數(shù)學(xué)分析第三章36泰勒公式

1、1幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 泰勒泰勒(Taylor)（英）（英）1685-1731近似計算與誤差估計近似計算與誤差估計其它應(yīng)用其它應(yīng)用第六節(jié)第六節(jié) 泰勒泰勒( (Taylor) )公式公式 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用泰勒公式的建立泰勒公式的建立 2簡單簡單的的,多項式函數(shù)多項式函數(shù)特點特點(1)易計算易計算函數(shù)值函數(shù)值;(2)導(dǎo)數(shù)與積分仍為導(dǎo)數(shù)與積分仍為多項式多項式;(3)多項式由它的系數(shù)完全確定多項式由它的系數(shù)完全確定,又由它在一點的函數(shù)值及又由它在一點的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值確定確定.而其系數(shù)而其

2、系數(shù)用怎樣的多項式去逼近給定的函數(shù)用怎樣的多項式去逼近給定的函數(shù)誤差又如何呢誤差又如何呢一、一、泰勒公式的建立泰勒公式的建立熟悉熟悉的函數(shù)來近似代替復(fù)雜函數(shù)的函數(shù)來近似代替復(fù)雜函數(shù). 應(yīng)用應(yīng)用用多項式近似表示函數(shù)用多項式近似表示函數(shù)理論分析理論分析近似計算近似計算泰勒公式泰勒公式3 )(xf,)(0存在存在若若xf xxx 0記記xxfxfxxf )()()(000回想微分回想微分附近有附近有在在0 x)()()(000 xxxfxfxf ,0時時當當xx .)(0高階的無窮小高階的無窮小其誤差是比其誤差是比xx 一次多項式一次多項式)()(000 xxxfxf )(0 xxo 泰勒公式泰勒公

3、式4xy 1xey xy )1ln(xy （如下圖）（如下圖）如如,|很小時很小時當當 x,1xex .)1ln(xx 以直代曲以直代曲xyOxyO泰勒公式泰勒公式5需要解決的問題需要解決的問題如何提高精度如何提高精度 ? ?如何估計誤差如何估計誤差 ? ?不足不足1. 精確度不高；精確度不高；2. 誤差不能定量的估計誤差不能定量的估計.)()(000 xxxfxf )(xf 希望希望一次多項式一次多項式附近附近在在0 x用適當?shù)挠眠m當?shù)母叽味囗検礁叽味囗検教├展教├展?010200( )()()()nnnP xaa xxaxxaxx( )f x誤差是誤差是 的高階無窮小的高階無窮小 0n

4、xx問題問題(1) 系數(shù)怎么定系數(shù)怎么定?(2) 誤差誤差(如何估計如何估計)表達式是什么表達式是什么?60 x)(xfy oxy猜想猜想)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越近似程度越來越好好1.若在若在 點相交點相交0 x1.1.n次多項式系數(shù)的確定次多項式系數(shù)的確定泰勒公式泰勒公式7)()(0)(0)(xfxPkkn 假設(shè)nk, 2 , 1 , 0 2010200( )()()()nnnP xaa xxaxxaxx00(),nP xa(1)由00()()nP xf x及0

5、0()af x得到01(),nPxa(2)由00()()nPxfx及10()afx得到泰勒公式泰勒公式802()2!,nPxa(3)由00()()nPxfx及201()2!afx得到同理可得同理可得(3)( )30011(),()3!nnafxafxn( )01(),0,1,2,!kkafxknk即即泰勒公式泰勒公式9從而從而200000( )001( )()()()()()2!1()()!nnnP xf xfxxxfxxxfxxxn( )0001()()!nkkkfxxxk泰勒公式泰勒公式10說明說明:0( )f xx當在 處有直到有直到n階導(dǎo)數(shù)時階導(dǎo)數(shù)時,多項式多項式泰勒公式泰勒公式( )

6、0001( )()()!nkknkP xfxxxk0( )xf x在 處與有相同的函數(shù)值及有相同的函數(shù)值及直到直到n階導(dǎo)數(shù)值階導(dǎo)數(shù)值. 從而從而( )0001( )()()!nkknkP xfxxxk稱為稱為0( )f xx在 處的n階泰勒多項式階泰勒多項式.( )01(),0,1,2,!kkafxknk稱為稱為泰勒系數(shù)泰勒系數(shù).11200000( )00001( )()()()()()2!1()()()!( )()nnnnnf xf xfxxxfxxxfxxxRxxnP xRxx公式公式稱為稱為0( )f xx在 處的n階泰勒公式階泰勒公式.0()nR xx稱為稱為n階余項階余項.注意注意:

7、)()(0)(0)(xfxPkkn 泰勒公式泰勒公式12下面給出帶皮亞諾下面給出帶皮亞諾(Peano)余項的泰勒公式余項的泰勒公式.定理定理1 (帶皮亞諾帶皮亞諾(Peano)余項的泰勒公式余項的泰勒公式)設(shè)設(shè) 001( )f xxx函數(shù)在 點的某個鄰域O內(nèi)有定義; 2( )1;f xn在此鄰域內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù) 03().nfx 存在則則200000( )0001( )()()()()()2!1()()().!nnnf xf xfxxxfxxxfxxxoxxn的冪展開的的冪展開的按按稱為稱為)()(0 xxxf 帶有皮亞諾帶有皮亞諾型型余項余項n n階泰勒公式階泰勒公式泰勒公式泰勒公式1300(

8、 )( )lim()nnxxf xP xxx證明證明: 對于對于連續(xù)地用連續(xù)地用n-1次落必達法則次落必達法則,最后一次用定最后一次用定義即可證明義即可證明.泰勒公式泰勒公式14下面的定理將指明下面的定理將指明:可以用它的泰勒多項式逼近可以用它的泰勒多項式逼近0( )1,f xxn 當在 的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)時函數(shù)函數(shù)),(xf并估計它的誤差并估計它的誤差.),()(xfxPn 0()( )( ).nnR xxf xP x泰勒公式泰勒公式15定理定理2 (帶拉格朗日帶拉格朗日(Largrange)余項的泰勒公式余項的泰勒公式)設(shè)設(shè) 1( ),f xa b函數(shù)在上有定義; 2,( );a bf x

9、n在上有直到 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù) 3,( )1.a bf xn在內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)則則200000(1)( )100001( )()()()()()2!1( )()()(),!(1)!,nnnnf xf xfxxxfxxxffxxxxxnnxx其中介于 與之間.0,x xa b有泰勒泰勒( (Taylor) )中值定理中值定理泰勒公式泰勒公式16分析分析).()()(xPxfxRnn 即證即證10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ).(0之間之間與與在在xx 10)()(nnxxxR)!1()()1( nfn 也即證也即證)!1()()1( nfn 10)()()( nnxxxPxf10)

10、1()()!1()()( nnnxxnfxR 其中其中).(0之間之間與與在在xx 200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx( )00()()( )!nnnfxxxR xn泰勒公式泰勒公式17證證.1)(階階導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有由由于于 nxf)()()(xPxfxRnn ),()()(xPxfxRnn 10)()( nxxx ),()()(xPxfxRnn nxxnx)(1()(0 10)()1()( nxxnnx ),()()()()()(xPxfxRnnnnn )(2)1()(0)(xxnnxn ),()()1()1(xfxRnnn )!1()()1(

11、nxn 令令 10)()(nnxxxR 10)()()(nnxxxPxf)!1()()1( nfn 10)( nxx)(x nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( 由要求由要求0000000000000000000000000000泰勒公式泰勒公式18,0 xx 設(shè)設(shè). 0)(,),(0 xxx 且且內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在 柯西定理柯西定理)()(11 nR )()(xxRn ,)(),(0上連續(xù)上連續(xù)在在xxxxRn )(01之間之間與與在在xx )()(xxRn 10)()(nnxxxR)!1()()1( nfn ,)()(10上連續(xù)上連續(xù)在在及及 xxxRn )()(11

12、 nR)()(22 nR)(102之間之間與與在在 x內(nèi)內(nèi)在在),(10 x 柯西定理柯西定理用用1次次用用2次次. 0)(, x 且且可導(dǎo)可導(dǎo)10)( nxx)(x 0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn)(0 xRn)(0 x 0)()()()(0)(000 xxxxn )()(11 nR)(0 xRn )(0 x 泰勒公式泰勒公式19)(00之間之間與與之間也在之間也在與與在在xxxn 如此下去如此下去,得得 10)()(nnxxxR)!1()()1( nfn )()()()(nnnnnR )()()1()1( nnnR )()()()(0)()(0)()(xxRRn

13、nnnnnnn 用用n+1次柯西定理次柯西定理, )()(xxRn 注意到注意到)!1()(),()()1()1()1(nxxfxRnnnn即即 10)()(nnxxxR)!1()()1( nRnn 可得可得10)1()()!1()()( nnnxxnfxR )(0之間之間與與在在xx 泰勒公式泰勒公式20nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 的冪展開的的冪展開的按按稱為稱為)()(0 xxxf knkkxxkxf)(!)(000)( )()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk 的冪展開的的冪展開的按按稱為稱為)()(0

14、 xxxf 拉格朗日型余項拉格朗日型余項 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 帶有拉格朗日型余項帶有拉格朗日型余項.階泰勒公式階泰勒公式n.次近似多項式n泰勒公式泰勒公式21注意注意:(1)0,n 時Taylor公式為公式為000( )()( ),.f xf xfxxxx介于 與 之間即為即為Lagrange中值公式中值公式.(2)( ) :nRx研究誤差( , ),xa b若時(1)|( )|nfxM則則泰勒公式泰勒公式2210)1()(! )1()()( nnnxxnfxR M泰勒公式泰勒公式10|)!1( nxxn00( )lim0()nnxxR xx

15、x從而特別特別,若若0,x xa b則則1( )()0,(1)!nnMR xbann 說明說明:1( ),nfxa b若在上有界( )( ),nP xf x用逼近時( )nR x誤差隨隨n的增大可任意小的增大可任意小,因此可選取適當?shù)囊虼丝蛇x取適當?shù)膎,使近似代替達到使近似代替達到要求的任意精度要求的任意精度.23皮亞諾皮亞諾型型余項余項1858-1932) )皮亞諾皮亞諾( (Peano,G.( (意意) )00(3),( )() .nnxxR xo xx當時當對余項要求不高時當對余項要求不高時, 可用可用皮亞諾皮亞諾型型余項余項)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf

16、的冪展開的的冪展開的按按稱為稱為)()(0 xxxf 帶有皮亞諾帶有皮亞諾型型余項余項.階泰勒公式階泰勒公式的的n(4) 展開式是唯一的展開式是唯一的泰勒公式泰勒公式24(5)在泰勒公式中在泰勒公式中,故故之間之間介于介于則則, 0 x ),10( x可表為可表為這時的泰勒公式這時的泰勒公式,即即按按x的冪的冪(在零點在零點)展開的泰勒公式稱為展開的泰勒公式稱為:200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf ).(0之間之間與與在在xx 10)1(00)()()!1()()(!)( nnnnxxnfxxnxf n階泰勒公式階泰勒公式麥克勞林麥克勞林( (Maclaurin,C

17、.(英英)1698-1746)公式公式00000000),10(0 xx, 00 x若若泰勒公式泰勒公式25)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 麥克勞林麥克勞林( (Maclaurin) )公式公式近似公式近似公式nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 誤差估計式為誤差估計式為1|)!1(| nnxnMR1)1()!1()( nnxnxf )10( 帶有拉格朗日型余項帶有拉格朗日型余項 )(xf帶有帶有皮亞諾皮亞諾型型余項余項nnxnfxfxff!)0(! 2)0()0()0()(2 泰勒公式泰勒公式26解解,)()()()

18、(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffff.)()1(xnexf 代入上公式代入上公式,得得二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式例例1階階的的求求nexfx )(麥克勞林公式麥克勞林公式. .nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 1)1()!1()( nnxnxf )10( 麥克勞林麥克勞林( (Maclaurin) )公式公式xe 211,(01).2!(1)!nxnxxexxnn于是有于是有xe的近似表達公式的近似表達公式212!nxxxexn 泰勒公式泰勒公式27有誤差估計式有誤差估計式,0時時當當 x1)!1(

19、 nxnxneR 1)1()!1()()( nnnxnxfxR )10( ;)!1(1 nxnxe,0時時當當 x; 0 nR,0時時當當 xnR,1時時當當 x,!1! 2111ne 得到得到.)!1(3 n其誤差其誤差nR)!1( ne, 8n若取,718279. 2 e可算出可算出其誤差其誤差8R! 93 .|)!1(1 nxn1泰勒公式泰勒公式28階階麥麥克克勞勞林林公公式式的的求求nxxfsin)( 解解例例2因為因為), 2 , 1 , 0(2sin)()(nnxxfn泰勒公式泰勒公式所以所以, 0)0( f, 1)0( f, 0)0( f, 1)0( fmnx2sin的麥克勞林公

20、式為從而sin x 352112( 1).3!5!(21)!mmmxxxxRm 的的多多項項式式近近似似表表達達式式為為所所以以xsinsin x 35211( 1)3!5!(21)!mmxxxxm 29誤差為誤差為 mR2).10( ,)!12(12 mxm,1時時當當 m,001. 0要使誤差小于要使誤差小于,2時時當當 m,001. 0要使誤差小于要使誤差小于mmmRmxxxxx212153)!12()1(! 5! 3sin ,sinxx 有有12)!12(2)12(sin mxmm ), 2 , 1 , 0(2sin)()( nnxxfn x .1817. 0 x必必須須2R誤差誤差,

21、! 3sin3xxx 有有4R誤差誤差.6544. 0 x必必須須,63x ,1205x 泰勒公式泰勒公式30 xyO泰勒公式泰勒公式泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近xsinxy ! 33xxy ! 5! 353xxxy ! 7! 5! 3753xxxxy ! 9!7! 5! 39753xxxxxy xysin31類似地類似地,有有泰勒公式泰勒公式21nm)!2()1(! 4! 21cos242mxxxxmm ,)!22(2)22(cos22 mxmmx ).10( 32處的處的在在求函數(shù)求函數(shù)1423)(023 xxxxxf解解5)1( f8)1( f263)(2 xxxf66)( xxf6)(

22、 xf0)1( f6)1( f)(xf)()1(58)(1xRxxf 泰勒公式泰勒公式一階和三階泰勒公式及相應(yīng)的拉格朗日型余項一階和三階泰勒公式及相應(yīng)的拉格朗日型余項.的一階泰勒公式是的一階泰勒公式是)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk ! 2)1)()(21 xfxR 2)1(! 2)1(6 x 其中其中. )1(之間之間與與介于介于x 三階泰勒公式是三階泰勒公式是. 0)(3 xR其其中中)()1()1(58)(33xRxxxf )0)()4( xf因因33 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式泰勒公式泰勒公式212!nxxxexn 1,011 !xnexn21

23、sin212, 0121 !nxnxn3521sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn 要熟記要熟記!342462cos1( 1)2!4!6!(2 )!nnxxxxxn 231ln(1)( 1)23nnxxxxxn 22cos1, 01(22)!nxnxn111, 011 1nnnxnx泰勒公式泰勒公式35泰勒公式泰勒公式2(1)(1)(1)(1)12!nnxxxxn 11(1)(1)1, 011 !nnnnxxn 2111nxxxx 1211nnxx36例例3 3 ).()(皮亞諾余項皮亞諾余項帶帶階麥克勞林公式階麥克勞林公式展開為展開為把把nxexfx 解解用間接展開的方法較簡便用

24、間接展開的方法較簡便. xe兩端同乘兩端同乘x,得得)()!1()1(! 2132nnnxxonxxxxxe 帶拉格朗日型余項的公式展開問題帶拉格朗日型余項的公式展開問題注注)(! 212nnxxonxxxe 一般不能用這種方法一般不能用這種方法.)()!1()1(! 211112 nnnxonxxxxx取代取代用用 泰勒公式泰勒公式37須解決問題的類型須解決問題的類型: :(1) 已知已知x 和誤差界和誤差界, ,要求確定項數(shù)要求確定項數(shù)n;(2) 已知項數(shù)已知項數(shù)n和和x, ,計算近似值并估計誤差計算近似值并估計誤差;(3) 已知項數(shù)已知項數(shù) n 和誤差界和誤差界, ,確定公式中確定公式中

25、 x 的的三、近似計算與誤差估計適用范圍適用范圍. .泰勒公式泰勒公式38例例4 4 ,10,1 . 1ln4 要求誤差不超過要求誤差不超過的近似值的近似值計算計算.可可達達到到要要求求解解 )1ln(x)10()1(111)1(11 nnnxxn1 . 0 x)1 . 0(nR 1 . 1ln nxxxxnn 132)1(32? n問問 nnn)1 . 0()1(3)1 . 0(2)1 . 0(1 . 0132)1 . 01ln( 1 . 01 . 01 . 01 . 0已知已知x 和誤差界和誤差界, ,要求確定項數(shù)要求確定項數(shù)n泰勒公式泰勒公式39 )1 . 0(nR110111 nn41

26、01 , 2 n4310141 R滿足要求滿足要求.)10()1(111)1()(11 nnnnxxnxR1 . 0 x11)1 . 0()1 . 01(111)1( nnnn 3210131 R, 3 nxxx4101 泰勒公式泰勒公式,10,1 . 1ln4 要求誤差不超過要求誤差不超過的近似值的近似值計算計算.可可達達到到要要求求? n問問 1 . 1ln3)1 . 0(2)1 . 0(1 . 032 09533. 000033. 0005. 01 . 0 40四、其它應(yīng)用常用函數(shù)的泰勒展開求常用函數(shù)的泰勒展開求例例5 5 403cos2lim2xxexx 00型未定式型未定式00 泰勒

27、公式泰勒公式 解解 因為分母是因為分母是4階無窮小階無窮小,所以所以只要將函數(shù)展開到只要將函數(shù)展開到4階無窮小的項階無窮小的項就足以定出所給的極限了就足以定出所給的極限了.)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos442xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 原式原式4440)(127limxxoxx 127 41求極限求極限26402sinlimcos12xxxxxe42 利用泰勒公式可以證明不等式利用泰勒公式可以證明不等式 (多個點的函數(shù)值的關(guān)系多個點的函數(shù)值的關(guān)系).例例6( ),f xa b設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo) 且( )0,fx12,x xa b則對證明證明:1212()()()22xxf xf xf提示提示:12120(),().2xxf xf xxTaylor分別