高中數(shù)學(xué)排列組合

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上模塊九 排列與組合、二項(xiàng)式定理第一部分：排列、組合一。計(jì)數(shù)原理加法計(jì)數(shù)原理：如果完成一件事情可以分為m類(lèi)，每一類(lèi)的方法數(shù)分別是：N，N，N，.N,則完成這件事情共有N+N+N+.+N種方法。（又稱(chēng)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理）乘法計(jì)數(shù)原理：如果完成一件事情須分為m步，每一步的方法數(shù)分別是：N，N，N，.N,則完成這件事情共有NNN.N種方法。（又稱(chēng)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理）分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本原理，它貫穿于全章學(xué)習(xí)的始終，體現(xiàn)了解決問(wèn)題時(shí)將其分解的兩種常用方法，即把問(wèn)題分類(lèi)解決和分步解決。正確區(qū)分和使用兩個(gè)原理是學(xué)好本章的關(guān)鍵，其核心是“完成一件事”是“分類(lèi)”完成，還是“分

2、步”完成.二。排列數(shù)、組合數(shù)的定義 排列數(shù)：從n個(gè)元素中取出m個(gè)排成一列（即排入m個(gè)位置），共有種排法。A=n（n1）（n2）（nm+1）.特別的： 組合數(shù)：從n個(gè)元素中取出m個(gè)形成一個(gè)組合，共有種取法。 C=特別地：組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：（1）C=C； （2）C=C+C.三。解決排列、組合問(wèn)題的四大原則及基本方法1. 特殊優(yōu)先原則該原則是指在有限制的排列組合問(wèn)題中優(yōu)先考慮特殊元素或特殊位置范例甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)在課余時(shí)間負(fù)責(zé)一個(gè)計(jì)算機(jī)房的周一至周六的值班工作，每天人值班，每人值班2天，如果甲同學(xué)不值周一的班，則可以排出不同的值班表有（ ）90種89種60種59種解析：特殊元素優(yōu)先考慮，甲同學(xué)不值

3、周一的班，則先考慮甲，分步完成：從除周一的5天中任取2天安排甲有種；從剩下的4天中選2天安排乙有種；僅剩2天安排丙有種由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得一共有種，即選評(píng)注：特殊優(yōu)先原則是解有限制的排列組合問(wèn)題的總原則，對(duì)有限制的元素和有限制的位置一定要優(yōu)先考慮2.先取后排原則該原則充分體現(xiàn)了的精神實(shí)質(zhì)，先組合后排列，從而避免了不必要的重復(fù)與遺漏范例將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案共有（）12種24種36種48種解析：先分組再排列：將4名教師分成3組有種分法，再將這三組分配到三所學(xué)校有種分法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知一共有種不同分配方案評(píng)注：先取后排原則也是解排列組合問(wèn)題的總

4、原則，尤其是排列與組合的綜合問(wèn)題若本例簡(jiǎn)單分步：先從4名教師中取3名教師分給3所學(xué)校有種方法，再將剩下的1名教師分給3所學(xué)校有3種選擇，則共有種分配方案，則有明顯重復(fù)（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）因此，處理多元素少位置問(wèn)題時(shí)一般采用先取后排原則3.正難則反原則若從正面直接解決問(wèn)題有困難時(shí)，則考慮事件的對(duì)立事件，從不合題意要求的情況入手，再整體排除范例在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少取到件次品的不同取法的種數(shù)是（）解析：從100件次品中取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的對(duì)立事件是取到3件全部是正品，即從94件正品中取3件正品有種取法，所以滿(mǎn)足條件的不同取法是，故選如果從正面

5、考慮，則必須分取到1，2，3件次品這三類(lèi)，沒(méi)有應(yīng)用排除法來(lái)得簡(jiǎn)單而本例最易迷惑人的是：，即從6件次品中取1件確保了至少有1件次品，再?gòu)氖Ｏ碌?9件產(chǎn)品中任取2件即可事實(shí)上這樣分步并不相互獨(dú)立，第一步對(duì)第二步有明顯影響，設(shè)次品為，正品為甲乙丙丁戊則可以是甲，也可能是甲，因而重復(fù)評(píng)注：正難則反原則也是解決排列組合問(wèn)題的總原則，如果從正面考慮不易突破，一般尋找反面途徑利用正難則反原則的語(yǔ)境有其規(guī)律，如當(dāng)問(wèn)題中含有“至少”，“最多”等詞語(yǔ)時(shí)，易用此原則4.策略針對(duì)原則不同類(lèi)型的排列、組合問(wèn)題有著不同的應(yīng)對(duì)策略，不同的限制條件要采用不同的解題方法相鄰問(wèn)題捆綁法（整體法），不相鄰問(wèn)題插空法范例17人站成一

6、排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.解析：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.范例2例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解析:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法,

7、由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有種元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端合理分類(lèi)直接分步法范例在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有（）個(gè) （）56575860解析：所有大于23145且小于43521的數(shù)由以下幾類(lèi)構(gòu)成：由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得，一共有個(gè)，故選評(píng)注：合理分類(lèi)與直接分步是兩個(gè)基本原理分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理最直接的體現(xiàn)，是解排列組合問(wèn)題的最原始的方法諸多排列組合問(wèn)題總是從合理分類(lèi)，直接分步得到解決的順序一定消序法（用除法）范例17人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法

8、解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： (空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。范例2某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目中，那么不同插法的種數(shù)為（ ）42302012解析：新插入兩個(gè)節(jié)目，而原來(lái)的5個(gè)節(jié)目順序不變，從結(jié)果考慮，7個(gè)節(jié)目的全排列是，而順序不變的5個(gè)節(jié)目的全排列是，不變的順序是總體的，則一共有種不同的插入種數(shù)，故選A評(píng)注：某些元素順序不變的

9、排列用除法解決，即若共有n個(gè)元素，其中m個(gè)元素順序不變，則其不同的排列數(shù)為當(dāng)然本題可以這樣考慮：最終有7個(gè)節(jié)目位置，從7個(gè)位置中任選2個(gè)位置安排新增節(jié)目有種方法，其他5個(gè)位置按原5個(gè)節(jié)目的固定順序排列，因此共有種不同的插入方法對(duì)象相同（元素相同的排列、分配）隔板法范例10個(gè)相同的小球放到3個(gè)不同的盒中，每個(gè)盒不空，一共有_種不同的放法解析：10個(gè)相同的小球有9個(gè)空檔（確保盒子不空）從9個(gè)空檔中選2個(gè)空檔放入兩塊隔板，將小球分成三部分（每一種放檔板的放法對(duì)應(yīng)著10個(gè)小球分成3部分的分法），每部分一一對(duì)應(yīng)著一個(gè)不同的小盒因此一共有種不同的放法，即種四。幾個(gè)特殊問(wèn)題1. 每個(gè)位置排入的元素個(gè)數(shù)不唯一

10、的排列范例1一輛公交車(chē)上有5個(gè)人，沿途有三個(gè)?？空荆瑒t這5人的下車(chē)方法共有_種。 解析：由于5人必須都下車(chē)，每人都有3種下車(chē)方法，故有種下車(chē)方法。范例2把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解析:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有 7 種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間也有7種分依此類(lèi)推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法。2. 不同元素分組問(wèn)題 不平均分組問(wèn)題 范例有9本不同的書(shū)，分為3堆，一堆4本，一堆3本，一堆2本，分法有_種。 答： 平均分組問(wèn)題 范例有9本不同的書(shū)，分為3堆，每堆3本，分法有_種。 答：3. 不同元素分配問(wèn)題 要點(diǎn)：先分組，再入位。不平均分配問(wèn)題 范例有9本不同的書(shū)，分給3人，一人4本，一人3本，一人2本，分法有_種。 答：先分為3組有種方法，再把3組數(shù)分給3人有種，故共有方法。 平均分組問(wèn)題 范例有9本不同的書(shū)，分為3堆，每堆3本，分法有_種。 答：即有種分法。第二部分：二項(xiàng)式定理1.定理內(nèi)容即=+展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：。注意：第r+1項(xiàng)為范例+ 令x=1有+=22.兩個(gè)概念的區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)：特指展開(kāi)式中的，二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)： 以為例： 展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為： 其中二項(xiàng)式系數(shù)為，二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)為：3.求展開(kāi)式的系數(shù)的和范例展開(kāi)式的系數(shù)的和是_。解析：令x=1，得展開(kāi)