a,b>=,則稱a與b互相垂直，2記作：a _L b。.T(2)向量的模：設oA=a,則有向線段oa的長度叫做向量a的長度或模，記作：|:|°.4.(3)向J的數(shù)量f:已知向量 a,b ,則|a| b | cos<a,b >叫做a, b的數(shù)量 積,記作

8、a b ,即，b = |：| |b | cosca, b >0(4)空間向量數(shù)量積的性質：0。 |4 |2 = 3 a = (a)2 ,= J(a)2(5)空器向量數(shù)¥積運算(昌 b= Z(a b) =a Gb)。 a ,b =b a(4換律)。a 3 C)= a b a c (分配律)9、空間向量在立體幾何證明中的應用：AB =(ai,a2,a3),CD =(2,4)一 (1)證明AB/CD ,即證明AB/CD ,也就是證明a1 =九。e2 =?加2e3 =?m3或a a2 a3， ， . J、n b2 b3_(2)證明 AB_LCD ,即證明 AB CD =0,也就是證明

9、a1bl + a2b2+a3b3 = 0(3)證明AB a (平面)(或在面內)，即證明點 垂直于平面的法向量或證明 AE與平面內的基底共面；一(4)證明ABla ,即證明AB平行于平面的法向量或證明 AB垂直于平面內的 兩條相交的直線所對應的向量；(5)證明兩平面«/P (或兩面重合)，即證明兩平面的法向量平行或一個面的 法向量垂直于另一個平面；(6)證明兩平面« 1P ,即證明兩平面的法向量垂直或一個面的法向量在另一 個面內。10.運用向量的坐標運算解題的步驟:(1)建坐標系，求相關點的坐標(2)求相關向量的坐標11.用向量方法來解決立體幾何中的空間角的問題:(3)運用

10、向量運算解題(2)直線與平面的夾角:設直線l的方向向量分別為a ,平面a的法向量分別為U,TT直線l與平面口所成的角為0( 0< 6 < -), sine =;a,u(3)二面角：0 <9 <n方向向量法:COS© = COS <.小巧 > COS 9 = -COSVMpMz >法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角； 同進同出，二面角等于法向量夾角的補角12 .利用“方向向量”與“法向量”來解決距離問題 (1)點與直線的距離：d - |AP sin(先求 cos ：二 AP, a )n|(2)點到平面的距離：d|n|H臂 下出空間一點

11、P到平面口的距離為d,已知平面口的一個法向量為n，且 AP與n不共線，分析：作POO 貝d=1 PO |=JPA| cos_APQ.PO ±a , n_La, . . PO / n.d=|PA 11cos PA,n i=1|n|/APO=|cos PA,n |._ .n ABd = CD(3)異面直線間的距離:已知a,b是異面直線，CD為a,b的公垂線，n是直線CD的方向向量，a, b分別在直 線a,b上n ABd =CD(4)其它距離問題：平行線的距離(轉化為點到直線的距離) 直線與平面的距離(轉化為點到平面的距離) 平面與平面的距離(轉化為點到平面的距離)13 .補充：(1)三余

12、弦定理設AC是業(yè)內的任一條直線，且BC± AC垂足為C,又設AO與AB所成的角 為耳，AB與AC所成的角為82 , AO與AC所成的角為9 .則cos6 = co1 cos% .(2)三射線定理若夾在平面角為 中的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是也，外 ,與二面角的棱所成的角是8,則有sin2 sin2 - sin2 1 sin2 %2sinsin 12 cos ;曲一生區(qū)* W180 -侔他)(當且僅當6=90C時等號成立).(3)點Q到直線1距離h=J(|a|b|)2(a b)2一T |a|(點P在直線1上，直線1的方向向量a=PA,向量b=PQ).(4)異面直線上兩

13、點距離公式d =、h2 m2 n2 + 2mncos? .d = h2 m2 n2 -2mn cos' EA, AF ' .d = Jh2 +m2 +n2 -2mncos中 (中=e 一 AA' -F) '(兩條異面直線a、b所成的角為8 ,其公垂線段AA的長度為h.在直線a、 '.b上分別取兩點 E、F, AE =m, AF =n , EF =d).(5)，三個向其和阻平方公式、4 4 42 % 士 屯4 4 4 4 -4 4(a b c) = a bc 2a b 2b c 2c a2吟 吟 "*-!T4二 a b c 2 | a | | b

14、| cos： a,b '： 2 |b | | c| cos b,c； 2 | c| | a | cos； c,a(6)長度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為 “ ?夾角分別為斗、4、工，則有22222 2 22 .1 2- 2 一l =l1 l2 l3 = cos 11 cos % cos 飛=1 = sin % sin2 sin ?=2 .(立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例).(7)面積射影定理SS- - cos - .'. 一 . 一(平面多邊形及其射影的面積分別是 S、S ,它們所在平面所成銳二面角的 為).(8)斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側棱長是l,側面積和體積分別是 S斗棱柱側和V斜棱柱，它的直截面 的周長和面積分別是G和S1,則S斗棱柱側=ci lV斜棱柱=51 .(9)歐拉定理(歐拉公式)V +F -E =2(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F). E二各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地