高二數(shù)學PPT之人教版高中數(shù)學選修4-4課件：1.2極坐標系-第一課時.1

1、二極坐標系第1課時極坐標系的概念高二數(shù)學PPT之人教版高中數(shù)學選修4-4課件：1.2極坐標系 第一課時.1【自主預習自主預習】1.1.極坐標系極坐標系(1)(1)取極點取極點: :平面內(nèi)取一個平面內(nèi)取一個_._.(2)(2)作極軸作極軸: :自極點引一條射線自極點引一條射線Ox.Ox.(3)(3)定單位定單位: :選定一個長度單位選定一個長度單位, ,一個角度單位一個角度單位( (通常取通常取弧度弧度) )及其正方向及其正方向( (通常取逆時針方向通常取逆時針方向).).定點定點O O2.2.點的極坐標點的極坐標(1)(1)定義定義: :有序數(shù)對有序數(shù)對( (,) )叫做點叫做點M M的極坐標

2、的極坐標, ,記為記為_._.(2)(2)意義意義:=_,:=_,即極點即極點O O與點與點M M的距離的距離(0).(0).=_,=_,即以極軸即以極軸OxOx為始邊為始邊, ,射線射線OMOM為終邊的角為終邊的角. .M(,M(,) )|OM|OM|xOMxOM【即時小測即時小測】1.1.極坐標系中極坐標系中, ,下列與點下列與點(1,)(1,)相同的點為相同的點為( () )A.(1,0)A.(1,0)B.(2,)B.(2,)C.(1,2016)C.(1,2016)D.(1,2017)D.(1,2017)【解析解析】選選D.D.點點(1,)(1,)的極徑為的極徑為1,1,極角為極角為,由

3、終邊相由終邊相同的角的概念得同的角的概念得, ,點點(1,)(1,)與點與點(1,2017)(1,2017)相同相同. .2.2.點點M M的直角坐標是的直角坐標是(-1, ),(-1, ),則點則點M M的極點坐標為的極點坐標為( () )3A.(2) B.(2,)332C.(2,) D.(2,2k)(k Z)33，【解析解析】選選C.C.由由2 2=x=x2 2+y+y2 2, ,得得2 2=4,=2,=4,=2,則則coscos=x=x得得: :coscos=- ,=- ,結(jié)合點在第二象限得結(jié)合點在第二象限得:= ,:= ,則點則點M M的極坐標為的極坐標為 12232(2).3，【知識

4、探究知識探究】探究點探究點極坐標系極坐標系1.1.平面直角坐標系與極坐標系有什么不同平面直角坐標系與極坐標系有什么不同? ?提示提示: :(1)(1)兩種坐標系形式上的區(qū)別是直角坐標系有原兩種坐標系形式上的區(qū)別是直角坐標系有原點點,x,x軸軸,y,y軸軸, ,極坐標系有極點、極軸極坐標系有極點、極軸. .(2)(2)點的直角坐標是有序?qū)崝?shù)對點的直角坐標是有序?qū)崝?shù)對( (x,yx,y),),點的極坐標是點的極坐標是( (,).).2.2.極坐標系中極坐標系中, ,點的極坐標唯一嗎點的極坐標唯一嗎? ?提示提示: :(1)(1)由于極坐標系中由于極坐標系中, ,對于給定的有序數(shù)對對于給定的有序數(shù)對

5、( (,) )都有唯一確定的點與之對應都有唯一確定的點與之對應, ,但是但是, ,對于給定一點對于給定一點M,M,可可以有無數(shù)個有序數(shù)對以有無數(shù)個有序數(shù)對(,+2k)(kZ)(,+2k)(kZ)與之對應與之對應, ,所所以極坐標系中的點與極坐標不能建立一一對應關(guān)系以極坐標系中的點與極坐標不能建立一一對應關(guān)系. .(2)(2)如果規(guī)定如果規(guī)定0,00,02,那么除極點外的任意一那么除極點外的任意一點都有唯一的極坐標點都有唯一的極坐標( (,) )與之對應與之對應, ,反之亦然反之亦然. .【歸納總結(jié)歸納總結(jié)】1.1.極坐標系的四要素極坐標系的四要素極點極點; ;極軸極軸; ;長度單位長度單位;

6、;角度單位和它的正方向角度單位和它的正方向. .四者缺一不可四者缺一不可. .2.2.在極坐標系中找點的位置在極坐標系中找點的位置, ,應先確定極角應先確定極角, ,再確定極再確定極徑徑, ,最終確定點的位置最終確定點的位置. .特別提醒特別提醒: :若已知點的極坐標若已知點的極坐標( (,),),則點是確定的則點是確定的, ,反之反之, ,若已知點若已知點, ,則其極坐標不確定則其極坐標不確定. .類型一類型一極坐標系與點的極坐標極坐標系與點的極坐標【典例典例】在極坐標系中在極坐標系中, ,點點P P 到極點的距離為到極點的距離為_,_,點點P P 到極軸的距離為到極軸的距離為_._.(2)

7、6，(2)6，【解題探究解題探究】怎樣求點到極點和極軸的距離怎樣求點到極點和極軸的距離? ?提示提示: :點到極點的距離等于極徑點到極點的距離等于極徑, ,點到極軸的距離轉(zhuǎn)化點到極軸的距離轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)計算為三角函數(shù)計算. .【解析解析】因為在極坐標系中因為在極坐標系中, ,點點P ,=2,= ,P ,=2,= ,所所以點以點P P到極點的距離為到極點的距離為2,2,點點P P到極軸的距離為到極軸的距離為2sin =1.2sin =1.答案答案: :2 21 1(2)6，66【方法技巧方法技巧】確定點的極坐標的方法確定點的極坐標的方法點點P P的極坐標的一般形式為的極坐標的一般形式為(,+2k

8、),kZ,(,+2k),kZ,則則(1)(1)為點為點P P到極點的距離到極點的距離, ,是個定值是個定值. .(2)(2)極角為滿足極角為滿足+2k,kZ+2k,kZ的任意角的任意角, ,不唯一不唯一, ,其中其中是始邊在極軸上是始邊在極軸上, ,終邊過終邊過OPOP的任意一個角的任意一個角, ,一般取絕對一般取絕對值較小的角值較小的角. .【變式訓練變式訓練】1.1.在極坐標系中在極坐標系中, ,極軸的反向延長線上一極軸的反向延長線上一點點M M與極點的距離為與極點的距離為2,2,則點則點M M的極坐標的下列表示的極坐標的下列表示: :(2,0);(2,0);(2,);(2,);(2,-)

9、;(2,-);(2,2k)(kZ).(2,2k)(kZ).其中其中, ,正確表示的序號為正確表示的序號為_._.【解析解析】由于極軸的反向延長線上一點由于極軸的反向延長線上一點M M與極點的距離與極點的距離為為2,2,極角的始邊為極角的始邊為Ox,Ox,終邊與平角的終邊相同終邊與平角的終邊相同, ,故點故點M M的的極坐標為極坐標為(2,+2k)(kZ),(2,+2k)(kZ),故正確故正確. .答案答案: :2.2.如圖如圖, ,在極坐標系中在極坐標系中, ,(1)(1)作出以下各點作出以下各點: :(2)(2)求點求點E,FE,F的極坐標的極坐標(,)(0,R). (,)(0,R). 33

10、A(50) B(3) C(4) D(2).622， ， ，【解析解析】(1)(1)如圖如圖, ,在極坐標系中在極坐標系中, ,點點A,B,C,DA,B,C,D的位置是的位置是確定的確定的. .(2)(2)由于點由于點E E的極徑為的極徑為4,4,在在0,2)0,2)內(nèi)內(nèi), ,極角極角 又因為點的極坐標為又因為點的極坐標為(,)(0,R),(,)(0,R),76，所以點所以點E E的極坐標為的極坐標為 同理同理, ,點點F F的極坐標為的極坐標為 7(42k) k Z .6，2(32k) k Z .3，類型二類型二極坐標系中兩點間的距離極坐標系中兩點間的距離【典例典例】在極坐標系中在極坐標系中,

11、 ,點點O O為極點為極點, ,已知點已知點 求求|AB|AB|的值的值. .A(6)6， ，2B(6)3， ，【解題探究解題探究】根據(jù)點根據(jù)點A,BA,B在極坐標系中的位置關(guān)系在極坐標系中的位置關(guān)系, ,可可得得AOBAOB為多少度為多少度? ?提示提示: :AOB=90AOB=90. .【解析解析】因為因為 故故AOB=90AOB=90, ,故故 2362 ，22AB666 2.【延伸探究延伸探究】1.1.本例已知條件不變本例已知條件不變, ,試求試求AOBAOB的面積的面積. .【解析解析】因為因為 故故AOB=90AOB=90, ,所以所以S SAOBAOB= = 2362 ，16 6

12、 18.2 2.2.本例已知條件不變本例已知條件不變, ,試求線段試求線段ABAB中點的極坐標中點的極坐標. .【解析解析】設(shè)線段設(shè)線段ABAB中點中點M M的極坐標為的極坐標為( (,),),則則 故線段故線段ABAB中點中點M M的極坐標為的極坐標為 2563212，2366 cos() 3 22 ，5(3 2).12，【方法技巧方法技巧】點與極坐標的對應關(guān)系以及兩點間的距點與極坐標的對應關(guān)系以及兩點間的距離公式離公式(1)(1)在極坐標系中在極坐標系中, ,點的極坐標不唯一點的極坐標不唯一, ,這是由于與角這是由于與角1 1的終邊相同的角的集合為的終邊相同的角的集合為 |=1 1+2k,

13、kZ.+2k,kZ.如果限定如果限定0,0,2),0,0,2),那么那么, ,除極點外除極點外, ,點與有點與有序數(shù)對序數(shù)對( (,) )可以建立一一對應關(guān)系可以建立一一對應關(guān)系. .(2)(2)在極坐標系中在極坐標系中, ,如果如果P P1 1(1 1,1 1),P),P2 2(2 2,2 2),),那么那么兩點間的距離公式兩點間的距離公式 的兩種的兩種特殊情形為特殊情形為: :當當1 1=2 2+2k,kZ+2k,kZ時時,|P,|P1 1P P2 2|=|=|1 1-2 2|;|;當當1 1=2 2+2k,kZ+2k,kZ時時,|P,|P1 1P P2 2|=|=|1 1+2 2|.|.

14、221 2121 212|PP |2cos() 【變式訓練變式訓練】1.(20161.(2016南昌高二檢測南昌高二檢測) )在極坐標系中在極坐標系中, ,兩點兩點 間的距離是間的距離是( () )A.A.B.B.C.6C.6D. 4D. 457A( 5,) B(7,)412，4139【解析解析】選選B.|AB|= B.|AB|= 22121 2122cos()39. 2.2.在極坐標系中在極坐標系中, ,若若ABCABC的三個頂點為的三個頂點為 判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀. .55A(5) B(8)26， ， ，7C(3)6， ，【解析解析】 所以所以ABCABC是等邊三角形是等邊三角形. .22255AB582 5 8 cos() 4926 ，22222257AC532 5 3 cos() 492657BC832 8 3 cos() 4966 ，自我糾錯自我糾錯已知距離求點的極坐標已知距離求點的極坐標【典例典例】已知在極坐標系中已知在極坐標系中,O,O為極點為極點, , B(B(, ,),OAOB,|AB),OAOB,|AB|=5,0,0,2),|=5,0,0,2),求點求點B B的極坐的極坐標標. .A(3)6， ，【失誤案例失誤案例】分析解題過程分析解題過程, ,找出錯誤之處找出錯誤之處, ,并寫出正確答案并寫出正確答案. .提示提示: :出