關(guān)于集合與集合論

1、第一章 關(guān)于集合與集合論在許多數(shù)學(xué)教材上都會(huì)見到這樣一種說法：集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，集合概念是數(shù)學(xué)的基本概念。那么為什么會(huì)有這種說法呢？這種說法的依據(jù)是什么呢？在這一章，我們將對(duì)此給出一種解釋。在本章的第1節(jié)，將簡要重溫一些與集合論相關(guān)的基本概念與符號(hào)，其中大多數(shù)的概念與符號(hào)用法是每一個(gè)高中生都應(yīng)當(dāng)熟悉的。在第2節(jié)，本書作者對(duì)集合論的意義及其產(chǎn)生的思想淵源進(jìn)行了介紹和分析，其中有些是作者個(gè)人的觀點(diǎn)，僅供讀者參考。最后兩節(jié)則是在講一些基本邏輯常識(shí)的基礎(chǔ)上，介紹了較為規(guī)范的集合表示方法以及用集論語言定義的某些重要數(shù)學(xué)概念。1. 集合論中的常見概念與符號(hào)1.1. 集合概念與屬于關(guān)系在集合論中，“集

2、合”這個(gè)概念是作為不定義的基本概念，以符號(hào)“”表示的“屬于”關(guān)系，也是不定義關(guān)系。在樸素集合論中，人們用日常語言給集合概念和屬于關(guān)系以直觀說明。其中最常見的是集合論創(chuàng)始人康托的說法：“將一些明確的（確定的）、彼此有區(qū)別的、具體的或理念中抽象的對(duì)象看作一個(gè)整體，便叫作一個(gè)集合?！痹诒緯那叭?，便以康托的這個(gè)描述作為“集合”概念含義的說明。理解這個(gè)說明，主要注意如下幾點(diǎn).（1）當(dāng)我們提到一個(gè)集合時(shí)，這個(gè)集合自身是作為一個(gè)整體被看待的；（2）集合是由可以確定的一些對(duì)象個(gè)體匯集而成的，也就是說，必須可以清晰判定任何一個(gè)對(duì)象個(gè)體是否在這些對(duì)象個(gè)體之中，并且可以明確區(qū)分開這些對(duì)象個(gè)體中任何兩個(gè)不同的對(duì)象

3、個(gè)體。（3）在樸素集合論中，集合中的元素既可以是物理世界中的對(duì)象，也可以是我們頭腦中形成的觀念對(duì)象。比如：將“北京大學(xué)年所有在籍學(xué)生的全體”作為一個(gè)集合，其元素都是具體現(xiàn)實(shí)的人（在籍學(xué)生）；將“所有實(shí)數(shù)的全體” 的對(duì)象，作為一個(gè)集合，其元素（實(shí)數(shù)）便是由理念抽象的對(duì)象組成的集合。作為數(shù)學(xué)理論，集合論所討論的集合，基本上都是由人類理念在其抽象過程中產(chǎn)生的對(duì)象匯集而成的。只有在將數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)時(shí)，才會(huì)涉及到由現(xiàn)實(shí)物理世界中的對(duì)象作為元素組成的集合。因此，在理解作為數(shù)學(xué)理論的集合論時(shí)，一定要適應(yīng)抽象的思維方式和觀念對(duì)象的建構(gòu)方式。如果以符號(hào)表示一個(gè)集合，表示一個(gè)對(duì)象個(gè)體，假如在那些匯集為集合的對(duì)象個(gè)

4、體之中，我們稱屬于，記為，否則記為。如果，稱是的元素，也稱集合含。按照上面的理解，若與是兩個(gè)集合，當(dāng)我們可以判定（證明）的元素也都是的元素或者可以判定沒有任何一個(gè)中的元素不屬于，我們稱被所包含，或集合包含，記為。集合， 注：請(qǐng)讀者注意在本書中對(duì)“含”與“包含”這兩個(gè)詞匯的不同用法。當(dāng)且時(shí)，我們便認(rèn)為與是兩個(gè)完全相同的集合，記為，這時(shí)與作為集合被看作是同一個(gè)對(duì)象。如果，且可以明確記作，稱是的真子集。 1.2 . 集合運(yùn)算及某些特殊集合的符號(hào)表示我們假設(shè)讀者已經(jīng)熟悉常見的集合運(yùn)算（的表示方法）及其滿足的運(yùn)算律。這里只將其列出，不給出詳細(xì)的解釋和驗(yàn)證。在下列各式中，將符號(hào)A均表示集合，表示指標(biāo)集。（

5、1） 集合的常見運(yùn)算）集合的并：；）集合的交；）集合的差：；）集合的補(bǔ)：若記，稱為的補(bǔ)集（以為全集），當(dāng)明確 作為全集，不會(huì)引起混淆的情況下，將簡記為；）對(duì)稱差：。（2） 集合運(yùn)算所滿足的運(yùn)算律（）交換律：；（）結(jié)合律：；（）分配律；（）迪摩根律：；（）冪等律：；（）吸收律：；如果以為全集，還有（）同一律：；（）零律：；（）補(bǔ)余律：；（x）雙補(bǔ)律：；（xi）推廣迪摩根律：。下面再介紹一種表示集合的并與交運(yùn)算的方法。設(shè)是一個(gè)集合，并且中的元素也是集合，我們定義。特別應(yīng)當(dāng)注意，只有當(dāng)中元素也是集合的時(shí)候，才是有意義的。其次，我們還規(guī)定：沒有意義。最后我們引入一些常用集合的表示符號(hào)：N表示正整數(shù)集（

6、以每個(gè)正整為其元素）；Z表示整數(shù)集；Q表示有理數(shù)集；R表示實(shí)數(shù)集；表示以為端點(diǎn)的閉區(qū)間；表示以為端點(diǎn)的開區(qū)間；分別表示左開右閉的和左閉右開的區(qū)間（以為端點(diǎn)）。 集合論的內(nèi)容和意義我們總能看到這樣的提法：集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。但為什么集合論就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)呢？有些人困惑，像集合這樣普通得不能再普通的概念，像各種集合運(yùn)算（并、交、差）那樣簡單的運(yùn)算關(guān)系并沒有什么特別的困難。為什么集合論卻是遲于微積分學(xué)二百年才產(chǎn)生呢？以至于有人認(rèn)為集合論遲到了兩千年。其實(shí)，要搞清這一點(diǎn)，就要先弄清“集合論”作為一門數(shù)學(xué)理論，它所研究的核心問題是什么，進(jìn)而還要搞清數(shù)學(xué)的發(fā)展為什么要考慮這些問題。2.1 集合論研究

7、什么?其實(shí)，要搞清集合論是干什么的并不困難。假設(shè)你面臨有一群牛組成的集合，如果從純數(shù)學(xué)的角度考慮，對(duì)此集合，你能干些什么呢？很顯然，那就是“計(jì)數(shù)”。至于這些牛是否有口蹄疫，并不是數(shù)學(xué)家感興趣的事。由此，可以得出結(jié)論，“集合論”所要研究的問題就是如何建立為集合（的元素）進(jìn)行計(jì)數(shù)的理論。有些初學(xué)者依然可能困惑，為集合計(jì)數(shù)不是太簡單了嗎?小學(xué)生都會(huì)。是的，為有限集合計(jì)數(shù)大家都會(huì)，只要學(xué)過了自然數(shù)就行。但是集合論所研究的都是為“無限集”計(jì)數(shù)的理論。顯然，這可不是一個(gè)簡單的工作。從這個(gè)意義上講，自然數(shù)理論可以看成是關(guān)于“有限”的集合論，而集合論可以看成“無限”的“自然數(shù)理論”，即自然數(shù)理論到無限（集）的

8、推廣。于是就產(chǎn)生了第二個(gè)問題，人類的活動(dòng)都是有限的，所謂“無限”是無法完成的。人們談?wù)摕o限時(shí)，都只是在說一個(gè)無法完成的過程。它有什么必要成為研究的對(duì)象呢？為了說明這一點(diǎn)，有必要回顧高等數(shù)學(xué)（主要指微積分學(xué)）在發(fā)展過程中曾面臨的一些問題。2.2 變量數(shù)學(xué)，導(dǎo)數(shù)與無窮小許多人認(rèn)為，微積分學(xué)的產(chǎn)生標(biāo)志著從初等的常量數(shù)學(xué)時(shí)代進(jìn)入到了高等的變量數(shù)學(xué)時(shí)代。這種以變量與常量來區(qū)分高等數(shù)學(xué)（微積分學(xué)）與初等數(shù)學(xué)的看法也許有以下幾點(diǎn)依據(jù)。首先，微分學(xué)所研究的對(duì)象是函數(shù)。以當(dāng)時(shí)人們的直觀認(rèn)識(shí)，可以認(rèn)為是在研究各種變量之間的關(guān)系，而非常量（數(shù)）的運(yùn)算關(guān)系；其次，從所產(chǎn)生的新方法來看，主要引進(jìn)了像求導(dǎo)數(shù)這樣的計(jì)算。而

9、這個(gè)計(jì)算，又是以求解兩個(gè)變量之商在變量趨于0時(shí)的生成結(jié)果為目的的；最后，從表達(dá)的語言來看，人們是以直觀的動(dòng)態(tài)語匯來描述導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生過程的。下面的幾段論述源自微積分學(xué)的兩位重要?jiǎng)?chuàng)立者，這些論述表明當(dāng)時(shí)的人們是如何認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的。牛頓認(rèn)為導(dǎo)數(shù)是“量在其中消失的終極比，嚴(yán)格說來，不是終極量的比，而且它與無限減小的這些量所趨近的極限之差雖然能比任意給出的差更小，但是在這些量無限縮小以前既不能越過也不能達(dá)到這個(gè)極限?！倍矔r(shí)速度“既不是在物體達(dá)到最后位置、運(yùn)動(dòng)停止時(shí)之前的速度，也不是達(dá)到以后的速度，而是正在到達(dá)那一瞬間的速度（是無窮小的比）。即物體以這樣的速度到達(dá)它的最后位置并且停止。同樣的，就消失量的最后比來

10、說，應(yīng)理解為不是在量消失之前，也不是消失后，而是正當(dāng)他們消失時(shí)的比。”萊布尼茨認(rèn)為：“一個(gè)過渡的狀態(tài)或者這個(gè)消失的狀態(tài)是可以設(shè)想的，其中實(shí)際上仍然沒有出現(xiàn)完全相等或精致，而是進(jìn)入這樣一種狀態(tài)，即差小于任何給定的量，在這種狀態(tài)下，得留一些差，一些速度，一些角度，但它們每一個(gè)都是無窮小?！比R布尼茨還認(rèn)為：無窮小是一種理想元素，是一種有用的工具，它們有助于我們通過直觀發(fā)現(xiàn)真理，而且這些無窮小也可遵循通常的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算。他們這些費(fèi)力的解釋是為了回答導(dǎo)數(shù)或是不是的問題。這也是現(xiàn)代某些沒能深刻理解極限概念的人所追問的問題。當(dāng)時(shí)，一位著名的主觀唯心主義哲學(xué)家貝克萊主教曾向微積分的擁護(hù)者們提出了類似的

11、問題。當(dāng)牛頓和萊布尼茨以無窮小之比來說明導(dǎo)數(shù)時(shí)，它們無法回答“無窮小”到底是個(gè)什么東西。一個(gè)不是0又比任何實(shí)數(shù)（的絕對(duì)值）都小的量還是數(shù)嗎？顯然不是，因?yàn)閷?shí)數(shù)里面沒有它。這個(gè)像幽靈一樣的“無窮小量”一直困擾著當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們。這個(gè)思想上的困擾被人們稱為數(shù)學(xué)史上的第二次危機(jī)。2.3 標(biāo)準(zhǔn)極限理論的提出數(shù)學(xué)思維公式和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)向仔細(xì)分析前面牛頓和萊布尼茨的那些說法，筆者認(rèn)為在他們的思想方式中有如下一些局限性。（1）他們將現(xiàn)實(shí)的運(yùn)動(dòng)過程與人的思維抽象過程混為一談。從而，其思想的表達(dá)都是用自然語言和直觀的動(dòng)態(tài)語匯進(jìn)行描述。（2）將導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與有限運(yùn)算看成類似的，即認(rèn)為最終比是變化過程中自然“生成”的，就

12、如3+5=8一樣，8是3于5合在一起才能實(shí)現(xiàn)的結(jié)果。這種認(rèn)識(shí)統(tǒng)治了相當(dāng)長的時(shí)間，以至于人們會(huì)爭議到底是等于1，0，或是。后來，經(jīng)過達(dá)朗倍爾、波爾查諾、柯西，尤其是維爾斯特拉斯等人的工作和思考，導(dǎo)數(shù)的“本質(zhì)”逐漸地清晰起來。這源于極限概念的提出和完善化。最后形成標(biāo)準(zhǔn)化的即-語言的極限理論，徹底地澄清了原來在微積分學(xué)中的各種概念混亂。那么極限理論的引入是如何解決了“第二次危機(jī)”中的困難呢?它在數(shù)學(xué)發(fā)展方向上起到了什么樣的作用呢？筆者將對(duì)此作一簡要分析（后面的某些觀點(diǎn)屬于個(gè)人的看法，僅供參考）。在任何一本系統(tǒng)講授微積分的教材中，人們都可以看到-語言定義的極限概念。如果教材編寫者寫得清楚，我們都可以看

13、出，所謂一個(gè)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不過是差商在趨近于0（趨近于）時(shí)的極限（如果存在）。而按極限的定義，這個(gè)極限（如果存在，記為）并不是上述趨近于所“生成”的結(jié)果，而是事先已經(jīng)“存在”的一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)趨近于時(shí)，差商也不斷地“逼近”著這個(gè)事先就已存在于那里的數(shù)。同樣，在數(shù)列有極限A時(shí)，這個(gè)A也是一個(gè)“事先在那里等候”的實(shí)數(shù)，極限概念完全回避了“是否到了”以及“是否都已全部窮盡”這樣的問題。仔細(xì)核查-語言的極限概念，它起到了如下的作用：（1）區(qū)別了人們的抽象思考過程與現(xiàn)實(shí)的運(yùn)動(dòng)過程，用可以進(jìn)行邏輯分析的語言代替了直觀動(dòng)態(tài)描述。（2）擺脫了過去在初等運(yùn)算中形成的“計(jì)算結(jié)果生成觀”，建立了“無限運(yùn)算結(jié)果的逼近觀

14、”；（3） 將所討論的對(duì)象，由無法進(jìn)行邏輯分析的直觀“變量變化”關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)具有一定結(jié)構(gòu)（順序與度量結(jié)構(gòu)）的數(shù)集之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)象的“靜態(tài)”化。正是以上的這些作用，大大改變了人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)研究的界定方式及其相關(guān)關(guān)系的思考方式，并由此引起了數(shù)學(xué)語言的重要轉(zhuǎn)向。原來以自然語言的動(dòng)態(tài)語匯所給出的直觀描述逐漸被人造語言的靜態(tài)語匯所給出的形式規(guī)定所取代。比如說，過去人們?cè)谇笏矔r(shí)速度、曲線弧長和不規(guī)則圖形的面積時(shí)，總是自然地認(rèn)為是在求一個(gè)客觀實(shí)在的量。但在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)處理方式中，這些都是利用極限“定義”（規(guī)定）的形式對(duì)象（起碼從純數(shù)學(xué)的角度考慮）。再比如，由于兩千多年前愛利

15、亞的芝諾提出的悖論，亞里士多德不愿意承認(rèn)曲線是由點(diǎn)（或時(shí)間是由時(shí)刻）組成的，因此人們將曲線看成動(dòng)點(diǎn)的軌跡。但是當(dāng)極限概念建立以后，人們開始將目光轉(zhuǎn)向?qū)崝?shù)點(diǎn)集的結(jié)構(gòu)研究，曲線也就自然被描述成點(diǎn)的集合了。原來變動(dòng)不居的動(dòng)態(tài)對(duì)象，一旦被界定為是由點(diǎn)組成的集合，就完全成了可以進(jìn)行邏輯分析的靜態(tài)對(duì)象。2.4 集合論產(chǎn)生的思想淵源在標(biāo)準(zhǔn)的-語言的極限概念產(chǎn)生以前，人們很自然地從直觀上想象連續(xù)函數(shù)基本上都是可導(dǎo)的（除去個(gè)別的尖點(diǎn)）。可是極限理論使得嚴(yán)格的邏輯分析取代了直觀的想像。正是建立了極限理論的-語言定義方式的維爾斯特拉斯構(gòu)造了處處連續(xù)而又處處不可導(dǎo)的函數(shù)。這些工作標(biāo)志著數(shù)學(xué)開始從直觀描述動(dòng)態(tài)“變量的過

16、程聯(lián)系”，轉(zhuǎn)化為邏輯分析靜態(tài)“集合結(jié)構(gòu)”的形式關(guān)注。然而，將動(dòng)態(tài)的“變量”轉(zhuǎn)化成靜態(tài)的集合，其集合基本上都是無限集。人們?yōu)榱讼盁o窮小量”帶來的矛盾，不得不考慮“無窮多（元素）”的集合。雖然在過去兩千多年來，人們一直極力回避談?wù)摕o限集，但現(xiàn)在無法回避了。 極限概念的完善化，使得“常量”與“變量”的區(qū)別轉(zhuǎn)化為“有限”與“無限”的區(qū)別。對(duì)數(shù)學(xué)分析而言，這也是與初等數(shù)學(xué)最根本的區(qū)別。因?yàn)榕袛鄻O限是否存在，在一般情況下無非是判斷兩個(gè)具有一定結(jié)構(gòu)的無限集之間的關(guān)系。但是，比較兩個(gè)無限集的區(qū)別，最基本的比較應(yīng)是集合元素的多少。所以，數(shù)學(xué)分析的深入（勢(shì)必）將引起人們對(duì)無限集合的“計(jì)數(shù)”方法的關(guān)注。雖然，作

17、為集合論創(chuàng)始人，康托是在研究三角級(jí)數(shù)展開式唯一性問題時(shí)考慮到無限集之間的比較方法問題，就具體問題而言，似乎有一定的偶然性。但以當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程而言，這個(gè)偶然卻是必然之中的偶然。事實(shí)上，在康托之前，就有人在認(rèn)真地探討無限集的比較問題。當(dāng)然，這并不能抹殺康托的功績?？低惺堑谝粋€(gè)全面沖破了過去陳舊觀念束縛的人，因而才有了真正意義的創(chuàng)新并成功的建立了新的理論。2.5集合論的作用 首先，由于集合論的建立，提供了在一定的邏輯基礎(chǔ)上分析無限（集）的方法。因此，人們對(duì)無限集以及在無限集上的各種結(jié)構(gòu)關(guān)系的研究可以不斷深化。從而涉及的無限次集合運(yùn)算的測(cè)度理論被建立起來，這成為建立實(shí)變函數(shù)，泛函分析，現(xiàn)代概率論以

18、及其它一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論分支的基石。 其次，當(dāng)人們不再以恐懼的心理躲避無限集以后，將數(shù)學(xué)研究的對(duì)象描述成具有一定結(jié)構(gòu)的集合，便成為自然而合理的選擇。于是，集合論為絕大部份數(shù)學(xué)理論分支提供了可以統(tǒng)一使用的語匯，集合語言也就成了幾乎所有經(jīng)典理論數(shù)學(xué)的統(tǒng)一語言。 最后，在相當(dāng)廣泛地意義上，集合之間關(guān)系恰好反映了命題（函項(xiàng)）之間的邏輯關(guān)系。如果說人們一直在追求著數(shù)學(xué)在邏輯上的嚴(yán)密性，那么建立在集合論基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)就幾乎接近了人們所期待的標(biāo)準(zhǔn)。 綜合上述理由，人們認(rèn)為集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)也確是有道理的。 當(dāng)然，集合論并沒能為整個(gè)數(shù)學(xué)提供終極的基礎(chǔ)，它也有一定的局限性。但若是抱著一種較為合理而不過分的期望，

19、集合論為數(shù)學(xué)發(fā)展所提供的平臺(tái)也算是相當(dāng)牢固和寬廣的。3集合語言與命題函項(xiàng)上一節(jié)曾指出，標(biāo)準(zhǔn)極限理論的產(chǎn)生，使得原來數(shù)學(xué)中的量的變化過程被轉(zhuǎn)化成靜態(tài)的有結(jié)構(gòu)關(guān)系的集合。于是，數(shù)學(xué)所考察的大量對(duì)象也都被描述成了集合。于是集合論便為一般的數(shù)學(xué)分支提供了統(tǒng)一可用的語匯。這也是為何有人稱集合論是一種語言的原因。但是，如何具體描述一個(gè)集合呢？有人說，集合的引入簡化了許多邏輯關(guān)系。這話有一定的道理。但是，這一點(diǎn)是建立在能夠正確描述集合的基礎(chǔ)上的。如果不能正確地描述集合，或是不能正確理解對(duì)集合的描述，那么集合的引入不僅不能使數(shù)學(xué)中的邏輯關(guān)系清晰和簡明，反而會(huì)帶來大量的混亂。事實(shí)上我們?cè)谝恍┪墨I(xiàn)中，經(jīng)常會(huì)見到不

20、規(guī)范的集合描述，從而引起不必要的歧義和誤解。為了說明集合表示方法，有必要介紹一點(diǎn)邏輯常識(shí)。3.1邏輯學(xué)中的幾個(gè)概念（1）邏輯連接詞與復(fù)合句一般將一個(gè)完整的簡單陳述句稱為簡單句。比如，“是奇數(shù)”就是一個(gè)簡單句。將若干個(gè)簡單句連接起來可以組成一個(gè)復(fù)合的句子，比如，“是奇數(shù)并且是的倍數(shù)”。此外我們還將一個(gè)簡單句的否定形式稱為復(fù)合句。在把一些簡單句組合成一個(gè)復(fù)合句子時(shí)主要是利用一些連詞。在現(xiàn)代符號(hào)邏輯中，規(guī)定了一些特定的符號(hào)來代替常用的連詞，這些符號(hào)的引入使復(fù)雜句子的形式相對(duì)簡潔，更為重要的是有助于對(duì)句子之間的形式關(guān)系進(jìn)行程式化的分析，從而使邏輯代數(shù)化。常見的邏輯連接詞有如下幾種：否定詞（用符號(hào)表示）

21、，其作用相當(dāng)于自然語言中的“不是”，“非”。例如，“不屬于”，就可以用邏輯符號(hào)記為（當(dāng)然也可以用表示）。析取詞（用符號(hào)表示），相當(dāng)于自然語言中的關(guān)聯(lián)詞“或者”。比如語句“屬于或者屬于”就可以完全符號(hào)化為： 。合取詞（用符號(hào)表示），其作用相當(dāng)于自然語句中的關(guān)聯(lián)詞“而且”。比如，語句“屬于且屬于”可用符號(hào)表示為：。蘊(yùn)涵詞（用符號(hào)表示），其作用相當(dāng)于自然語言中的關(guān)聯(lián)詞“若則”，“如果，那么”。比如語句：“如果，那么”可用符號(hào)表示為 。邏輯聯(lián)結(jié)詞之間也有一種順序，直觀地說，順序體現(xiàn)的是這些聯(lián)結(jié)詞與其它符號(hào)的“親和力”。比如“”其實(shí)意味著這樣的理解。一般地，親和力最強(qiáng)的是，然后依次是、。例如語句：“如果

22、是有理數(shù)而且是整數(shù)，那么不是實(shí)數(shù)”可表示為：。當(dāng)與是表達(dá)正確（即合乎語法要求）的句式時(shí)，那么也都是表達(dá)正確的句式。由此，利用上述邏輯聯(lián)詞，我們可以組成各種復(fù)雜的復(fù)合句式。（2）命題與命題函項(xiàng)一個(gè)能判斷真假的陳述句稱為一個(gè)命題。比如：“是一個(gè)偶數(shù)”就是一個(gè)命題，且是真命題?，F(xiàn)考察下面的陳述：是一個(gè)偶數(shù)。如果我們將“（ ）是一個(gè)偶數(shù)”這個(gè)缺失主語的句式簡記為，那么前一陳述句就可以表示為，后一陳述句可表為。正如前述是一真命題，但是卻不能判斷真假，因?yàn)槲覀儾恢朗鞘裁?。我們將這里的稱為個(gè)體變?cè)?，自然?shù)稱為個(gè)體常元。直觀理解，個(gè)體變?cè)硎疽粋€(gè)未定個(gè)體，在本質(zhì)上與是一樣的，都缺失明確而具體的主語。而所謂的

23、個(gè)體常元?jiǎng)t是一個(gè)具體而明確的對(duì)象。象這樣的句式，不能判斷真假，故不是一個(gè)命題。但若以一個(gè)個(gè)體常元，比如來代換中的便得一命題，我們知道是假命題。與函數(shù)表達(dá)式有類似之處，比如，經(jīng)常表示一個(gè)“函數(shù)”，而不是數(shù)。但若以常元代換，便得一具體的數(shù)。源于這種相似處性，我們稱這種句式為“命題函項(xiàng)”（或命題函數(shù)）。除了含有一個(gè)個(gè)體變?cè)?hào)的命題函項(xiàng)，還有含若干個(gè)個(gè)體變?cè)暮?xiàng)，比如，“小于”就是含兩個(gè)變?cè)拿}函項(xiàng)，將它簡記為。顯然，只有當(dāng)與都被個(gè)體常元（實(shí)數(shù)）代換之后，才會(huì)得一命題。（3）量詞是否有個(gè)體變?cè)?hào)的句式就一定不是命題呢？不是的。比如，“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都小于”就是一個(gè)命題，它是假命題。再比如，“存在

24、一個(gè)實(shí)數(shù)小于”是一個(gè)真命題?？瓷先ィ@兩個(gè)句式中也有個(gè)體變?cè)?，為什么它們?huì)成為命題呢？這可以從兩個(gè)角度來分析。以第一句為例，它可以有兩種解釋：（1）“是實(shí)數(shù)中最大的”、；（2）“實(shí)數(shù)集中每個(gè)元都小于”。按第（1）個(gè)解釋，這是對(duì)“”所下的一個(gè)判斷，按第（2）個(gè)解釋，則是將整個(gè)實(shí)數(shù)集作為形式主語。也就是說這些句式并非是對(duì)一個(gè)個(gè)體變?cè)率裁磁袛唷?數(shù)理邏輯中規(guī)定了兩個(gè)特別的符號(hào)：，它們稱為“量詞符號(hào)”。其中“”表示存在，“”表示“任意一個(gè)”（或“對(duì)于任意一個(gè)”）。比如，就表示“任意，小于”，這里“”（或“”）稱為一個(gè)量詞。在組成復(fù)雜句式時(shí)，量詞有十分重要的作用。假設(shè)是一個(gè)表達(dá)正確的句式，則也都是表達(dá)

25、正確的句式（表達(dá)正確意指合于規(guī)定語法，并不意味命題本身的真）。在有量詞的句式中，特別要提到量詞的轄域。以“”為例，后面括號(hào)中的與中的是表示同一對(duì)象的，于是在這個(gè)句式中的都在量詞“”的轄域之內(nèi)。一般規(guī)定，量詞的轄域包括量詞本身以及緊連量詞的那個(gè)括號(hào)內(nèi)的符號(hào)系列。比如，在中的就不屬于量詞“”的轄域。另外，還要特別注意的量詞的順序。下面兩個(gè)句子說明了量詞順序的重要性。設(shè)論域是人類，（是的父親）。它的日常語言表示為：每個(gè)人有一父親。（是的父親），它的日常語言表示為：有一人是每個(gè)人的父親。讀者不難看出這兩個(gè)命題的重大差異，盡管它們只是顛倒了兩個(gè)量詞的順序。如果一個(gè)變?cè)?hào)在某個(gè)量詞或的轄域之內(nèi)，這個(gè)變?cè)?/p>

26、就稱為約束變?cè)?，不是約束變?cè)淖冊(cè)Q為自由變?cè)?。如果一個(gè)句式中沒有自由變?cè)?，就稱為“封閉句式”，或簡稱為“閉式”。從前面的例子，讀者可以看出，一個(gè)正確表達(dá)的“閉式”就是一個(gè)“命題”。在通常情況下一個(gè)含有自由變?cè)木涫剑ó?dāng)然其表達(dá)方式要正確）就是一個(gè)命題函項(xiàng)而非一個(gè)命題。只有在特殊情況下，比如對(duì)特定的論域，由于該論域自身特殊性質(zhì)的限定，使某些含自由變?cè)木涫接袝r(shí)也能被看成命題。比如，以自然數(shù)集為論域，句式（）就在某些場(chǎng)合下被認(rèn)為是一個(gè)命題，但這個(gè)句式作為命題應(yīng)等價(jià)于閉式“”，或者說它只是看作（）的一種簡寫形式。另外，在數(shù)理邏輯中必約定，當(dāng)中有自由變?cè)?，又要將其看成命題，那么它就等價(jià)于。3.2.集

27、合表示方法表示一個(gè)具體集合的方法視情況而定，大體有兩種方式。（1）描述法（或概括原則）。這是最常見也是最正規(guī)的方式方法。它的標(biāo)準(zhǔn)形式為：或| （1）其中是一個(gè)個(gè)體變?cè)?hào)，是僅以為自由變?cè)拿}函項(xiàng)（在形式上是一個(gè)正確表達(dá)的只含有一個(gè)自由變?cè)木涫剑?，而且不是命題。當(dāng)我們將一個(gè)具體對(duì)象，比如說是“8”（個(gè)體常項(xiàng)），代換中得到一命題。若真，則對(duì)象“8”就是上述所表示集合的元素：若為假，“8”就不是該集合的元素。在利用描述法表示一集合時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：），與；都是不正確的，容易引起誤解。在與之間只能用冒號(hào)或豎線來分隔。）一般來說，在（1）式中的只能有且必須有一個(gè)自由變?cè)?。考察下面公式（設(shè)論域?yàn)樽?/p>

28、然數(shù)集）：與：（）顯然前者是自然數(shù)集，而后者卻沒有給出任何具體的集合。再如：也沒有給出明確的集合。前面的問題出在（）無自由變?cè)?，本身是一命題，而后者多一個(gè)自由變?cè)词箤⒋鷵Q為常元，仍然無法判定真假。在有特別約定的情況下，：這樣的表示也可能是有意義的。比如我們?cè)谛形闹腥粲腥缦卤硎觯骸皩?duì)任意，記”，這時(shí)的表達(dá)式是有意義的，但的確定要由的具體取法所決定。事實(shí)上，上述的整段話是在規(guī)定一族集合，而不是一個(gè)集合。其中是在：之外來確定的。）在表示坐標(biāo)平面的坐標(biāo)集（或平面中點(diǎn)的集合）時(shí)，會(huì)有如下表示方式 （2）事實(shí)上，這個(gè)表示等價(jià)于 （3）所以（2）式可以看成是（3）的簡化形式。當(dāng)然，以（2）來表達(dá)是可以的

29、，但要注意，當(dāng)表達(dá)集合中一個(gè)元素時(shí)，若出現(xiàn)了個(gè)變?cè)?hào)，那么對(duì)應(yīng)的命題函項(xiàng)中也就應(yīng)當(dāng)有同樣多的自由變?cè)?hào)。比如（2）式中的就是由兩個(gè)變?cè)?hào)表示的元素，集合表示中的命題函項(xiàng)“”就是兩個(gè)自由變?cè)Ｓ懻擃}：設(shè)論域是實(shí)數(shù)集合，試討論下面的表達(dá)方式是否明確描述了一個(gè)集合。設(shè)是由一些實(shí)數(shù)組成的集合，（4）（5）（2）列舉法。嚴(yán)格說來，列舉法不是很正規(guī)的方法，但卻常用。在滿足如下條件時(shí)我們可以用列舉法表示集合：所需表示的集合中的對(duì)象非常明確；集合中的元素有限且很少，或者盡管無限但元素之間有明確的規(guī)律性關(guān)系。比如知道所要表示的集合是“數(shù)”的集合，那么就表示由三個(gè)數(shù)所組成的集；表示由正偶數(shù)組成的集合。這里提

30、到“集合中的對(duì)象非常明確”這一點(diǎn)是必要的?？疾煜旅鎯蓚€(gè)表示：與。這兩個(gè)集合是否是相同的呢？再比如北京，中國的首都與北京是否是相同的集合呢？如果不能明確所要表示的對(duì)象是什么，上述問題是無法準(zhǔn)確回答的。如果是表達(dá)“數(shù)字符號(hào)”的集合，那么前者有個(gè)符號(hào)，而后者卻只有個(gè)符號(hào)，這兩個(gè)集合是不相同的。第二個(gè)問題的判定也存在類似之處，讀者可自己辨析。（3）關(guān)于描述法的簡化。在一些文獻(xiàn)中會(huì)出現(xiàn)一種描述法的簡化形式，比如用“實(shí)數(shù)”表示“：是實(shí)數(shù)”。一般說來，在前后文中能夠使讀者確切知道這種表示就是描述法的簡化形式。利用這種表達(dá)方式也是可以的，但是在多數(shù)情況下，這種簡化方式會(huì)引出歧義和混亂，所以應(yīng)當(dāng)慎用。i）如果沒

31、有明確的背景，實(shí)數(shù)可以導(dǎo)致三種不同的理解：由所有實(shí)數(shù)組成的集；由“實(shí)數(shù)”這個(gè)概念（或名詞）組成的單元集；由所有實(shí)數(shù)組成的集為元素構(gòu)成的集。ii）當(dāng)所論數(shù)學(xué)內(nèi)容涉及多層次集合時(shí)（如拓?fù)鋵W(xué)、集合論等），上述簡化表達(dá)極易造成集合層次的混亂，從而出現(xiàn)邏輯混亂。（4）關(guān)于相異性原則。集合論研究的是如何為集合中元素計(jì)數(shù)的問題，也就是如何比較不同集合之間元素多少的問題。因此，如果同一個(gè)對(duì)象作為一個(gè)集合中的元素被兩種或兩種以上不同的方式表示，決不可將這個(gè)對(duì)象看成兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素，而只能作為一個(gè)元素。比如在：是三國時(shí)期的歷史人物這個(gè)集合中，“孔明”與“諸葛亮”作為歷史人物只能是一個(gè)，也就是上述集合中的一個(gè)元

32、素。再比如，對(duì)任意自然數(shù)，以自然數(shù)為元素的集合中，當(dāng)取時(shí)，集合就只是一個(gè)單元素集合。相異性原則的根本含義是：不能將同一元素重復(fù)計(jì)算成多個(gè)元素。這個(gè)原則并不妨礙在表達(dá)時(shí)，可能對(duì)同一元素給出不同的描述。重要的問題是，明確集合的組成對(duì)象，并能區(qū)別其對(duì)象的異同。讀者將會(huì)看到，在集合論內(nèi)容展開過程中，元素的重復(fù)表示是難以避免的。4.集論語言與數(shù)學(xué)概念我們?cè)谇懊嬖赋?，集合論的建立是?shù)學(xué)發(fā)展的需要，同時(shí)它也為數(shù)學(xué)提供了充分多的對(duì)象模型和語匯，從而使數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可以被描述成靜態(tài)的、能夠進(jìn)行邏輯分析的對(duì)象。本節(jié)將介紹一些十分重要的數(shù)學(xué)概念，它們都是用純粹集論語言定義的。當(dāng)我們說“集合”概念是在數(shù)學(xué)中不定義的

33、基本概念時(shí)，往往意味著其它沒有被稱為基本概念的數(shù)學(xué)概念，應(yīng)當(dāng)是被定義的。又因?yàn)橹挥小凹稀保òā啊保┎欢x，那么，其它的對(duì)象也只能由“集合”來定義。我們已經(jīng)十分熟悉一些數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象被描述成集合，比如說各種數(shù)的集合、各種曲線等等。但是，當(dāng)我們建立這些對(duì)象的時(shí)候，卻是為了研究這些集合之間以及集合元素之間的關(guān)系，比如運(yùn)算、順序、映射等等。換句話說，這些關(guān)系往往是數(shù)學(xué)所要研究的更重要的“對(duì)象”。那么，什么是關(guān)系呢？在日常生活中，“關(guān)系”一詞的含義十分廣泛，如果一定要解釋其含義也要用到與其意思相同的其它詞匯，所以也都是意會(huì)。在數(shù)學(xué)中，人們所具體考慮的是數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系，而數(shù)學(xué)對(duì)象又往往被描述為集

34、合。所以數(shù)學(xué)中所說的“關(guān)系”也只是集合之間的關(guān)系。那么，如何利用集合概念定義關(guān)系概念呢？考慮一個(gè)正常生活的例子。比如說“夫妻關(guān)系”，當(dāng)我們說某人與某人是夫妻關(guān)系時(shí)，即表明這兩個(gè)人有夫妻關(guān)系。但“夫妻關(guān)系”本身當(dāng)如何解釋呢？其實(shí)“夫妻關(guān)系”也就是所有夫妻所具有的共同的關(guān)系（屬性）。如果將所有的“夫妻”都列舉出來，也就將“夫妻關(guān)系”的含義窮盡了。而所有的“夫妻”也構(gòu)成一個(gè)集合，比如我們記為男人集合，為女人集合，并且與是夫妻這個(gè)就可以表示“夫妻關(guān)系”這個(gè)概念（的外延）了。利用外延（往往是一個(gè)集合）來定義一個(gè)概念，是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要定義方法。下面我們先給出一些準(zhǔn)備概念，這些概念在數(shù)學(xué)中也是常用的。4.

35、1定義 （序偶與無序偶） 集合被記為，稱為由構(gòu)成的序偶，集合稱為無序偶。不難驗(yàn)證當(dāng)且僅當(dāng)，這也是稱為序偶的原因，它強(qiáng)調(diào)的順序是很重要的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)。4.2定義（笛卡爾積），是集合，集合稱為與的笛卡爾乘積，也常簡稱為集合與的乘積。雖然在正式的定義中，有序點(diǎn)組以及個(gè)集合的笛卡爾積是歸納定義的，比如，.但本書在這里將不拘泥于過份嚴(yán)格的形式化描述，我們只規(guī)定當(dāng)且僅當(dāng)。并由此規(guī)定并約定注：如果按正式定義，感興趣的讀者可以檢查，一般情況下，與中的元素是不相同的。但在本書中，這樣的區(qū)別沒有什么意義。為了方便，我們給出了上面的約定。但按正式定義方式，讀者可以體會(huì)到像元有序組，也被定義為一個(gè)集合了。我們還可以引入

36、無限多個(gè)集合的笛卡爾集。記并規(guī)定 當(dāng)且僅當(dāng) 。于是特別的，如果每個(gè)，則記其實(shí)表示的是一個(gè)點(diǎn)列，則表示由中的元所能組成的所有點(diǎn)列的集合。4.3定義（關(guān)系） 設(shè)是集合，是的一個(gè)子集，則稱是與之間的一個(gè)關(guān)系。如果則稱是集上的一個(gè)關(guān)系。4.4定義 設(shè) ，記 與分別稱為關(guān)系的定義域和值域；稱為關(guān)系的逆關(guān)系，顯然它是與之間的關(guān)系；稱為關(guān)系與關(guān)系的復(fù)合關(guān)系，易知是與之間的關(guān)系。4.5定義 （關(guān)系的限制與遺傳） 設(shè)是與之間的關(guān)系，記 稱為關(guān)系在與上的限制。，稱為在上的限制。特別地，當(dāng)時(shí)，稱為關(guān)系在上的遺傳關(guān)系，或稱之為關(guān)系在上的遺傳關(guān)系。我們還引入一些記法，目的是為了有時(shí)在敘述上的方便和直觀。當(dāng)時(shí)，我們也記成

37、，若記另外，記 ，稱為的對(duì)角線，也稱上的恒同關(guān)系。當(dāng)集合是確定的時(shí)，可簡記為。因?yàn)榭偸浅闪⒌模士梢钥闯膳c之間的一個(gè)關(guān)系，成為空關(guān)系，其實(shí)“空關(guān)系”所表示的是什么也沒有的“關(guān)系”。注意到當(dāng)有很多元素時(shí)，與之間的關(guān)系也會(huì)有很多的。因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，不難看出，當(dāng)時(shí)等等也都是與之間的關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，有許多關(guān)系是令人感興趣的。但有幾類關(guān)系是我們常要探討和應(yīng)用的。本節(jié)著重介紹三種類型重要的關(guān)系，它們分別是：（1） 映射；（2）一個(gè)集合上的等價(jià)關(guān)系；（3）一集合上的序關(guān)系。1. 關(guān)于映射映射（或函數(shù)）概念是數(shù)學(xué)中一個(gè)核心的概念。幾乎所有的數(shù)學(xué)問題都與映射有關(guān)。比如，數(shù)學(xué)分析就是以“分析函數(shù)”為其主要課題。下面

38、給出純集論語言的映射定義。4.6定義（映射） 若關(guān)系滿足1）；2）則稱是到的一個(gè)映射，當(dāng)是到的映射時(shí)，記為 （或）。另外，我們也用記法或者（在不會(huì)引起歧義時(shí)簡記為）表示（或）?；仡欉^去“映射”定義中用到的“對(duì)應(yīng)法則”，在這里已經(jīng)被一個(gè)滿足兩個(gè)條件的“關(guān)系”所替代了，而這個(gè)“關(guān)系”其實(shí)是一個(gè)集合。兩個(gè)映射與是否相等完全決定于作為集合的與是否相等。假設(shè)顯然，這里的命題函項(xiàng)相當(dāng)于“對(duì)應(yīng)法則”的描述，如果它們不同，可能意味著“對(duì)應(yīng)”的操作程序（算法）不一定相同。但是如果，那么兩個(gè)映射就是相同的。這樣的處理便清除了由“對(duì)應(yīng)法則”的不同理解而造成的爭議。由于映射也是關(guān)系，所以前面關(guān)于值域，復(fù)合，限制等概念

39、也都適用于映射，這里不再單獨(dú)說明了。但是映射作為一種關(guān)系的逆關(guān)系卻不見得是映射。4.7定義 若映射滿足則稱是一個(gè)單射；若，則稱為滿射；當(dāng)是既單且滿的映射時(shí)，稱是一雙射。若存在集到的雙射，稱與是集同構(gòu)的，也稱與是等勢(shì)的（關(guān)于勢(shì)的概念在后面將專門討論）。讀者很容易證明下面的結(jié)論。4.8命題：映射的逆關(guān)系是映射當(dāng)且僅當(dāng)是一個(gè)雙射。為了不引起歧義，只有當(dāng)是映射時(shí)，我們才用這樣的記法表示。如果不是映射，則表示集合。在應(yīng)用符號(hào)時(shí)，應(yīng)對(duì)其含義作必要的交待。若， 記。稱為在之下的像集，稱在映射之下的原像集。注意：當(dāng)且時(shí)，所表示的對(duì)象是完全不同的，前者是中的元素，后者是的一個(gè)子集。對(duì)任意的，是到的一個(gè)映射。當(dāng)我

40、們將看作映射時(shí)，記為，稱為恒同映射。顯然對(duì)任意，。當(dāng)與是集合時(shí)，引入如下集合：稱之為到的映射集。當(dāng)時(shí)，我們記對(duì)任意，是到二元集的一個(gè)映射。記，顯然且滿足現(xiàn)對(duì)的任意一個(gè)子集，定義一個(gè)映射稱是子集的特征映射（作為的子集）。當(dāng)明確所論子集是哪個(gè)集合的子集時(shí)，的特征映射可簡記為。由前面的討論可知，任意，是子集的特征映射。4.9命題：是集合，則與的冪集合等勢(shì)。證明：定義，任取，。由前面的討論，易于驗(yàn)證是一雙射。由于任何集合的子集可由該子集的特征映射所唯一確定，因此人們經(jīng)常用特征映射來表示一個(gè)子集，并將映射集與的冪集合同樣看待。2. 集上的等價(jià)關(guān)系與元素的分類我們?cè)谡J(rèn)識(shí)的過程中往往要按一定的性質(zhì)將對(duì)象加以

41、分類。設(shè) 滿足條件：=，且中兩個(gè)不同的元素都是不相交的集合，則稱是的一個(gè)分劃。如果我們認(rèn)為分在一個(gè)類（是的子集）中的元素是相關(guān)的，我們就在上定義了一個(gè)關(guān)系，反過來，這個(gè)關(guān)系也可以決定的一個(gè)分劃。那么能夠決定的一個(gè)分劃的關(guān)系應(yīng)當(dāng)滿足什么條件呢？下面引入此種類型關(guān)系的定義。4.10定義 設(shè)，1）；2）；3）。則稱是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。其中1），2），3）分別稱為自反性，傳遞性和對(duì)稱性。4.11 例 (1) 設(shè)，考慮下列上的關(guān)系。不難驗(yàn)證與不是等價(jià)關(guān)系，與是等價(jià)關(guān)系。(2)設(shè)，則是實(shí)數(shù)集上的等價(jià)關(guān)系上面曾經(jīng)講過，定義上的等價(jià)關(guān)系是為了將的元素進(jìn)行分類?，F(xiàn)假設(shè)是上的等價(jià)關(guān)系，記（當(dāng)已明確，可將簡記為）稱

42、為元素所在的等價(jià)類（或所在的等價(jià)類）。設(shè)與如上所述，容易驗(yàn)證下列事實(shí)（1）當(dāng)且僅當(dāng)；（2）當(dāng)且僅當(dāng)；（3）記，則。這里的稱為關(guān)于關(guān)系的商集。上面的（2）與（3）表明商集恰好構(gòu)成了的一個(gè)分劃。反之，前面曾說明，若給定的一個(gè)分劃，可利用分劃定義上的一個(gè)關(guān)系（分在同一類的兩個(gè)元相關(guān)）。讀者不難驗(yàn)證，由此分劃定義的關(guān)系也一定是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。3. 在集合上定義序關(guān)系順序關(guān)系是數(shù)學(xué)所要探討的一種重要的結(jié)構(gòu)關(guān)系。但順序關(guān)系的結(jié)構(gòu)類型是非常多的。抽象出其中共同特點(diǎn)便產(chǎn)生了順序結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)定義。4.12定義（序與序集）設(shè)是集合上的關(guān)系，滿足1），即；2），即則。稱是上的偏序關(guān)系，稱為一個(gè)偏序集。在序關(guān)系是已確定的

43、時(shí)候，“偏序集”也簡稱為“偏序集”，偏序集也可簡稱為序集。上述定義的偏序關(guān)系可以稱為嚴(yán)格序關(guān)系，即沒有反身性。人們習(xí)慣于用嚴(yán)格小于號(hào)表示這樣的關(guān)系，比如以表示一個(gè)上定義的嚴(yán)格序關(guān)系。但也有人樂于用不嚴(yán)格的序關(guān)系。比如當(dāng)或表示一個(gè)嚴(yán)格的偏序關(guān)系時(shí)，我們可以用或表示上的不嚴(yán)格偏序。我們有下面一個(gè)簡單的命題4.13命題：設(shè)是上的一個(gè)關(guān)系且，若是上的一個(gè)嚴(yán)格偏序關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件：1）；2）若則；3）若，則。證明留作練習(xí)。正是由于4.13命題所給出的這樣一種關(guān)系，有些文獻(xiàn)也以4.13命題中的三個(gè)條件作為偏序關(guān)系所應(yīng)滿足的性質(zhì)。不難看出，滿足這些條件的關(guān)系相當(dāng)于不嚴(yán)格序關(guān)系。就如我們平時(shí)在談?wù)摂?shù)的

44、大小關(guān)系時(shí)，有時(shí)用嚴(yán)格不等號(hào)“”，有時(shí)用不嚴(yán)格不等號(hào)“”。在本書中，我們經(jīng)常用或表示一個(gè)序集，其中“”則表示滿足定義4.12中所列條件的嚴(yán)格偏序關(guān)系，而“”則表示不嚴(yán)格序關(guān)系（滿足4.13命題中的三個(gè)條件）。4.14例：設(shè)是閉區(qū)間上的所有連續(xù)函數(shù)所組成的集合可以驗(yàn)證和都是偏序關(guān)系（嚴(yán)格），但不是偏序關(guān)系。因?yàn)榇嬖诤瘮?shù)，即且，但。注：只滿足4.13命題中的第1）與第2）個(gè)條件。一般稱這樣的關(guān)系為預(yù)序關(guān)系。本書不專門討論這類關(guān)系。我們可以看出上面的關(guān)系所定義的順序并不能將中的元都排出大?。ɑ蛳群螅?，這也是這樣的序被稱為偏序（或部分序）關(guān)系的原因。注：當(dāng)我們說等是序集時(shí)，其中的符號(hào)4.15定義 是一

45、個(gè)序集，若對(duì)任意與中至少有一個(gè)成立，則稱是一個(gè)全序集。全序集也稱為線性序集。任何實(shí)數(shù)的子集，按通常數(shù)的大小關(guān)系都構(gòu)成一個(gè)全序集。但在高等數(shù)學(xué)中，我們會(huì)遇到大量并非全序集的序集。4.16定義 設(shè)是一個(gè)序集，若任取成立（或），則稱是中最大元（或最小元）；若任取且（或）稱是中的極小元。如果中有最大元（或有最小元），以（或）表示中最大元（或最小元）。此外，設(shè)與如4.16定義中所述，記與分別稱為的上界集和下界集。若有最小元，記為，稱為的上確界；若有最大元，記為，稱為的下確界。對(duì)于序集的一個(gè)子集而言，是否存在它的最大元（最小元）、極大元（極小元）、上確界（下確界），要視序集的具體情況才能確定。一般而言，一

46、個(gè)序集（子集）的極大元不一定是其最大元，但若它有最大元，那么它的最大元一定是一個(gè)極大元，同時(shí)也是其上確界。不過對(duì)一個(gè)全序集而言，它的極大元也就是它的最大元（練習(xí)）。對(duì)集合論而言，最重要的序關(guān)系之一是良序關(guān)序。下節(jié)將專門介紹良序關(guān)系。5良序集，歸納法與自然數(shù)5.1定義 設(shè)是一個(gè)全序集，若的任意非空子集中都有最小元，則稱為良序集，序關(guān)系“”稱為一個(gè)良序關(guān)系。5.2例 依據(jù)我們過去了解的關(guān)于數(shù)的大小關(guān)系，正整數(shù)集是一個(gè)良序集，有理數(shù)集，整數(shù)集，整數(shù)集，實(shí)數(shù)集的任何一個(gè)非退化區(qū)間都不是良序集。良序集最重要的特點(diǎn)之一是它與歸納法有著本質(zhì)性的聯(lián)系。5.2定理 設(shè)是一個(gè)只含為自由變?cè)拿}函項(xiàng)，是一個(gè)良序集

47、。記是中的最小元，如果）成立；）由任意成立，可推得成立，那么對(duì)任意中的元，成立。注：按5.2定理中的符號(hào)約定，關(guān)于歸納法的較為形式化的表述如下：。證明：反證，若存在不成立，則取。顯然，因?yàn)槭鞘共怀闪⒌淖钚≡?，故?duì)任意成立。但由）應(yīng)有成立，矛盾。 良序集的這種歸納性質(zhì)，為我們研究良序集的結(jié)構(gòu)提供重要的途徑。理論數(shù)學(xué)的內(nèi)容中，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)分類是十分重要的部分。那么什么是結(jié)構(gòu)分類呢？就是將結(jié)構(gòu)相同的分為一類。比如兩個(gè)實(shí)數(shù)域上的向量空間如果都是維的，就是同構(gòu)的向量空間。在線性代數(shù)的研究領(lǐng)域內(nèi)，同構(gòu)的向量空間就可以看成是一樣的對(duì)象了。那么序集的同構(gòu)是什么含義呢？5.3定義 設(shè)與是兩個(gè)序集，映射稱為序

48、同態(tài)（或保序映射），如果。一個(gè)序同態(tài)稱為序同構(gòu)（映射），如果是雙射，且逆映射也是序同態(tài)。若存在到的同構(gòu)映射，稱序集與是同構(gòu)的。思考題：構(gòu)造兩個(gè)偏序集，它們之間存在一個(gè)是雙射的序同態(tài)，但這個(gè)序同態(tài)不是同構(gòu)。顯然序集的同構(gòu)滿足自反性，傳遞性和對(duì)稱性。5.4命題 如果與都是全序集，一個(gè)序同態(tài)若是雙射，則必是序同構(gòu)映射。證明作為練習(xí)。5.4例 考慮開區(qū)間與上的實(shí)數(shù)大小關(guān)系，它們都是全序集。但是我們看到顯然僅僅是前面的一段，但它們又是同構(gòu)的。因?yàn)閷?duì)應(yīng)就定義了到的一個(gè)同構(gòu)。從直觀上講，如果不考慮距離（度量）因素，僅僅從排隊(duì)的結(jié)構(gòu)上看，與是一樣的。換句話說，對(duì)一般的全序集而言，我們不能僅僅從序結(jié)構(gòu)的角度建立

49、起比較它們“長短”的標(biāo)準(zhǔn)。但是良序集卻都不同。為了方便敘述，我們引出一些概念。5.5定義 設(shè)是一個(gè)全序集，若，滿足：當(dāng)且時(shí)，便，則稱是的前段。如果H還是L的真子集時(shí)，稱H是L的真前段。又若存在，使得，則記，并稱是由所確定的前段。5.6命題 若是良序集，是的一個(gè)真前段，則存在使得。證明：取，易知。前面的5.4例說明，有些全序集可以與它的一個(gè)前段同構(gòu)。但對(duì)良序集，這樣的現(xiàn)象是不會(huì)發(fā)生的。我們還將要證明：任意兩個(gè)良序集，如果它們不同構(gòu)，那么必有一個(gè)與另一個(gè)的前段同構(gòu)。也就是說良序集是可以僅僅通過其序結(jié)構(gòu)比較“長短”的。為此我們先討論良序集的一些性質(zhì)。5.6命題 設(shè)與是兩個(gè)同構(gòu)良序集，則由到的序同構(gòu)映

50、射是唯一的。證明：設(shè)與都是到的序同構(gòu)。若，則令。顯然不是的最小元。不妨設(shè)，因?yàn)榍铱芍?，即不是滿射，矛盾。5.7命題 是良序集，是一個(gè)保序的單射，則對(duì)任意的。證明：反證若不空，取其最小元，因?yàn)橛谑恰＿@與是最小元矛盾。5.8引理 設(shè)，是良序集（1）良序集不能與其真前段同構(gòu)；（2）若是同構(gòu)，則對(duì)任意是同構(gòu)；（3）任取，若存在，使得同構(gòu)，則是唯一的。（4），若同構(gòu)，同構(gòu)且。證明：（1）設(shè)，若與同構(gòu)，則有同構(gòu)映射，記是包含映射，則是單射且是序同態(tài)，但，即，與5.7命題的結(jié)論矛盾。（2）由同構(gòu)及限制映射的定義直接可驗(yàn)證。（3）這個(gè)結(jié)論是（1）的直接推論。（4）由前面的結(jié)論可直接推得。 5.9定義 若良序集同構(gòu)與良序集，我們記，若同構(gòu)