06級研矩陣論試題與答案_第1頁
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文檔簡介

一（10分） 設(shè)是實的維線性空間，是上的線性變換，任取，若，（1）證明為的一個基；（2）求在上面基下的表示矩陣。解：（1）由于線性空間是維的，只需證明這個向量線性無關(guān)。設(shè)上式兩邊作用再由兩邊作用類似。這說明線性無關(guān)。（2）由于即所以，上式右邊的矩陣即為所求。二（10分）在中，其中（1）求正交投影矩陣；（2）求在和上的正交投影。解：（1）根據(jù)P58計算公式，（2）在上的投影：，在上的投影：三（20分）設(shè)，已知的特征多項式為，（1）求的初等因子組；（2）寫出的標(biāo)準(zhǔn)形；（3）求可逆矩陣滿足解：（1）行列式因式，這是因為顯然，由已知，而，互素，所以不變因子，初等因子組為：（2）Jordan標(biāo)準(zhǔn)為（3）記，由得解之得四（10分）設(shè)，是上的一個算子范數(shù)，如果，（1）證明可逆（2）證：（1）方法一的特征值：，的特征值：從而可逆。方法二反證。如不可逆，則有非零解，從而（這里向量范數(shù)與矩陣范數(shù)相容），矛盾。（2）結(jié)論。五（20分）對下面微分方程組，（1）求的最小多項式；（2）求（3）求該方程組的解。解：（1）易求得，易驗證（2）設(shè)（3）六（20分）對下面矛盾方程組 （1）求的滿秩分解；（2）計算；（3）求該方程組的極小范數(shù)最小二乘解。解：（1）， ，（2），（3）七（10分）設(shè)， （1）求和（2）如果是的極小值點，證明為下面方程組的解 解（1）（2）如果是的極小值點，則?；蛘叻?/p>

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