關(guān)于高斯平滑濾波器

1、高斯濾波器是一類根據(jù)高斯函數(shù)的形狀來(lái)選擇權(quán)值的線性平滑濾波器。高斯平滑濾波器對(duì)于抑制服從正態(tài)分布 的噪聲非常有效。一維零均值高斯函數(shù)為： g(x)=exp( -x2/(2 sigma2) 其中，高斯分布參數(shù)Sigma決定了高斯函數(shù)的寬度。 對(duì)于圖像處理來(lái)說(shuō)，常用二維零均值離散高斯函數(shù)作平滑濾波器。 高斯函數(shù)具有五個(gè)重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)使得它在早期圖像處理中特別有用這些性質(zhì)表明，高斯平滑濾波器無(wú)論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，且在實(shí)際圖像處理中得到了工程人員的有效使用高斯函數(shù)具有五個(gè)十分重要的性質(zhì)，它們是： （1）二維高斯函數(shù)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，即濾波器在各個(gè)方向上的平滑程度是相同的

2、一般來(lái)說(shuō)，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前是無(wú)法確定一個(gè)方向上比另一方向上需要更多的平滑旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性意味著高斯平滑濾波器在后續(xù)邊緣檢測(cè)中不會(huì)偏向任一方向 （2）高斯函數(shù)是單值函數(shù)這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權(quán)均值來(lái)代替該點(diǎn)的像素值，而每一鄰域像素點(diǎn)權(quán)值是隨該點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離單調(diào)增減的這一性質(zhì)是很重要的，因?yàn)檫吘壥且环N圖像局部特征，如果平滑運(yùn)算對(duì)離算子中心很遠(yuǎn)的像素點(diǎn)仍然有很大作用，則平滑運(yùn)算會(huì)使圖像失真 （3）高斯函數(shù)的付立葉變換頻譜是單瓣的正如下面所示，這一性質(zhì)是高斯函數(shù)付立葉變換等于高斯函數(shù)本身這一事實(shí)的直接推論圖像常被不希望的高頻信號(hào)所污染(噪聲和細(xì)紋理)而所希望的圖像

3、特征（如邊緣），既含有低頻分量，又含有高頻分量高斯函數(shù)付立葉變換的單瓣意味著平滑圖像不會(huì)被不需要的高頻信號(hào)所污染，同時(shí)保留了大部分所需信號(hào) （4）高斯濾波器寬度(決定著平滑程度)是由參數(shù)表征的，而且和平滑程度的關(guān)系是非常簡(jiǎn)單的越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好通過(guò)調(diào)節(jié)平滑程度參數(shù)，可在圖像特征過(guò)分模糊(過(guò)平滑)與平滑圖像中由于噪聲和細(xì)紋理所引起的過(guò)多的不希望突變量(欠平滑)之間取得折衷 （5）由于高斯函數(shù)的可分離性，較大尺寸的高斯濾波器可以得以有效地實(shí)現(xiàn)二維高斯函數(shù)卷積可以分兩步來(lái)進(jìn)行，首先將圖像與一維高斯函數(shù)進(jìn)行卷積，然后將卷積結(jié)果與方向垂直的相同一維高斯函數(shù)卷積因此，二維高斯濾波

4、的計(jì)算量隨濾波模板寬度成線性增長(zhǎng)而不是成平方增長(zhǎng) 附1：圖像濾波概念 1 圖像濾波的基本概念 圖像常常被強(qiáng)度隨機(jī)信號(hào)（也稱為噪聲）所污染一些常見(jiàn)的噪聲有椒鹽（Salt & Pepper）噪聲、脈沖噪聲、 高斯噪聲等椒鹽噪聲含有隨機(jī)出現(xiàn)的黑白強(qiáng)度值而脈沖噪聲則只含有隨機(jī)的白強(qiáng)度值（正脈沖噪聲）或黑強(qiáng)度值（負(fù)脈沖噪聲）與前兩者不同，高斯噪聲含有強(qiáng)度服從高斯或正態(tài)分布的噪聲研究濾波就是為了消除噪聲干擾。 圖像濾波總體上講包括空域?yàn)V波和頻域?yàn)V波。頻率濾波需要先進(jìn)行傅立葉變換至頻域處理然后再反變換回空間域還原圖像，空域?yàn)V波是直接對(duì)圖像的數(shù)據(jù)做空間變換達(dá)到濾波的目的。它是一種鄰域運(yùn)算，即輸出圖像中

5、任何像素的值都是通過(guò)采用一定的算法，根據(jù)輸入圖像中對(duì)用像素周圍一定鄰域內(nèi)像素的值得來(lái)的。如果輸出像素是輸入像素鄰域像素的線性組合則稱為線性濾波（例如最常見(jiàn)的均值濾波和高斯濾波），否則為非線性濾波（中值濾波、邊緣保持濾波等）。 線性平滑濾波器去除高斯噪聲的效果很好，且在大多數(shù)情況下，對(duì)其它類型的噪聲也有很好的效果。線性濾波器使用連續(xù)窗函數(shù)內(nèi)像素加權(quán)和來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波。特別典型的是，同一模式的權(quán)重因子可以作用在每一個(gè)窗口內(nèi)，也就意味著線性濾波器是空間不變的，這樣就可以使用卷積模板來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波。如果圖像的不同部分使用不同的濾波權(quán)重因子，且仍然可以用濾波器完成加權(quán)運(yùn)算，那么線性濾波器就是空間可變的。任何不是像

6、素加權(quán)運(yùn)算的濾波器都屬于非線性濾波器非線性濾波器也可以是空間不變的，也就是說(shuō)，在圖像的任何位置上可以進(jìn)行相同的運(yùn)算而不考慮圖像位置或空間的變化。 2 圖像濾波的計(jì)算過(guò)程分析 濾波通常是用卷積或者相關(guān)來(lái)描述，而線性濾波一般是通過(guò)卷積來(lái)描述的。他們非常類似，但是還是會(huì)有不同。下面我們來(lái)根據(jù)相關(guān)和卷積計(jì)算過(guò)程來(lái)體會(huì)一下他們的具體區(qū)別： 卷積的計(jì)算步驟： （1） 卷積核繞自己的核心元素順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度 （2） 移動(dòng)卷積核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方 （3） 在旋轉(zhuǎn)后的卷積核中，將輸入圖像的像素值作為權(quán)重相乘 （4） 第三步各結(jié)果的和做為該輸入像素對(duì)應(yīng)的輸出像素 相關(guān)的計(jì)算步驟： （

7、1）移動(dòng)相關(guān)核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方 （2）將輸入圖像的像素值作為權(quán)重，乘以相關(guān)核 （3）將上面各步得到的結(jié)果相加做為輸出 可以看出他們的主要區(qū)別在于計(jì)算卷積的時(shí)候，卷積核要先做旋轉(zhuǎn)。而計(jì)算相關(guān)過(guò)程中不需要旋轉(zhuǎn)相關(guān)核。 例如： magic(3) =8 1 6;3 5 7;4 9 2，旋轉(zhuǎn)180度后就成了2 9 4;7 5 3;6 1 8 三 高斯平滑濾波器的設(shè)計(jì) 高斯函數(shù)的最佳逼近由二項(xiàng)式展開(kāi)的系數(shù)決定，換句話說(shuō)，用楊輝三 角形（也稱Pascal三角形）的第n行作為高斯濾波器的一個(gè)具有n個(gè)點(diǎn)的一維逼近，例如，五點(diǎn)逼近為: 1 4 6 4 1 它們對(duì)應(yīng)于Pascal三角形

8、的第5行這一模板被用來(lái)在水平方向上平滑圖像在高斯函數(shù)可分離性性質(zhì)中曾指出，二維高斯濾波器能用兩個(gè)一維高斯濾波器逐次卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)，一個(gè)沿水平方向，一個(gè)沿垂直方向?qū)嶋H中，這種運(yùn)算可以通過(guò)使用單個(gè)一維高斯模板，對(duì)兩次卷積之間的圖像和最后卷積的結(jié)果圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)置來(lái)完成 這一技術(shù)在模板尺寸N約為10時(shí)的濾波效果極好對(duì)較大的濾波器，二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)對(duì)大多數(shù)計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)都太多但是，任意大的高斯濾波器都能通過(guò)重復(fù)使用小高斯濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)高斯濾波器的二項(xiàng)式逼近的可用高斯函數(shù)擬合二項(xiàng)式系數(shù)的最小方差來(lái)計(jì)算 設(shè)計(jì)高斯濾波器的另一途徑是直接從離散高斯分布中計(jì)算模板權(quán)值。為了計(jì)算方便，一般希望濾波器權(quán)值是整數(shù)。在模板的一個(gè)角點(diǎn)處

9、取一個(gè)值，并選擇一個(gè)K使該角點(diǎn)處值為1。通過(guò)這個(gè)系數(shù)可以使濾波器整數(shù)化，由于整數(shù)化后的模板權(quán)值之和不等于1，為了保證圖像的均勻灰度區(qū)域不受影響，必須對(duì)濾波模板進(jìn)行權(quán)值規(guī)范化。 高斯濾波器的采樣值或者高斯濾波器的二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)可以形成離散高斯濾波器當(dāng)用離散高斯濾波器進(jìn)行卷積時(shí)，其結(jié)果是一個(gè)更大的高斯離散濾波器若一幅圖像用N*N離散高斯濾波器進(jìn)行平滑，接著再用M*M離散高斯濾波器平滑的話，那么平滑結(jié)果就和用（N+M-1）*（N+M-1）離散高斯濾波器平滑的結(jié)果一樣換言之，在楊輝三角形中用第N行和第M行卷積形成了第N+M-1行 四 使用高斯濾波器進(jìn)行圖像的平滑 如果適應(yīng)卷積運(yùn)算對(duì)圖像進(jìn)行濾波，在ma

10、tlab中可以通過(guò)2個(gè)不同的函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)conv2和imfliter。他們的調(diào)用方式如下： Img_n = conv2(Img,g,'same'); 和 Img_n = imfilter(Img,g,'conv'); 這兩種函數(shù)處理的結(jié)果是完全一樣的。 imfiler函數(shù)在默認(rèn)的情況下，對(duì)圖像的濾波計(jì)算用的是相關(guān) Img_n = imfilter(Img,g);%使用相關(guān)運(yùn)算濾波 下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子展示了使用相同的高斯濾波核函數(shù)，相關(guān)運(yùn)算和卷積運(yùn)算對(duì)圖像平滑的效果可以直接后邊附的程序查看。 由結(jié)果可以看出相關(guān)運(yùn)算和卷積運(yùn)算的在用于圖像平滑濾波時(shí)效果差別不大。當(dāng)模

11、板大小N>50的時(shí)候。邊界的系數(shù)已經(jīng)非常小，對(duì)運(yùn)算起到的作用和微乎其微，所以平滑的結(jié)果差別已經(jīng)非常細(xì)微，肉眼幾乎難以察覺(jué)。 example.m clear all I = imread('lena.bmp'); Img = double(I); alf=3; n=10;%定義模板大小 n1=floor(n+1)/2);%計(jì)算中心 for i=1:n for j=1:n b(i,j) =exp(-(i-n1)2+(j-n1 )2)/(4*alf)/(4*pi*alf); end end Img_n = uint8(conv2(Img,b,'same'); K

12、=uint8(imfilter(Img,b); Img_n2=uint8(imfilter(Img,b,'conv'); J=(Img_n2)-Img_n; flag=mean(J(:) subplot(131),imshow(I);title('原圖') subplot(132),imshow(Img_n);title('卷積運(yùn)算圖') subplot(133),imshow(K);title('相關(guān)運(yùn)算圖') figure(2),surf(b); 附2：平滑濾波演變過(guò)程 去噪，在圖像分析中，很常見(jiàn)。值得注意的是，去噪不一定是使

13、用平滑，但平滑在去噪的路上頻頻被采用。前段時(shí)間隨意瀏覽，看了些新算法，從原理上作點(diǎn)總結(jié)，解構(gòu)別人的設(shè)計(jì)思路，也是一件樂(lè)事。 遠(yuǎn)親不如近鄰，在圖像濾波器中，體現(xiàn)得淋漓盡致。鄰域操作在圖像處理中比比皆是。從微積分的角度上看，對(duì)任意給定區(qū)域，定制一個(gè)劃分規(guī)則，在足夠小的子域內(nèi)，完全可以認(rèn)定為相同或相似。圖像處理中的很多模板操作其實(shí)都是基于此點(diǎn)展開(kāi)。 對(duì)圖像而言，最小劃分就是每個(gè)象素。而在 X=X 的恒等式內(nèi)，無(wú)法進(jìn)行其他運(yùn)算，很自然的，會(huì)擴(kuò)大他，比如取3X3或其他，于是就有了很多模板。然而問(wèn)題是，在劃分的子域（一個(gè)模板大小）內(nèi)，并非完全滿足相同或相似這個(gè)原則。所以，有了缺陷，于是有了改進(jìn)空間，結(jié)果幻

14、化了很多有意思的算法。 平滑操作，本質(zhì)來(lái)說(shuō)無(wú)法去噪；但他本身繞開(kāi)去噪問(wèn)題，更注重于模糊噪聲，進(jìn)而達(dá)到降噪目的。有點(diǎn)考不到第一，先及格再說(shuō)的味道。當(dāng)然，代價(jià)也很明顯，就是會(huì)把有效細(xì)節(jié)也一起消弱。這就是平滑了。 均值濾波（mean） 很顯然，就是在給定子域內(nèi)取平均的操作。 在追求平等的年代，很理想主義。現(xiàn)實(shí)告訴我們，平等很多時(shí)候只是口號(hào)！在圖像的均值中就是這樣，模板越大，滿足子域相似的條件就越脆弱，于是就越模糊，如果化妝中，去痘要與淡化五官輪廓為代價(jià)（很有鬼片的感覺(jué)），很顯然，很多人不接受。所以，在一些特殊的場(chǎng)合，特別是工業(yè)上，他比較流行，在其他圖像的修復(fù)上，他往往只能是輔助的一個(gè)操作。很難獨(dú)立來(lái)

15、實(shí)現(xiàn)一些功能。 高斯濾波（gauss） 平等已然只能理想，現(xiàn)實(shí)顯然還要繼續(xù)的情況下。參考子域的空間理論，很自然地會(huì)想重要性問(wèn)題，自己親人到鄰居，分開(kāi)對(duì)待，人不為己，天誅地滅的自我中心思想開(kāi)始在這里展現(xiàn)。主次的概念，也叫權(quán)重引入，而各方向等同的Gauss函數(shù)備受關(guān)注并盛行起來(lái)，成了一個(gè)重要的濾波器。其最大的貢獻(xiàn)性在于提供一種權(quán)值的簡(jiǎn)單計(jì)算方法。在圖像的子域里，Gauss通過(guò)空間距離給出權(quán)值，自身的權(quán)值最大，以此加權(quán)濾波。好處是比均值更保留的五官信息，雖然也有一定程度的模糊。但同時(shí)也看到在降噪上其實(shí)力度比均值 差一些。在Gauss操作中，設(shè)想當(dāng)中心點(diǎn)恰巧是噪聲的時(shí)候，Gauss還是盡力地維持其為噪

16、聲的權(quán)利。 雙邊高斯（bilateral filter） 這個(gè)東西可能比較少見(jiàn)了，我也是前些月子才看到。 Gauss函數(shù)中通過(guò)Sigma值和半徑大小控制著平滑力度。雙邊高斯很顯然引入2次Gauss概念。更代碼點(diǎn)講就是給了2個(gè)Sigma值，一個(gè)叫spatial sigma，一個(gè)叫intersity sigma加上一個(gè)半徑來(lái)控制。第一個(gè)Sigma跟原來(lái)的Gauss一致，后一個(gè)就是一個(gè)亮度的變化信息的參考。 回到子域的模型上，拋開(kāi)噪聲問(wèn)題，當(dāng)一個(gè)子域里面相近時(shí)，其實(shí)采用什么的平滑都無(wú)所謂。當(dāng)子域出現(xiàn)不相近時(shí)，設(shè)想一張有黑白對(duì)半的圖，當(dāng)子域包含一半白一半黑的時(shí)候，均值會(huì)把這點(diǎn)變成灰，Gauss沒(méi)均值力

17、度大單也作了改變。雙邊高斯這時(shí)引進(jìn)intersity，意思就是把要參與運(yùn)算的點(diǎn)跟當(dāng)前點(diǎn)（模板中心點(diǎn)，前面叫的自身）作差，由這個(gè)差值產(chǎn)生另一套權(quán)值，原則是，差越大，計(jì)算的權(quán)值越小。把這個(gè)權(quán)值與原始Gauss定義的空間權(quán)值作乘來(lái)作為平滑的權(quán)值計(jì)算。這樣就解決了模糊問(wèn)題。 雙邊Gauss適合降低弱噪聲（就是噪聲跟非噪聲點(diǎn)相差不大的噪聲）。通過(guò)雙重權(quán)值的引入，可以在平滑和保留上實(shí)現(xiàn)合適的雙贏。再解釋一下其適用性，皮膚上有個(gè)剛起不久的粉刺，此時(shí)粉刺上的膚色跟皮膚比較相近，在雙邊高斯作用下可以比較好的修復(fù)，當(dāng)粉刺張得成熟，跟皮膚相差得大時(shí)，此時(shí)等同于毛發(fā)跟皮膚的差別，該濾波無(wú)法消除它，但也基本保留，不加傷

18、害。這就是雙邊高斯帶來(lái)的思想。 通過(guò)調(diào)整其中參數(shù)，可以控制平滑力度。Intersity Sigma可以理解為細(xì)節(jié)保留的一個(gè)參數(shù)。 非局部均值（non local means） 這個(gè)在我看雙邊高斯的時(shí)候看過(guò)，當(dāng)時(shí)一個(gè)數(shù)據(jù)說(shuō)它很慢讓我沒(méi)興趣了解。前些日子才對(duì)其作了原理性解析。因?yàn)镚PU的興起讓它成為實(shí)用。 這個(gè)濾波基本可以理解為去噪聲設(shè)計(jì)的平滑濾波器。特別針對(duì)那種椒鹽/粉刺類的噪聲。 去噪濾波器的設(shè)計(jì)必須滿足最基本的2條件，一是好的地方（毛發(fā)細(xì)節(jié)，輪廓信息等）不能變模糊，二是噪點(diǎn)要消除。 于是，我們很希望有判斷是不是噪聲點(diǎn)的判據(jù)出現(xiàn)。很希望在細(xì)節(jié)上有雙邊高斯的優(yōu)點(diǎn)，在噪聲點(diǎn)上有均值或高斯濾波的力度。但怎么去判定是噪點(diǎn)還是細(xì)節(jié)，站在計(jì)算機(jī)的角度，很難（這也是我老喜歡叫人工愚蠢原因）。 在人口日益膨脹的時(shí)代，一家人會(huì)分家，分家之后很難保證住所相鄰。這個(gè)濾波器很現(xiàn)實(shí)的考慮了這個(gè)問(wèn)題，對(duì)子域作了相應(yīng)修正，所以取名（non-local）。 它給出了點(diǎn)的有效性判斷，原則模仿雙邊高